初一数学资料培优汇总精华

.z第一讲数系扩--有理数〔一〕一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成〔互质〕。4、性质：①顺序性〔可比拟大小〕；②四则运算的封闭性〔0不作除数〕；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。5、绝对值的意义与性质：①②非负性③非负数的性质：i〕非负数的和仍为非负数。ii〕几个非负数的和为0，则他们都为0。二、【典型例题解析】：1、假设的值等于多少.2．如果是大于1的有理数，则一定小于它的〔〕A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值。4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如以下图所示，则化简的结果等于〔A.B.C.0D.5、，求的值是〔〕A.2B.3C6、有3个有理数a,b,c，两两不等，则中有几个负数.7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。8、三个有理数的积为负数，和为正数，且则的值是多少.9、假设为整数，且，试求的值。三、课堂备用练习题。1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、计算：4、为非负整数，且满足，求的所有可能值。5、假设三个有理数满足，求的值。第二讲数系扩--有理数〔二〕一、【能力训练点】：1、绝对值的几何意义①表示数对应的点到原点的距离。②表示数、对应的两点间的距离。2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。二、【典型例题解析】：1、〔1〕假设，化简〔2〕假设，化简2、设，且，试化简3、、是有理数，以下各式对吗.假设不对，应附加什么条件.〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕假设则〔5〕假设，则〔6〕假设，则4、假设，求的取值围。5、不相等的有理数在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果，则B点在A、C的什么位置.6、设，求的最小值。7、是一个五位数，，求的最大值。8、设都是有理数，令,,试比拟M、N的大小。三、【课堂备用练习题】：1、求的最小值。2、假设与互为相反数，求的值。3、如果，求的值。4、是什么样的有理数时，以下等式成立.〔1〕〔2〕5、化简下式：第三讲数系扩--有理数〔三〕一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。〔1〕加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。〔2〕减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。〔3〕乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。〔4〕除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。二、【典型例题解析】：1、计算：2、计算：〔1〕、〔2〕、〔-18.75〕+〔+6.25〕+〔-3.25〕+18.25〔3〕、〔-4〕+3、计算：①②4、化简：计算：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕-4.035×12＋7.535×12-36×〔〕5、计算：〔1〕〔2〕〔3〕6、计算：7、计算：：第四讲数系扩--有理数〔四〕一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。3、巧算的一般性技巧：①凑整〔凑0〕；②巧用分配律③去、添括号法则；④裂项法4、综合运用有理数的知识解有关问题。二、【典型例题解析】：1、计算：2、3、计算：①②4、化简：并求当时的值。5、计算：6、比拟与2的大小。7、计算：8、、是有理数，且，含，，，请将按从小到大的顺序排列。三、【备用练习题】：1、计算〔1〕〔2〕2、计算：3、计算：4、如果，求代数式的值。5、假设、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值。第五讲代数式〔一〕一、【能力训练点】：〔1〕列代数式；〔2〕代数式的意义；〔3〕代数式的求值〔整体代入法〕二、【典型例题解析】：1、用代数式表示：〔1〕比的和的平方小的数。〔2〕比的积的2倍大5的数。〔3〕甲乙两数平方的和〔差〕。〔4〕甲数与乙数的差的平方。〔5〕甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。〔6〕甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。〔7〕比的平方的2倍小1的数。〔8〕任意一个偶数〔奇数〕〔9〕能被5整除的数。〔10〕任意一个三位数。2、代数式的求值：〔1〕，求代数式的值。〔2〕的值是7，求代数式的值。〔3〕；，求的值〔4〕，求的值。〔5〕：当时，代数式的值为2007，求当时，代数式的值。〔6〕等式对一切都成立，求A、B的值。〔7〕，求的值。〔8〕当多项式时，求多项式的值。3、找规律：Ⅰ.〔1〕；〔2〕〔3〕〔4〕第N个式子呢.Ⅱ.；；；假设〔、为正整数〕，求Ⅲ.猜测：三、【备用练习题】：1、假设个人完成一项工程需要天，则个人完成这项工程需要多少天.2、代数式的值为8，求代数式的值。3、*同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而余下的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元.4、求当时，第六讲代数式〔二〕一、【能力训练点】：〔1〕同类项的合并法则；〔2〕代数式的整体代入求值。二、【典型例题解析】：1、多项式经合并后，不含有的项，求的值。2、当到达最大值时，求的值。3、多项式与多项式N的2倍之和是，求N.4、假设互异，且，求的值。5、，求的值。6、，求的值。7、均为正整数，且，求的值。8、求证等于两个连续自然数的积。9、，求的值。10、一堆苹果，假设干个人分，每人分4个，剩下9个，假设每人分6个，最后一个人分到的少于3个，问多少人分苹果.三、【备用练习题】：1、，比拟M、N的大小。，。2、，求的值。