极限的求法总结课件

极限的求法总结简介：求极限方法举例，列举21种

求极限的方法和相关问题极限的求法总结简介：求极限方法举例，列举21种

11.代入法求极限1.代入法求极限2多项式函数与分式函数(分母不为0)用代入法求极限;方法总结：商的法则(代入法)多项式函数与分式函数(分母不为0)用方法总结：商的法则(代入32.由无穷大量和无穷小量的关系求极限解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得2.由无穷大量和无穷小量的关系求极限解商的法则不能用由无穷小4解例4(消去零因子法)3.消去零因子法解例4(消去零因子法)3.消去零因子法5例解(无穷小因子分出法)4.无穷小因子分出法求极限例解(无穷小因子分出法)4.无穷小因子分出法求极限6小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小量,然后再求极限.小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以7练习1练习2练习3练习4练习1练习2练习3练习48例解先变形再求极限.5.先变形再求极限(利用求和化简，拆项技巧，合并化简等)例解先变形再求极限.5.先变形再求极限9极限的求法总结课件10对于求无穷多项的极限和不符合四则运算的极限，先通过变形在求极限;方法总结：对于求无穷多项的极限和不符合四则运算的极限，先通过变形在求极112005年数学三考研试题（第三大题15小题8分）2005年数学三考研试题（第三大题15小题8分）12例解6.利用无穷小运算性质求极限例解6.利用无穷小运算性质求极限13极限的求法总结课件14例解左右极限存在且相等,7.利用左右极限求分段函数极限例解左右极限存在且相等,7.利用左右极限求分段函数极限15例求极限8.分子（母）有理化求极限【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。例求极限8.分子（母）有理化求极限【说明】分子或分母16(分子分母有理化消去零因子)(分子分母有理化消去零因子)179.利用夹逼准则（两边夹法）则求极限说明：两边夹法则需要放大和缩小不等式，常用的方法是都换成最大的和最小的。9.利用夹逼准则（两边夹法）则求极限说明：两边夹法则需要放大18例解由夹逼定理得说明：这种n项和的极限有时也可以转化为定积分来计算，这道题是不可以的。例解由夹逼定理得说明：这种n项和的极限有时也可以转化为定积分19解：当时，（积分不容易计算）故因为所以例解：当时，（积分不容易计算）故因为所以例2010.用等价无穷小量代换求极限10.用等价无穷小量代换求极限21例：求极限解练习：例：求极限解练习：222005年数学三考研试题(第一大题填空题第1小题4分)2005年数学三考研试题(第一大题填空题第1小题4分)232009年数学三考研试题(第二大题填空题第9小题4分)2009年数学三考研试题(第二大题填空题第9小题4分)242008年数学三考研试题(第三大题第15题10分)2008年数学三考研试题(第三大题第15题10分)2511.应用两个重要极限求极限两个重要极限是和第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限

11.应用两个重要极限求极限两个重要极限是和第一个重要极限26例：求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑，最后凑指数部分。解例：求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出127例解练习12，求例解练习12，求282012年数学三考研试题(第二答题填空题第9小题)9.2012年数学三考研试题(第二答题填空题第9小题)9.2912.应用数列的单调有界收敛准则求极限例设，，（1）证明存在；（2）求【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在。12.应用数列的单调有界收敛准则求极限例设，，（130解:(1)

即有下界，

由此得既单调下降，因此存在。（2）设，由（1）对递推公式两端取极限，得解得（舍去负值），所以解:(1)即有下界，由此得既单调下降，因此存在。（231极限的求法总结课件32极限的求法总结课件3313.用对数恒等式求极限例：求极限解法1:解法2:原式13.用对数恒等式求极限例：求极限解法134解法3:解法3:35注1：对于型未定式的极限，也可用公式因为注2：对于型未定式的极限也可以利用第二个重要极限。注1：对于型未定式的极限，也可用公式因为注2：对于型未定式的36例：求极限解法1:

原式

例：求极限解法1:原式37解法2:原式

解法2:原式382011年数学一考研试题(第三答题解答题第15题10分)2011年数学一考研试题(第三答题解答题第15题10分)392013年数学二考研试题(第二答题填空题第9小题)2013年数学二考研试题(第二答题填空题第9小题)4014.将数列极限转化成函数极限求解

