天津大学管理学院运筹学课件九章二节动态规划应用举例

第二节动态规划应用举例

本节将通过动态规划的三种应用类型——资源分配问题、复合系统可靠性问题、设备更新问题，进一步介绍动态规划的特点和处理方法。一、资源分配问题1.问题的一般提法

设有某种资源，总数量为a，用于生产n种产品；若分配数量xi用于生产第i种产品，其收益为gi(xi)。问应如何分配，可使总收益最大？2.数学规划模型模型的特点——变量分离。3.用动态规划方法求解阶段k状态sk决策xk=1,…,n表示把资源分配给第k种产品的过程；表示在给第k种产品分配之前还剩有的资源量；表示分配给第k种产品的资源量；状态转移sk+1=sk-xk；阶段指标vk指标函数vkn

12S1=ax1x2g1(x1)g2(x2)

nxnsngn(xn)s2s3...例3某公司拟将某种高效设备5台分配给所属甲、乙、丙3厂。各厂获此设备后可产生的效益如下表。问应如何分配，可使所产生的总效益最大？效益厂设备台数甲乙丙000013542710639111141211125131112解：阶段k状态sk决策xk=1,2,3依次表示把设备分配给甲、乙、丙厂的过程；表示在第k阶段初还剩有的可分台数；表示第k阶段分配的设备台数；状态转移sk+1=sk-xk；阶段指标vk指标函数vk3

问题：本问题是属于离散型还是属于连续型？怎样解？——离散型，用表格的方式求解。效益厂设备台数甲乙丙000013542710639111141211125131112kSkxkvkvk+fk+1

fk30123450123450461112120+04+06+011+012+012+0046111212012345kSkxkvkvk+fk+1

fk0123452000+000-0

000+4155+051-0

000+6155+421010+0102-0

000+11155+621010+431111+0142-1

000+12155+1121010+631111+441111+0161-32-2

000+12155+1221010+1131111+641111+451111+0212-3kSkxkvkvk+fk+1

fk15012345037912130+213+167+149+1012+513+0210-2-32-2-1最优策略：P*13为0-2-3或2-2-1，即分给甲厂0台、分给乙厂2台、分给丙厂3台，或分给甲厂2台、分给乙厂2台、分给丙厂1台。最优值：f1=21。可见，最优解可以是不唯一的，但最优值是唯一的。资源分配问题的应用很广泛，例如：1.某学生正在备考4门功课，还剩7天时间，每门功课至少复习1天。若他已估计出各门功课的复习天数与能提高的分数之间的关系，问他应怎样安排复习时间可使总的分数提高最多？2.背包问题：旅行者携带的背包中能装的物品重量为a，现他要从n种物品中挑选若干数量装入背包，问他应如何挑选可使所带的物品总价值最大？二、复合系统工作可靠性问题1.问题的一般提法

设某工作系统由n个部件串接而成，为提高系统的可靠性，在每个部件上装有备用件。已知部件i上装有xi个备用件时，其正常工作的概率为pi(xi)；每个部件i的备用件重量为wi，系统要求总重量不超过W。问应如何安排备用件可使系统可靠性最高？串接:122.数数学学规划划模型型模型的的特点点——变变量分分离。。3.用用动态态规划划方法法求解解12S1=Wx1x2p1(x1)p2(x2)