3、，求K的值。4、，比拟的大小。5、，求的值。第七讲发现规律一、【问题引入与归纳】我国著名数学家华罗庚先生曾经说过："先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一〞。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解*些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。能力训练点：观察、分析、猜测、归纳、抽象、验证的思维能力。二、【典型例题解析】1、观察算式：按规律填空：1+3+5+…+99=.，1+3+5+7+…+.2、如图是*同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第个小房子用了多少块石子.3、用黑、白两种颜色的正六边形地面砖〔如下图〕的规律，拼成假设干个图案：〔1〕第3个图案中有白色地面砖多少块.〔2〕第个图案中有白色地面砖多少块.4、观察以下一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少.第个图形中三角形的个数为多少.5、观察右图，答复以下问题：〔1〕图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点.〔2〕如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多少个点.〔3〕*一层上有77个点，这是第几层.〔4〕第一层与第二层的和是多少.前三层的和呢.前4层的和呢.你有没有发现什么规律.根据你的推测，前12层的和是多少.6、读一读：式子"1+2+3+4+5+…+100”表示从1开场的100个连续自然数的和，由于上述式子比拟长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将"1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里"〞是求和符号，例如"1+3+5+7+9+…+99”〔即从1开场的100以的连续奇数的和〕可表示为又如"〞可表示为，同学们，通过以上材料的阅读，请解答以下问题：〔1〕2+4+6+8+10+…+100〔即从2开场的100以的连续偶数的和〕用求和符号可表示为；〔2〕计算：=〔填写最后的计算结果〕。7、观察以下各式，你会发现什么规律.3×5=15，而15=42-15×7=35，而35=62-1……11×13=143，而143=122-1……将你猜测的规律用只含一个字母的式子表示出来。8、请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。三、【跟踪训练题】11、有一列数其中：=6×2+1，=6×3+2，=6×4+3，=6×5+4；…则第个数=，当=2001时，=。2、将正偶数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224…………2826根据上面的规律，则2006应在行列。3、一个数列2，5，9，14，20，，35…则的值应为：〔〕4、在以下两个数串中：1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有〔〕个。A.333B.334C.335D.3365、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2方桌拼成一行能坐6人〔如右图所示〕按照这种规定填写下表的空格：拼成一行的桌子数123…n人数46…6、给出以下算式：观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：7、通过计算探索规律：152=225可写成100×1×〔1+1〕+25252=625可写成100×2×〔2+1〕+25352=1225可写成100×3×〔3+1〕+25452=2025可写成100×4×〔4+1〕+25…………752=5625可写成归纳、猜测得：〔10n+5〕2=根据猜测计算：19952=8、，计算：112+122+132+…+192=；9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，n2+n+41的值是什么.这位学者结论正确吗.第八讲综合练习〔一〕1、假设，求的值。2、与互为相反数，求。3、，求的围。4、判断代数式的正负。5、假设，求的值。6、假设，求7、，化简8、互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，P是数轴上的表示原点的数，求的值。9、问□中应填入什么数时，才能使10、在数轴上的位置如下图，化简：11、假设，求使成立的的取值围。12、计算：13、，，，求。14、，求、的大小关系。15、有理数均不为0，且。设，求代数式的值。第九讲一元一次方程〔一〕一、知识点归纳：1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。3、一元一次方程的解的理解与应用。4、一元一次方程解的情况讨论。二、典型例题解析：1、解以下方程：〔1〕〔2〕；〔3〕2、能否从；得到，为什么.反之，能否从得到，为什么.3、假设关于的方程，无论K为何值时，它的解总是，求、的值。4、假设。求的值。5、是方程的解，求代数式的值。6、关于的方程的解是正整数，求整数K的值。7、假设方程与方程同解，求的值。8、关于的一元一次方程求代数式的值。9、解方程10、方程的解为，求方程的解。11、当满足什么条件时，关于的方程，①有一解；②有无数解；③无解。第十讲一元一次方程〔2〕一、能力训练点：1、列方程应用题的一般步骤。2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题〔如经济问题、利润问题、增长率问题〕二、典型例题解析。1、要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克.2、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天.3、*市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋.：4、*商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写"大酬宾，八折优惠〞，结果每台彩电仍可获利270元，则每台彩电原价是多少.5、一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小2，假设将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4，求原来的三位数.6、初一年级三个班，完成甲、乙两项任务，〔一〕班有45人，〔二〕班有50人，〔三〕班有43人，现因任务的需要，需将〔三〕班人数分配至〔一〕、〔二〕两个班，且使得分配后〔二〕班的总人数是〔一〕班的总人数的2倍少36人，问：应将〔三〕班各分配多少名学生到〔一〕、〔二〕两班.7、一个容器盛满酒精溶液，第一次倒出它的后，用水加满，第二次倒出它的后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。8、*中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算.租几辆车.9、1994年底，先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是3838，问到2006年底先生多大.10、有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，用24部A型抽水机，6天可抽干池水，假设用21部A型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量一样，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A型抽水机抽水.11、狗跑5步的时间，马能跑6步，马跑4步的距离，狗要跑7步，现在狗已跑出55米，马开场追它，问狗再跑多远马可以追到它.12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船得悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从得悉到追及小孩各需多少时间.数形结合谈数轴一、阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要表达在以下几个方面：1、利用数轴能形象地表示有理数；2、利用数轴能直观地解释相反数；3、利用数轴比拟有理数的大小；4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。二、知识点反应1、利用数轴能形象地表示有理数；例1：有理数在数轴上原点的右方，有理数在原点的左方，则〔〕A．B．C．D．拓广训练：1、如图为数轴上的两点表示的有理数，在中，负数的个数有〔〕〔"祖冲之杯〞邀请赛试题〕A．1B．2C．3D．43、把满足中的整数表示在数轴上，并用不等号连接。2、利用数轴能直观地解释相反数；例2：如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，则A、B两点的距离为。拓广训练：1、在数轴上表示数的点到原点的距离为3，则2、数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，则所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于。〔市"迎春杯〞竞赛题〕3、利用数轴比拟有理数的大小；例3：且，则有理数的大小关系是。〔用"〞号连接〕〔市"迎春杯〞竞赛题〕拓广训练：假设且，比拟的大小，并用"〞号连接。例4：比拟与4的大小拓广训练：1、，试讨论与3的大小2、两数，如果比大，试判断与的大小4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例5：有理数在数轴上的位置如下图，式子化简结果为〔〕A．B．C．D．拓广训练：1、有理数在数轴上的位置如下图，则化简的结果为。2、，在数轴上给出关于的四种情况如下图，则成立的是。①②③④3、有理数在数轴上的对应的位置如以下图：则化简后的结果是〔〕〔省初中数学竞赛选拨赛试题〕A．B．C．D．三、培优训练1、是有理数，且，那以的值是〔〕A．B．C．或D．或10A2B5C2、〔07〕如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点．假设点表示的数为1，则点10A2B5CＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3、如图，数轴上标出假设干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数且，则数轴的原点应是〔〕A．A点B．B点C．C点D．D点4、数所对应的点A，B，C，D在数轴上的位置如下图，则与的大小关系是〔〕A．B．C．D．不确定的5、不相等的有理数在数轴上对应点分别为A，B，C，假设，则点B〔〕A．在A、C点右边B．在A、C点左边C．在A、C点之间D．以上均有可能6、设，则下面四个结论中正确的选项是〔〕〔全国初中数学联赛题〕A．没有最小值B．只一个使取最小值C．有限个〔不止一个〕使取最小值D．有无穷多个使取最小值7、在数轴上，点A，B分别表示和，则线段AB的中点所表示的数是。8、假设，则使成立的的取值围是。9、是有理数，则的最小值是。10、为有理数，在数轴上的位置如下图：且求的值。11、〔市中考题〕(1)阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数，A、B两点这间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边；②如图3，点A、B都在原点的左边；③如图4，点A、B在原点的两边。综上，数轴上A、B两点之间的距离。〔2〕答复以下问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是，如果，则为；③当代数式取最小值时，相应的的取值围是；④求的最小值。聚焦绝对值一、阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个根本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。去绝对值符号法则：2、恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看表示数的点到原点的距离；表示数、数的两点间的距离。3、灵活运用绝对值的根本性质①②③④⑤⑥二、知识点反应1、去绝对值符号法则例1：且则。