用“相对角速度”处理圆运动中相遇问题

用“相对角速度”处理圆周运动中的追及相遇问题湖北朱木清众所周知，巧选参考系，利用相对运动法解决两物体的追击和相遇问题，往往十分快捷简便。在圆周运动中，利用“相对角速度”处理追击和相遇问题，就是这种思想方法的拓展妙用。【例1】（2010年上海）如图，三个质点a、b、c质量分别TOC\o"1-5"\h\z为吗、吗、沏（m〉〉m1，m〉〉m2）。在C的万有引力作用/'乂下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比京乌=1：4,则它们的周期之比*:矿；从、/图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了次。、.―Mm丁Mtt2r3【解析】根据了=十，得="订a、b绕向相同，①>①题设京乌=1：a、b绕向相同，①>①（类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的）。设每隔时间t，a、b、c共线一次，a相对b的角速度为△①=必—①，则兀=△④•t=（①一①）t设b运动一周的过程中共线n次，则Tb=nt联立解得：n=T（①a—①「=T（—-—）=牛-2=14兀bTTT【答案】1:8,14TOC\o"1-5"\h\z【例2】一颗卫星在地球赤道平面上空做匀速圆周运动，距地面__高度等于地球半径R，其周期多大？若地球的自转周期为％卫星的绕厂•'V、行方向与地球自转方向相同，则地面赤道上任一处的雷达对该卫星:'厂-*“跟踪”（能进行电信号直传）的最长时间是多少？已知地球表面重::':.力加速度为g.\【解析】对卫星：GMm=m严］2•2R（2R）2〔TJ利用G*=mg，得:；2RT=4兀g由于卫星的角速度比地球自转的角速度大，故卫星相对地面的角速度为以地面赤道上一点A处的雷达站为参考系，则卫星以角速度△必=巫—竺绕着旋转，雷达只能在如图中BC段（直线BC在0赤道平面内与地球相切于A）“捕捉”到卫星。由于0B=2R,OA=R，故/BOC=1200,A点雷达对该卫星“跟踪”C（能进行电信号直传）的最长时间为△t=4兀T2R一（）将T=4兀「竺代入上式，得：△t=技—‘一。，——VgA®3（T\.・'g-4兀板2R）【例3】如图，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球的轨道半径为R，运转周期为T。地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线的夹角叫地球对行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为0，当行星处于最大视角处时，是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期。若某时刻该行星正好处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间?【解析】由题意可得行星的轨道半径r=Rsin9

设行星绕太阳的运行周期为T/，由开普勒大三定律有:R3r3，一:—一=——，得：T'=sin39T2T'2绕向相同，行星的角速度比地球大，行星相对地球I2兀2兀2兀（1—%'sin39）A®=—=•T'TEn39地球某时刻该行星正好处于最佳观察期，有两种情况：一是刚看到;二是马上看不到，如图所示。到下一次处于最佳观察期至少需经历时间分别为It兀-20（兀—20）Jsin30t1A®2兀（1-3in39）地球兀+29A®(兀+29)4sin39•T2兀(1-vsin39)【例4】从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳做同向圆周运动，火星轨道半径r火为地球轨道半径r地的1.50倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步：在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造卫星（如图1）;第二步：在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上（如图2）。当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60°（火星在前，探测器在后），如图3所示。问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机，方能使探测器恰好落在火星表面？（时间计算仅需精确到日），已知.时=1朝.=1-400大口：,。十・...火星♦、O?火星:太阳］/探测器'地球.::、'■火星/'、'、、图2:上点火■.Kt:必）--4探测器；:/太阳/地球图3【解析】根据根据开普勒第三定律，可求出火星的公转周期T火r3r3—火-=—地-，题设r=1.5r，火地得：T火=（1.5）3T地=1.840X365=671d

初始相对角距离A0=60。。点火前，探测器与地球在同一公转轨道同向运行，周期跟地球的公转周期相同，故相对火星的角位移为A0=△①•△t=（36°^-36°^）•△t111365671一，一-._.，一■一一一，、T探测器在适当位置点火后，沿椭圆轨道到与火星相遇所需时间t='2.5r（2.5r（第）3因一2一T2dr3=fT2地得：t=―^=（1.25）3x地=255d22在这段时间t内，探测器的绝对角位移为180。，火星的绝对角位移为9=rot=36°^x255=137o火火671探测器相对火星的角位移为A%=180。-137。=43。。到探测器与火星相遇时，初始相对角距离A9（=600），应等于点火前探测器相对火星的角位移△&］，与探测器沿椭圆轨道运动时间内相对火星的角位移△&2之和，即A9=A9+A9贝0A9=60。-43。=170而A9=Aro.•AtA917o,故得A11=^=36。。36。。=38d1一365671已知某年3月1日零时，探测器与火星角距离为60°（火星在前，探测器在后），点燃发动机时刻应选在当年3月1日后38天，注意到