nxnsnpn(xn)s2s3...阶段k状态sk决策xk=1,…,n表示安安排第第k个部件件备用用件的的过程程；表示在在给第第k个部件件安排排之前前还剩剩有的的容许许重量量；表示第第k个部件件上安安排的的备用用件数数量；；状态转转移sk+1=sk-wkxk；阶段段指指标标vk指标标函函数数vkn可靠靠性性问问题题的的应应用用很很广广泛泛，，例例如如：：1.某某重重要要的的科科研研攻攻关关项项目目正正在在由由3个个课课题题组组以以3种种不不同同的的方方式式进进行行，，各各组组已已估估计计出出失失败败的的概概率率。。为为减减少少失失败败的的概概率率，，选选派派了了2名名高高级级专专家家去去充充实实科科研研力力量量。。若若可可估估计计出出各各组组增增加加专专家家后后的的失失败败概概率率，，问问应应如如何何分分派派专专家家可可使使总总的的失失败败概概率率最最小小？？2.已已知知x1+x2+……+xn=c，求求z=x1x2…xn的最最大大值值。。三、、设设备备更更新新问问题题例4某运运输输公公司司购购进进一一批批卡卡车车投投入入运运营营，，公公司司每每年年初初需需对卡车作作出更新新或继续续使用的的决定。。假设第第k年中，rk(tk)表示车龄龄为tk的车使用用一年的的收入，，uk(tk)表示车车龄为tk的车使用一一年的维维修费用用，ck(tk)表示车车龄为tk的车更新新成新车的费用用。现公公司需制制定一个个10年年计划，，以决定定如何安安排使10年年的总收收入最大大。12S1=？x1x210x10s10v1v2v10s2…问题：状状态和决决策怎样样设置？？——决决策是更更新与否否，可用用0-1变量表表示；状状态可设设为车龄龄。阶段k状态sk决策xk=1,…,10表示示第k年的决策策过程；；=tk表示第k年的车龄龄；状态转移移tk+1=tk+1(1-xk)阶段指标标vk指标函数数vkn=rk[tk]-uk[tk]-ck(tk)(1-xk)(1-xk)xk四、其他他——随随机型问问题举例例例5某瓷厂接接受订制制一个瓷瓷瓶的任任务。瓷瓷瓶用电电炉烧制制。据技术分分析估计计，每个个瓷瓶出出炉后的的合格率率为0.5，各各瓶合格格与否相互互独立（（即一炉炉如装有有n个瓷瓶，，那么出出炉后都都不合的概率为为0.5n）。制造一个个瓷瓶的的原料费费为100元，，烧一炉炉的费用为300元元。现因因厂中条条件限制制最多只只能烧3炉，每每炉最多多装4个瓷瓷瓶。若若3炉的的瓷瓶无无1个合合格，则则因不能能履行合合同而被罚款1600元。试试用动态态规划方方法确定定一种生生产方案案（即每每炉该装几几个瓷瓶瓶），使使总的期期望成本本为最小小。9、静夜夜四无无邻，，荒居居旧业业贫。。。12月月-2212月月-22Friday,December23,202210、雨雨中中黄黄叶叶树树，，灯灯下下白白头头人人。。。。14:14:4414:14:4414:1412/23/20222:14:44PM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。12月月-2214:14:4414:14Dec-2223-Dec-2212、故人江江海别，，几度隔隔山川。。。14:14:4414:14:4414:14Friday,December23,202213、乍见见翻疑疑梦，，相悲悲各问问年。。。12月月-2212月月-2214:14:4414:14:44December23,202214、他乡乡生白白发，，旧国国见青青山。。。23十十二二月20222:14:44下下午14:14:4412月月-2215、比比不不了了得得就就不不比比，，得得不不到到的的就就不不要要。。。。。。十二二月月222:14下下午午12月月-2214:14December23,202216、行动出成果果，工作出财财富。。2022/12/2314:14:4514:14:4523December202217、做做前前，，能能够够环环视视四四周周；；做做时时，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿着着以以脚脚为为起起点点的的射射线线向向前前。。。。2:14:45下下午午2:14下下午午14:14:4512月月-229、没有失败，，只有暂时停停止成功！。。12月-2212月-22Friday,December23,202210、很多事情努努力了未必有有结果，但是是不努力却什什么改变也没没有。。14:14:4514:14:4514:1412/23/20222:14:45PM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。。。12月月-2214:14:4514:14Dec-2223-Dec-2212、世间间成事事，不不求其其绝对对圆满满，留留一份份不足足，可可得无无限完完美。。。14:14:4514:14:4514:14Friday,December23,202213、不知香香积寺，，数里入入云峰。。。12月-2212月-2214:14:4514:14:45December23,202214、意志坚坚强的人人能把世世界放在在手中像像泥块一一样任意意揉捏。。23十十二月20222:14:45下午午14:14:4512月-2215、楚塞塞三湘湘接，，荆门门九派派通。。。。。十二月月222:14下下午午12月月-2214:14December23,202216、少年年十五五二十十时，，步行行夺得得胡马马骑。。。2022/12/2314:14:4614:14:4623December202217、空山山新雨雨后，，天气气晚来来秋。。。2:14:46下下午2:14下下午午14:14:4612月月-229、杨柳散散和风，，青山澹澹吾虑。。。12月-2212月-22Friday,December23,202210、阅读一一切好书书如同和和过去最最杰出的的人谈话话。14:14:4614:14:4614:1412/23/20222:14:46PM11、越越是是没没有