拓广训练：1、且，则。〔市"迎春杯〞竞赛题〕2、假设，且，则的值是〔〕A．3或13B．13或-13C．3或-3D．-3或-132、恰当地运用绝对值的几何意义例2：的最小值是〔〕A．2B．0C．1D．-1解法1、分类讨论当时，；当时，；当时。比拟可知，的最小值是2，应选A。解法2、由绝对值的几何意义知表示数所对应的点与数1所对应的点之间的距离；表示数所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；的最小值是指点到1与-1两点距离和的最小值。如图易知当时，的值最小，最小值是2应选A。拓广训练：的最小值是，的最大值为，求的值。三、培优训练1、如图，有理数在数轴上的位置如下图：则在中，负数共有〔〕〔省荆州市竞赛题〕A．3个B．1个C．4个D．2个2、假设是有理数，则一定是〔〕A．零B．非负数C．正数D．负数3、如果，则的取值围是〔〕A．B．C．D．4、是有理数，如果，则对于结论〔1〕一定不是负数；〔2〕可能是负数，其中〔〕〔第15届省竞赛题〕A．只有〔1〕正确B．只有〔2〕正确C．〔1〕〔2〕都正确D．〔1〕〔2〕都不正确5、，则化简所得的结果为〔〕A．B．C．D．6、，则的最大值等于〔〕A．1B．5C．8D．97、都不等于零，且，根据的不同取值，有〔〕A．唯一确定的值B．3种不同的值C．4种不同的值D．8种不同的值8、满足成立的条件是〔〕〔省黄冈市竞赛题〕A．B．C．D．9、假设，则代数式的值为。10、假设，则的值等于。11、是非零有理数，且，求的值。12、是有理数，，且，求的值。13、阅读以下材料并解决有关问题：我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得〔称分别为与的零点值〕。在有理数围，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：〔1〕当时，原式=;〔2〕当时，原式=；〔3〕当时，原式=。综上讨论，原式=通过以上阅读，请你解决以下问题：分别求出和的零点值；〔2〕化简代数式14、〔1〕当取何值时，有最小值.这个最小值是多少.〔2〕当取何值时，有最大值.这个最大值是多少.〔3〕求的最小值。〔4〕求的最小值。15、*公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图，现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A，B，C，D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好.16、先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供给站P，使这台机床到供给站P的距离总和最小，要解决这个问题，先"退〞到比拟简单的情形：①②如图①，如果直线上有2台机床〔甲、乙〕时,很明显P设在和之间的任何地方都行,因为甲和乙分别到P的距离之和等于到的距离.如图②,如果直线上有3台机床(甲、乙、丙)时，不难判断，P设在中间一台机床处最适宜，因为如果P放在处，甲和丙分别到P的距离之和恰好为到的距离；而如果P放在别处，例如D处，则甲和丙分别到P的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到D近段距离，这是多出来的，因此P放在处是最正确选择。不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。问题〔1〕：有机床时，P应设在何处.问题〔2〕根据问题〔1〕的结论，求的最小值。有理数的运算一、阅读与思考在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进展计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是"字母代数〞，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的构造特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。二、知识点反应1、利用运算律：加法运算律乘法运算律例1：计算：解：原式=拓广训练：1、计算〔1〕〔2〕例2：计算：解：原式=拓广训练：计算：2、裂项相消〔1〕；〔2〕；〔3〕〔4〕例3、计算解：原式===拓广训练：1、计算：3、以符代数例4：计算：解：分析：令=，则原式=拓广训练：1、计算：4、分解相约例5：计算：解：原式===三、培优训练1、是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则=。2、计算：〔1〕=；〔2〕=。3、假设与互为相反数，则=。4、计算：=。5、计算：=。6、这四个数由小到大的排列顺序是。7、〔2007"五羊杯〞〕计算：=〔〕A．3140B．628C．1000D．12008、〔2005"希望杯〞〕等于〔〕A．B．C．D．9、〔2006"五羊杯〞〕计算：=〔〕A．B．C．D．10、〔2021中考〕为了求的值，可令S＝，则2S＝，因此2S-S＝，所以＝仿照以上推理计算出的值是〔〕A、B、C、D、11、都是正数，如果，，则的大小关系是〔〕A．B．C．D．不确定12、设三个互不相等的有理数，既可表示为的形式，又可表示为的形式，求的值〔"希望杯〞邀请赛试题〕13、计算〔1〕〔2021年第二十届"五羊杯〞竞赛题〕〔2〕〔市"迎春杯〞竞赛题〕14、互为相反数，互为负倒数，的绝对值等于，求的值15、，求的值〔2006，竞赛〕16、〔2007，中考〕图1是由假设干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．第第2层第1层……第n层图１图2图3图4如果图1中的圆圈共有12层，〔1〕我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是；〔2〕我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．第一讲和绝对值有关的问题知识构造框图：数绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。也可以写成：说明：〔Ⅰ〕|a|≥0即|a|是一个非负数；〔Ⅱ〕|a|概念中蕴含分类讨论思想。典型例题例1．〔数形结合思想〕a、b、c在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于〔A〕A．