人教版数学必修一《函数的单调性》同步课件

1温故而知新，可以为师矣。

——孔子1温故而知新，可以为师矣。12

①图像法

②列表法

③解析法

函数的表示方法：

回顾上节内容22①图像法函数的表示方法：

回顾上节内容222022/12/303函数的单调性32022/12/273函数的单调性3341.函数单调性的重要性

函数单调性的是函数的核心内容之一，是高考考查的热点，近几年高考常以导数为工具研究函数的单调性，并以解答题形式出现。2.高考考查形式

主要是求单调区间，判断函数的单调性或用单调性求范围等。了解41.函数单调性的重要性2.高考考查形式了解45目标1、理解函数的单调性概念2、会求函数的单调性区间3、会判定函数的单调性5目标1、理解函数的单调性概念2、会求函数的单调性区间3、会566分别表示下列函数y=x2研究66分别表示下列函数y=x2研究67xyoxyo111-1y=x+1y=-x+1由左至右是下降的7由左至右是上升的研究7xyoxyo111-1y=x+1y=-x+78xyoy=x2

y

轴左侧是下降的8

y

轴右侧是上升的y=x2研究8xyoy=x2y轴左侧是下降的8y轴右侧是上升899x…-2-1012…y…-10123…x…-2-1012…y…3210-1…

x值增大

Y值增大

x值增大

Y值减小研究99x…-2-1012…y…-10123…x…-2-1012910x…-2-1012…y…41014…

对比图像和表你发现了什么？

图像在Y轴左侧下降，也就是在区间（－∞，0]上，Y随着X的增大而减小

图像在Y轴右侧上升，也就是在区间[0，+∞）上，Y随着X的增大而增大y=x2研究10x…-2-1012…y…41014…对比图像和表你发现10由x1<x2，得x1-x2<0，写单调区间时的注意事项：②有序性：即通常规定X1<X2于是，即于是f(x1)-f(x2)<0在（－∞，0）∪（0，＋∞）②有序性：即通常规定X1<X2③同区间性：即X1，X2通属于同一个单调区间，如何利用函数解析式f(x)=x2来描述这种变化规律呢？？？于是f(x1)-f(x2)<0在（－∞，0]上单调递减，独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在（－∞，＋∞）上并无单调性又由，得写单调区间时的注意事项：所以f(x)=3x+2在R上是增函数。y=-x+1试一试:你能仿照这样的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?——孔子例1下图是定义在闭区间[-5,5]上的函（－∞，＋∞）上并无单调性由，得一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：又由，得1111如何利用函数解析式f(x)=x2来描述这种变化规律呢

？？？试一试:你能仿照这样的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?研究由x1<x2，得x1-x2<0，1111如何利用函数解析式f111212

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．

1．增函数单调性定义1212 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定12独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在如何利用函数解析式f(x)=x2来描述这种变化规律呢？？？试一试:你能仿照这样的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?写单调区间时的注意事项：如何利用函数解析式f(x)=x2来描述这种变化规律呢？？？在（－∞，0）和（0，＋∞）（－∞，＋∞）上并无单调性实数，且，则的单调区间,以及在每一区间上,试一试:你能仿照这样的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?函数单调区间有[-5，-2),[-2，1),[1,3),[3，5],所以f(x)=3x+2在R上是增函数。在（－∞，0]上单调递减，又由，得（－∞，＋∞）上并无单调性3、会判定函数的单调性于是，即在（－∞，0]上单调递减，又由，得f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)于是f(x1)-f(x2)<0增(减)函数的图象特征;f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)1、理解函数的单调性概念性时不可随意用两个特殊值代替X1,X21313

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．

2.那减函数？单调性定义独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在1313 一般地1314练习（1）y=|x|在（－∞，0]上单调递减，注意：函数在定义域（－∞，＋∞）上并无单调性在[0，＋∞）上单调递增14xyo14练习（1）y=|x|在（－∞，0]上单调递减，注意：1415（2）y=x+1，（x≠0）xyo1-1在（－∞，0）和（0，＋∞）上都单调递增15在（－∞，0）∪（0，＋∞）上单调递增╳练习15（2）y=x+1，（x≠0）xyo1-1在（1516那怎样来理解函数单调性的定义呢？单调性定义中X1,X2有三特征：

①任意性：即从定义域中任取X1,X2，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替X1,X2

②有序性：即通常规定X1<X2③同区间性：即X1，X2通属于同一个单调区间，注意：三者缺一不可16那怎样来理解函数单调性的定义呢？单调性定义中X1,X2有161717

如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.