【说明】这是洛必达法则，若直接求解有一定难度，若转化成函数极限，可通过13提供的方法结合洛必达法则求解。例：求极限形式的极限，由于数列极限不能使用14.将数列极限转化成函数极限求解【说明】这是洛必达法则41【解】考虑辅助极限所以根据:《数学分析》里面的归结原则，又称为海涅定理，意思就是函数极限可以用数列极限刻画。【解】考虑辅助极限所以根据:《数学分析》里面的归结原则，又称4215.求极限式中的常数15.求极限式中的常数432010年数学三考研试题(第三答题解答题第1题4分)2010年数学三考研试题(第三答题解答题第1题4分)44极限的求法总结课件4516.利用导数的定义求极限2013年数学一考研试题(第二答题填空题第9小题)答案１16.利用导数的定义求极限2013年数学一考研试题(第二462013年数学一考研试题(第一答题选择题第１小题)答案

1.Ｄ2013年数学一考研试题(第一答题选择题第１小题)答案472013年数学三考研试题(第二大题填空题第9小题)答案

-2

2013年数学三考研试题(第二大题填空题第9小题)答案482013年数学三考研试题(第一大题选择题第１小题)答案

1.Ｄ2013年数学三考研试题(第一大题选择题第１小题)答案492013年数学二考研试题(第一大题选择题第2小题)2013年数学二考研试题(第一大题选择题第2小题)5017.应用洛必达法则求极限【说明】或型的极限，可通过洛必达法则来求。例：求极限

17.应用洛必达法则求极限【说明】或型的极限，可通过洛必51【注】许多变上限函数的积分表示的极限，常用洛必达法则求解例：设函数连续，且，求极限【解】由于于是，【注】许多变上限函数的积分表示的极限，常用洛必达法则求解例：52极限的求法总结课件532011年数学三考研试题(第三大题解答题第15题10分)2011年数学三考研试题(第三大题解答题第15题10分)542012年数学三考研试题(第三大题解答题第15小题10分)2012年数学三考研试题(第三大题解答题第15小题10分)5518.应用定积分的定义求极限【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分来计算，是把看成定积分。18.应用定积分的定义求极限【说明】用定积分的定义把极限转56例：求极限解：原式

例：求极限解：原式572012年数学二考研试题(第二答题填空题第10小题)2012年数学二考研试题(第二答题填空题第10小题)58练习：用定积分表示下列极限:解:练习：用定积分表示下列极限:解:59练习：练习：60练习：练习：6119.利用中值定理求极限（1）.利用微分中值定理求极限19.利用中值定理求极限（1）.利用微分中值定理求极限62极限的求法总结课件63（2）利用积分中值定理求极限简单积分中值定理（2）利用积分中值定理求极限简单积分中值定理64极限的求法总结课件65积分中值定理积分中值定理66极限的求法总结课件6720.应用泰勒公式求极限例：求极限解：

20.应用泰勒公式求极限例：求极限解：68例：求极限解:

例：求极限解:69例：设，求解：错误做法（方法1）

，因此例：设，求解：错误做法（方法1），因此70（方法2）

因此（方法2）因此71练习:练习:7221.应用级数的收敛性求极限例解21.应用级数的收敛性求极限例解73极限的求法总结课件74练习:练习:75极限的求法总结简介：求极限方法举例，列举21种

求极限的方法和相关问题极限的求法总结简介：求极限方法举例，列举21种

761.代入法求极限1.代入法求极限77多项式函数与分式函数(分母不为0)用代入法求极限;方法总结：商的法则(代入法)多项式函数与分式函数(分母不为0)用方法总结：商的法则(代入782.由无穷大量和无穷小量的关系求极限解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得2.由无穷大量和无穷小量的关系求极限解商的法则不能用由无穷小79解例4(消去零因子法)3.消去零因子法解例4(消去零因子法)3.消去零因子法80例解(无穷小因子分出法)4.无穷小因子分出法求极限例解(无穷小因子分出法)4.无穷小因子分出法求极限81小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小量,然后再求极限.小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以82练习1练习2练习3练习4练习1练习2练习3练习483例解先变形再求极限.5.先变形再求极限(利用求和化简，拆项技巧，合并化简等)例解先变形再求极限.5.先变形再求极限84极限的求法总结课件85对于求无穷多项的极限和不符合四则运算的极限，先通过变形在求极限;方法总结：对于求无穷多项的极限和不符合四则运算的极限，先通过变形在求极862005年数学三考研试题（第三大题15小题8分）2005年数学三考研试题（第三大题15小题8分）87例解6.利用无穷小运算性质求极限例解6.利用无穷小运算性质求极限88极限的求法总结课件89例解左右极限存在且相等,7.利用左右极限求分段函数极限例解左右极限存在且相等,7.利用左右极限求分段函数极限90例求极限8.分子（母）有理化求极限【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。例求极限8.分子（母）有理化求极限【说明】分子或分母91(分子分母有理化消去零因子)(分子分母有理化消去零因子)929.利用夹逼准则（两边夹法）则求极限说明：两边夹法则需要放大和缩小不等式，常用的方法是都换成最大的和最小的。9.利用夹逼准则（两边夹法）则求极限说明：两边夹法则需要放大93例解由夹逼定理得说明：这种n项和的极限有时也可以转化为定积分来计算，这道题是不可以的。例解由夹逼定理得说明：这种n项和的极限有时也可以转化为定积分94解：当时，（积分不容易计算）故因为所以例解：当时，（积分不容易计算）故因为所以例9510.用等价无穷小量代换求极限10.用等价无穷小量代换求极限96例：求极限解练习：例：求极限解练习：972005年数学三考研试题(第一大题填空题第1小题4分)2005年数学三考研试题(第一大题填空题第1小题4分)982009年数学三考研试题(第二大题填空题第9小题4分)2009年数学三考研试题(第二大题填空题第9小题4分)992008年数学三考研试题(第三大题第15题10分)2008年数学三考研试题(第三大题第15题10分)10011.应用两个重要极限求极限两个重要极限是和第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限