-3aB．2c－aC．2a－2bD．b解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例2．：，，且，则的值〔C〕A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号解：由题意，*、y、z在数轴上的位置如下图：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了*、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3．〔分类讨论的思想〕甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；假设数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢.分析：从题目中寻找关键的解题信息，"数轴上表示这两数的点位于原点的两侧〞意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。则终究谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为*，乙数为y由题意得：，〔1〕数轴上表示这两数的点位于原点两侧：假设*在原点左侧，y在原点右侧，即*<0，y>0，则4y=8，所以y=2,*=-6假设*在原点右侧，y在原点左侧，即*>0，y<0，则-4y=8，所以y=-2,*=6〔2〕数轴上表示这两数的点位于原点同侧：假设*、y在原点左侧，即*<0，y<0，则-2y=8，所以y=-4,*=-12假设*、y在原点右侧，即*>0，y>0，则2y=8，所以y=4,*=12例4．〔整体的思想〕方程的解的个数是〔D〕A．1个B．2个C．3个D．无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将*-2021看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即此题的答案为D。例5．〔非负性〕|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2于是在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，如果题目变成求值，你有方法求解吗.有兴趣的同学可以在课下继续探究。例6．〔距离问题〕观察以下每对数在数轴上的对应点间的距离4与，3与5，与，与3.并答复以下各题：〔1〕你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗.答：____相等.〔2〕假设数轴上的点A表示的数为*，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为．分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。则点A呢.因为*可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。则，如何求出A与B两点间的距离呢.结合数轴，我们发现应分以下三种情况进展讨论。当*<-1时，距离为-*-1,当-1<*<0时，距离为*+1，当*>0，距离为*+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为〔3〕结合数轴求得的最小值为5，取得最小值时*的取值围为-3≤*_≤2______.分析：即*与2的差的绝对值，它可以表示数轴上*与2之间的距离。即*与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上*与-3之间的距离。如图，*在数轴上的位置有三种可能：图1图2图3图2符合题意〔4〕满足的的取值围为*<-4或*>-1分析：同理表示数轴上*与-1之间的距离，表示数轴上*与-4之间的距离。此题即求，当*是什么数时*与-1之间的距离加上*与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：*<-4或*>-1。说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决*些问题时可以带来方便。事实上，表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了〔3〕、〔4〕这两道难题。小结1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识1．"代数式〞是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等容，是初中阶段同学们应该重点掌握的容之一。2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下根底。二、典型例题例1．假设多项式的值与*无关，求的值.分析：多项式的值与*无关，即含*的项系数均为零因为所以m=4将m=4代人，利用"整体思想〞求代数式的值例2．*=-2时，代数式的值为8，求当*=2时，代数式的值。分析：因为当*=-2时，得到，所以当*=2时，=例3．当代数式的值为7时,求代数式的值.分析：观察两个代数式的系数由得，利用方程同解原理，得整体代人，代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。例4．，求的值.分析：解法一〔整体代人〕：由得所以：解法二〔降次〕：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。由，得，所以：解法三〔降次、消元〕：〔消元、、减项〕例5．〔实际应用〕A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件根本一样，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利.分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入〔元〕第一年：A公司10000；B公司5000+5050=10050第二年：A公司10200；B公司5100+5150=10250第n年：A公司10000+200(n-1〕；B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则的值是_______。