单调区间定义函数的单调性也叫函数的增减性1717如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是171818-212345-23-3-4-5-1-112O例1

下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数的图象,根据图象说出的单调区间,以及在每一区间上,是增函数还是减函数.1818-212345-23-3-4-5-1-112O例11819解：根据函数图象可知[-2,1),[3,5]上是增函数。函数单调区间有[-5，-2),[-2，1),[1,3),[3，5],其中在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，在区间注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在单调性问题。19解：根据函数图象可知[-2,1),[3,5]上是增函数。19写单调区间时的注意事项：1.端点处不具备单调性，有意义的端点处区间可开可闭，无意义的端点处必须开，书写原则：能闭则闭，须开则开。2.单调性相同的单调区间不能并在一起，必须用“，”隔开，也可用“和”，千万不能用写单调区间时的注意事项：1.端点处不具备单调性，有意义的端点20例2证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。设x1、x2是R上的任意两个实数，且x1<x2，则

f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2)由x1<x2，得x1-x2<0，于是f(x1)-f(x2)<0即 f(x1)<f(x2)所以f(x)=3x+2在R上是增函数。证明：任意取值作差变形判断符号得出结论例2证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。f(x1)21

判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：①任意取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2

；②作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过因式分解、配方等方法变形；③判断符号：判断上述差f(x1)-f(x2)的符号；④得出结论：根据差的符号，得出单调性的结论。判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：22练习

证明函数在(-∞,0)上是减函数.练习23练习

证明函数在(-∞,0)上是减函数.

由，得又由，得于是，即证明：设是上的任意两个实数，且，则

（-∞，0）（-∞，0）所以，在上是减函数.练习证明函数在(-∞,241、理解函数的单调性概念又由，得所以f(x)=3x+2在R上是增函数。[-2,1),[3,5]上是增函数。数的图象,根据图象说出函数单调区间有[-5，-2),[-2，1),[1,3),[3，5],判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：③同区间性：即X1，X2通属于同一个单调区间，图像在Y轴左侧下降，也就是在区间（－∞，0]上，Y随着X的增大而减小独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在例1下图是定义在闭区间[-5,5]上的函如何利用函数解析式f(x)=x2来描述这种变化规律呢？？？于是f(x1)-f(x2)<0证明：设是上的任意两个写单调区间时的注意事项：试一试:你能仿照这样的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?如何利用函数解析式f(x)=x2来描述这种变化规律呢？？？一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)3、会判定函数的单调性在（－∞，0]上单调递减，所以，在上是减函数.端点处不具备单调性，有意义的端点处区间可开可闭，无意义的端点处必须开，书写原则：能闭则闭，须开则开。于是f(x1)-f(x2)<02022/12/30251.增(减)函数的定义;

2.增(减)函数的图象特征;3.函数的单调性概念;4.增(减)函数的判定;5.增(减)函数的证明.作业:课本32页第3,4题小结1、理解函数的单调性概念2022/12/27251.增(减)252022/12/302022/12/30

谢谢观赏！2022/12/272022/12/272627温故而知新，可以为师矣。

——孔子1温故而知新，可以为师矣。2728

①图像法

②列表法

③解析法

函数的表示方法：

回顾上节内容282①图像法函数的表示方法：

回顾上节内容2282022/12/3029函数的单调性292022/12/273函数的单调性329301.函数单调性的重要性

函数单调性的是函数的核心内容之一，是高考考查的热点，近几年高考常以导数为工具研究函数的单调性，并以解答题形式出现。2.高考考查形式

主要是求单调区间，判断函数的单调性或用单调性求范围等。了解41.函数单调性的重要性2.高考考查形式了解3031目标1、理解函数的单调性概念2、会求函数的单调性区间3、会判定函数的单调性5目标1、理解函数的单调性概念2、会求函数的单调性区间3、会313232分别表示下列函数y=x2研究66分别表示下列函数y=x2研究3233xyoxyo111-1y=x+1y=-x+1由左至右是下降的33由左至右是上升的研究7xyoxyo111-1y=x+1y=-x+3334xyoy=x2

y

轴左侧是下降的34

y

轴右侧是上升的y=x2研究8xyoy=x2y轴左侧是下降的8y轴右侧是上升343535x…-2-1012…y…-10123…x…-2-1012…y…3210-1…