11.应用两个重要极限求极限两个重要极限是和第一个重要极限101例：求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑，最后凑指数部分。解例：求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1102例解练习12，求例解练习12，求1032012年数学三考研试题(第二答题填空题第9小题)9.2012年数学三考研试题(第二答题填空题第9小题)9.10412.应用数列的单调有界收敛准则求极限例设，，（1）证明存在；（2）求【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在。12.应用数列的单调有界收敛准则求极限例设，，（1105解:(1)

即有下界，

由此得既单调下降，因此存在。（2）设，由（1）对递推公式两端取极限，得解得（舍去负值），所以解:(1)即有下界，由此得既单调下降，因此存在。（2106极限的求法总结课件107极限的求法总结课件10813.用对数恒等式求极限例：求极限解法1:解法2:原式13.用对数恒等式求极限例：求极限解法1109解法3:解法3:110注1：对于型未定式的极限，也可用公式因为注2：对于型未定式的极限也可以利用第二个重要极限。注1：对于型未定式的极限，也可用公式因为注2：对于型未定式的111例：求极限解法1:

原式

例：求极限解法1:原式112解法2:原式

解法2:原式1132011年数学一考研试题(第三答题解答题第15题10分)2011年数学一考研试题(第三答题解答题第15题10分)1142013年数学二考研试题(第二答题填空题第9小题)2013年数学二考研试题(第二答题填空题第9小题)11514.将数列极限转化成函数极限求解

【说明】这是洛必达法则，若直接求解有一定难度，若转化成函数极限，可通过13提供的方法结合洛必达法则求解。例：求极限形式的极限，由于数列极限不能使用14.将数列极限转化成函数极限求解【说明】这是洛必达法则116【解】考虑辅助极限所以根据:《数学分析》里面的归结原则，又称为海涅定理，意思就是函数极限可以用数列极限刻画。【解】考虑辅助极限所以根据:《数学分析》里面的归结原则，又称11715.求极限式中的常数15.求极限式中的常数1182010年数学三考研试题(第三答题解答题第1题4分)2010年数学三考研试题(第三答题解答题第1题4分)119极限的求法总结课件12016.利用导数的定义求极限2013年数学一考研试题(第二答题填空题第9小题)答案１16.利用导数的定义求极限2013年数学一考研试题(第二1212013年数学一考研试题(第一答题选择题第１小题)答案

1.Ｄ2013年数学一考研试题(第一答题选择题第１小题)答案1222013年数学三考研试题(第二大题填空题第9小题)答案

-2

2013年数学三考研试题(第二大题填空题第9小题)答案1232013年数学三考研试题(第一大题选择题第１小题)答案

1.Ｄ2013年数学三考研试题(第一大题选择题第１小题)答案1242013年数学二考研试题(第一大题选择题第2小题)2013年数学二考研试题(第一大题选择题第2小题)12517.应用洛必达法则求极限【说明】或型的极限，可通过洛必达法则来求。例：求极限

17.应用洛必达法则求极限【说明】或型的极限，可通过洛必126【注】许多变上限函数的积分表示的极限，常用洛必达法则求解例：设函数连续，且，求极限【解】由于于是，【注】许多变上限函数的积分表示的极限，常用洛必达法则求解例：127极限的求法总结课件1282011年数学三考研试题(第三大题解答题