解：因为abc<0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数又因为a+b+c>0，所以a、b、c中只有一个是负数。不妨设a<0，b>0，c>0则ab<0，ac<0，bc>0所以*=-1+1+1-1-1+1=0将*=0代入要求的代数式，得到结果为1。同理，当b<0，c<0时，*=0。另：观察代数式，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。规律探索问题：1728394105116172839410511612〔1〕"17”在射线____"2008”在射线___________上〔2〕假设n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的代数式表示为__________________________．分析：OA上排列的数为：1，7，13，19，…观察得出，这列数的后一项总比前一项多6，归纳得到，这列数可以表示为6n-5因为17=3×6-1，所以17在射线OE上。因为2021=334×6+4=335×6-2，所以2021在射线OD上例8．将正奇数按下表排成5列:第一列第二列第三列第四列第五列第一行1357第二行1513119第三行17192123第四行31292725根据上面规律，2007应在A．125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找第三列数：3，11，19，27，规律为8n-5因为2007=250×8+7=251×8-1所以，2007应该出现在第一列或第五列又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开场从小到大排列，所以2007应该在第251行第5列例9．〔2006年市〕定义一种对正整数n的"F〞运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为〔其中k是使为奇数的正整数〕，并且运算重复进展．例如，取n＝26，则：2626134411第一次F②第二次F①第三次F②…假设n＝449，则第449次"F运算〞的结果是__________．分析：问题的难点和解题关键是真正理解"F〞的第二种运算，即当n为偶数时，结果为〔其中k是使为奇数的正整数〕，要使所得的商为奇数，这个运算才能完毕。449奇数，经过"F①〞变为1352；1352是偶数，经过"F②〞变为169，169是奇数，经过"F①〞变为512，512是偶数，经过"F②〞变为1，1是奇数，经过"F①〞变为8，8是偶数，经过"F②〞变为1，我们发现之后的规律了，经过屡次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。再看运算的次数是449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，所以，结果是8。三、小结用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。第三讲：与一元一次方程有关的问题一、知识回忆一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要容，它既是对前面所学知识——有理数局部的稳固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等容打下坚实的根底。典型例题：二、典型例题例1．假设关于*的一元一次方程=1的解是*=-1，则k的值是〔〕A．B．1C．-D．0分析：此题考察根本概念"方程的解〞因为*=-1是关于*的一元一次方程=1的解，所以，解得k=-例2．假设方程3*-5=4和方程的解一样，则a的值为多少.分析：题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数*，所以可以解这个方程求得*的值；第二个方程中有a与*两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有方法求得a与*的值，因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解一样，所以可以把第一个方程中解得*代入第二个方程，第二个方程也就转化为一元一次方程了。解：3*-5=4，3*=9，*=3因为3*-5=4与方程的解一样所以把*=3代人中即得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2例3.〔方程与代数式联系〕a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算.〔1〕则的值为；〔2〕当时，=.分析：〔1〕即a=1，b=2，c=-1，d=2，因为，所以=2-〔-2〕=4〔2〕由得：10-4〔1-*〕=18所以10-4+4*=18，解得*=3例4．〔方程的思想〕如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶装有高厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶的墨水的体积约占玻璃瓶容积的〔〕不考虑瓶子的厚度.不考虑瓶子的厚度.A．B．C．D．分析：左右两个图中墨水的体积应该相等，所以这是个等积变换问题，我们可以用方程的思想解决问题解：设墨水瓶的底面积为S，则左图中墨水的体积可以表示为Sa设墨水瓶的容积为V，则右图中墨水的体积可以表示为V-Sb于是，Sa=V-Sb，V=S(a+b)由题意，瓶的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为例5．小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，假设小迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开场时，有多少人排队。分析："B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人〞相当于B窗口前的队伍每分钟减少1人，题中的等量关系为：小在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+解：设开场时，每队有*人在排队，2分钟后，B窗口排队的人数为：*-6×2+5×2=*-2根据题意，可列方程：去分母得3*=24+2(*-2)+6去括号得3*=24+2*-4+6移项得3*-2*=26解得*=26所以，开场时，有26人排队。