x值增大

Y值增大

x值增大

Y值减小研究99x…-2-1012…y…-10123…x…-2-10123536x…-2-1012…y…41014…

对比图像和表你发现了什么？

图像在Y轴左侧下降，也就是在区间（－∞，0]上，Y随着X的增大而减小

图像在Y轴右侧上升，也就是在区间[0，+∞）上，Y随着X的增大而增大y=x2研究10x…-2-1012…y…41014…对比图像和表你发现36由x1<x2，得x1-x2<0，写单调区间时的注意事项：②有序性：即通常规定X1<X2于是，即于是f(x1)-f(x2)<0在（－∞，0）∪（0，＋∞）②有序性：即通常规定X1<X2③同区间性：即X1，X2通属于同一个单调区间，如何利用函数解析式f(x)=x2来描述这种变化规律呢？？？于是f(x1)-f(x2)<0在（－∞，0]上单调递减，独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在（－∞，＋∞）上并无单调性又由，得写单调区间时的注意事项：所以f(x)=3x+2在R上是增函数。y=-x+1试一试:你能仿照这样的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?——孔子例1下图是定义在闭区间[-5,5]上的函（－∞，＋∞）上并无单调性由，得一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：又由，得3737如何利用函数解析式f(x)=x2来描述这种变化规律呢

？？？试一试:你能仿照这样的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?研究由x1<x2，得x1-x2<0，1111如何利用函数解析式f373838

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．

1．增函数单调性定义1212 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定38独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在如何利用函数解析式f(x)=x2来描述这种变化规律呢？？？试一试:你能仿照这样的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?写单调区间时的注意事项：如何利用函数解析式f(x)=x2来描述这种变化规律呢？？？在（－∞，0）和（0，＋∞）（－∞，＋∞）上并无单调性实数，且，则的单调区间,以及在每一区间上,试一试:你能仿照这样的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?函数单调区间有[-5，-2),[-2，1),[1,3),[3，5],所以f(x)=3x+2在R上是增函数。在（－∞，0]上单调递减，又由，得（－∞，＋∞）上并无单调性3、会判定函数的单调性于是，即在（－∞，0]上单调递减，又由，得f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)于是f(x1)-f(x2)<0增(减)函数的图象特征;f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)1、理解函数的单调性概念性时不可随意用两个特殊值代替X1,X23939

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．

2.那减函数？单调性定义独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在1313 一般地3940练习（1）y=|x|在（－∞，0]上单调递减，注意：函数在定义域（－∞，＋∞）上并无单调性在[0，＋∞）上单调递增40xyo14练习（1）y=|x|在（－∞，0]上单调递减，注意：4041（2）y=x+1，（x≠0）xyo1-1在（－∞，0）和（0，＋∞）上都单调递增41在（－∞，0）∪（0，＋∞）上单调递增╳练习15（2）y=x+1，（x≠0）xyo1-1在（4142那怎样来理解函数单调性的定义呢？单调性定义中X1,X2有三特征：

①任意性：即从定义域中任取X1,X2，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替X1,X2

②有序性：即通常规定X1<X2③同区间性：即X1，X2通属于同一个单调区间，注意：三者缺一不可16那怎样来理解函数单调性的定义呢？单调性定义中X1,X2有424343

如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.

单调区间定义函数的单调性也叫函数的增减性1717如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是434444-212345-23-3-4-5-1-112O例1

下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数的图象,根据图象说出的单调区间,以及在每一区间上,是增函数还是减函数.1818-212345-23-3-4-5-1-112O例14445解：根据函数图象可知[-2,1),[3,5]上是增函数。函数单调区间有[-5，-2),[-2，1),[1,3),[3，5],其中在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，在区间注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在单调性问题。19解：根据函数图象可知[-2,1),[3,5]上是增函数。45写单调区间时的注意事项：1.端点处不具备单调性，有意义的端点处区间可开可闭，无意义的端点处必须开，书写原则：能闭则闭，须开则开。2.单调性相同的单调区间不能并在一起，必须用“，”隔开，也可用“和”，千万不能用写单调区间时的注意事项：1.端点处不具备单调性，有意义的端点46例2证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。设x1、x2是R上的任意两个实数，且x1<x2，则

f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2)由x1<x2，得x1-x2<0，于是f(x1)-f(x2)<0即 f(x1)<f(x2)所以f(x)=3x+2在R上是增函数。证明：任意取值作差变形判断符号得出结论例2证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。f(x1)47

判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：①任意取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2

；②作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过因式分解、配方等方法变形；③判断符号：判断上述差f(x1)-f(x2)的符号；④得出结论：根据差的符号，得出单调性的结论。判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：48练习

证明函数在(-∞,0)上是减函数.练习49练习

证明函数在(-∞,0)上是减函数.

由，得又由