课外知识拓展：一、含字母系数方程的解法：思考：是什么方程.在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a≠0，所以不是一元一次方程我们把它称为含字母系数的方程。例6．解方程解：〔分类讨论〕当a≠0时，当a=0，b=0时，即0*=0，方程有任意解当a=0，b≠0时，即0*=b，方程无解即方程的解有三种情况。例7．问当a、b满足什么条件时，方程2*+5-a=1-b*：〔1〕有唯一解；〔2〕有无数解；〔3〕无解。分析：先解关于*的方程，把*用a、b表示，最后再根据系数情况进展讨论。解：将原方程移项得2*+b*=1+a-5，合并同类项得：(2+b)*=a-4当2+b0，即b-2时，方程有唯一解，当2+b=0且a-4=0时，即b=-2且a=4时，方程有无数个解，当2+b=0且a-4≠0时，即b=-2且a≠4时，方程无解，例8．解方程分析：根据题意，ab≠0，所以方程两边可以同乘ab去分母，得b(*-1)-a(1-*)=a+b去括号，得b*-b-a+a*=a+b移项，并项得(a+b)*=2a+2b当a+b≠0时，=2当a+b=0时，方程有任意解说明：此题中没有出现方程中的系数a=0，b≠0的情况，所以解的情况只有两种。二、含绝对值的方程解法例9．解以下方程解法1：〔分类讨论〕当5*-2>0时，即*>，5*-2=3，5*=5，*=1因为*=1符合大前提*>，所以此时方程的解是*=1当5*-2=0时，即*=，得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解当5*-2<0时，即*<，5*-2=-3，*=因为*=符合大前提*<，所以此时方程的解是*=综上，方程的解为*=1或*=注：求出*的值后应注意检验*是否符合条件解法2：〔整体思想〕联想：时，a=±3类比：，则5*-2=3或5*-2=-3解两个一元一次方程，方程的解为*=1或*=例10．解方程解：去分母2|*-1|-5=3移项2|*-1|=8|*-1|=4所以*-1=4或*-1=-4解得*=5或*=-3例11．解方程分析：此题适合用解法2当*-1>0时，即*>1，*-1=-2*+1，3*=2，*=因为*=不符合大前提*>1，所以此时方程无解当*-1=0时，即*=1，0=-2+1，0=-1，此时方程无解当*-1<0时，即*<1，1-*=-2*+1，*=0因为*=0符合大前提*<1，所以此时方程的解为*=0综上，方程的解为*=0三、小结1、体会方程思想在实际中的应用2、体会转化的方法，提升数学能力第四讲：图形的初步认识一、相关知识：1．认识立体图形和平面图形我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆立体图形和平面图形关系立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法〔1〕画出立体图形的三视图立体图形的的三视图是指正视图〔从正面看〕、左视图〔从左面看〕、俯视图〔从上面看〕得到的三个平面图形。〔2〕立体图形的平面展开图常见立体图形的平面展开图圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体〔共十一种〕二、典型问题：〔一〕正方体的侧面展开图〔共十一种〕分类记忆：第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。第四类，两排各三个，只有一种。根本要求：1.在右面的图形中是正方体的展开图的有〔C〕〔A〕3种〔B〕4种〔C〕5种〔D〕6种2．以下图中,是正方体的展开图是(B)ABCD3．如图四个图形都是由6个大小一样的正方形组成，其中是正方体展开图的是〔D〕A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①②④121236454．以下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是(A)A．7B．8C．9D．105．一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对两个面所写的两个数之和相等，则a+b-2c=〔B〕A．40B.38C.36D.34分析：由题意8+a=b+4=c+25所以b=4+ac=a-17所以a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=386．将如下图的正方体沿*些棱展开后，能得到的图形是〔C〕A．B．C．D．7．以下图是*一立方体的侧面展开图，则该立方体是〔D〕A．B．A．B．C．D．复原正方体，正确识别正方体的相对面。〔二〕常见立体图形的平面展开图8．以下图形是四棱锥的展开图的是〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9．下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是(A)A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥10．以下几何体中是棱锥的是〔B〕A.B.C.D.11．如图是一个长方体的外表展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求答复以下问题：〔1〕如果A面在长方体的底部，则哪一个面会在上面.〔2〕假设F面在前面，B面在左面，则哪一个面会在上面.〔字母朝外〕〔3〕假设C面在右面，D面在后面，则哪一个面会在上面.〔字母朝外〕答案：〔1〕F；〔2〕C，A〔三〕立体图形的三视图12．如图，从正面看可看到△的是(C)13．对右面物体的视图描绘错误的选项是〔C〕14．如图的几何体，左视图是〔B〕15．如图，是由几个一样的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个俯视图左视图主视图俯视图左视图主视图A．3B．4C．5D．6〔四〕新颖题型16.正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，则长方体的下底面数字和为.分析：正面—黄，右面—红，上面—蓝，后面—紫，下面—白，左面—绿所以，从右到左，底面依次为：白、绿、黄、紫数字和为：4+6+2+5=1717．观察以下由棱长为1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图⑴所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图⑵所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图⑶所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见……〔1〕写出第⑹个图中看不见的小立方体有125个；〔2〕猜测并写出第(n)个图形中看不见的小立方体的个数为____(n-1)3______个.分析：11=10=0328=231=13327=338=23464=4327=33nn3(n-1)3第五讲：线段和角一、知识构造图二、典型问题：〔一〕数线段——数角——数三角形问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段.分析：点线段2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4615=1+2+3+4+5……n1+2+3+…+(n-1)=问题2．如图，在∠AOB部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有〔D〕个(A)3(B)4(C)5(D)6拓展：1、在∠AOB部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个.射线角13=1+226=1+2+3310=1+2+3+4……n1+2+3+…+(n+1)=类比：从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个.射线角2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4……n1+2+3+…+(n-1)=类比联想：如图，可以得到多少三角形.〔二〕与线段中点有关的问题线段的中点定义：文字语言：假设一个点把线段分成相等的两局部，则这个点叫做线段的中点图形语言：几何语言：∵M是线段AB的中点∴，典型例题：1．由以下条件一定能得到"P是线段AB的中点〞的是〔D〕〔A〕AP=AB〔B〕AB＝2PB〔C〕AP＝PB〔D〕AP＝PB=AB2．假设点B在直线AC上，以下表达式：①；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．其中能表示B是线段AC的中点的有〔A〕A．1个

B．2个

C．3个

D．4个3.如果点C在线段AB上,以下表达式①AC=AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中,能表示C是AB中点的有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个4．线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，则MR=______MN．分析：据题意画出图形设QN=*，则PQ=*，MP=2*，MQ=3*，所以，MR=*，则5．如下图，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，假设MN=a，BC=b，则线段AD的长是〔〕A2〔a-b〕B2a-bCa+bDa-b分析：不妨设=ND=*，AM=MB=y因为MN=MB+BC+所以a=*+y+b因为AD=AM+MN+ND所以AD=y+a+*=a-b+a=2a-b〔三〕与角有关的问题1．：一条射线OA，假设从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，则∠AOC=____80°或40°________度〔分类讨论〕2．A、O、B共线，OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线，猜测∠MON的度数，试证明你的结论．猜测：_90°______证明：因为OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线所以∠MOC=∠AOC，∠CON=∠COB因为∠MON=∠MOC+∠CON所以∠MON=∠AOC+∠COB=∠AOB=90°3．如图，直线和相交于点，是直角，平分，，求的度数．分析：因为是直角，，所以∠EOF=56°因为平分所以∠AOF=56°因为∠AOF=∠AOC+∠COF所以∠AOC=22°因为直线和相交于点所以=∠AOC=22°4．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，〔1〕假设∠A=60°，求∠O；〔2〕假设∠A=100°，∠O是多少.假设∠A=120°，∠O又是多少.〔3〕由〔1〕、〔2〕你又发现了什么规律.当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗.〔提示：三角形的角和等于180°〕答案：〔1〕120°；〔2〕140°、150°〔3〕∠O=90°+∠A5．如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有〔B〕对(A)2(B)3(C)4(D)56．互为余角的两个角〔B〕〔A〕只和位置有关〔B〕只和数量有关〔C〕和位置、数量都有关〔D〕和位置、数量都无关7．∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是〔C〕A.〔∠1＋∠2〕B.∠1C.〔∠1－∠2〕D.∠2分析：因为∠1＋∠2=180°，所以〔∠1＋∠2〕=90°90°-∠2=〔∠1＋∠2〕-∠2=〔∠1－∠2〕第六讲：相交线与平行线一、知识框架二、典型例题1.以下说确的有(B)①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③假设两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④假设两个角不是对顶角,则这两个角不相等.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如下图,以下说法不正确的选项是(D)A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段3.以下说确的有(C)①在平面,过直线上一点有且只有一条直线垂直于直线;②在平面,过直线外一点有且只有一条直线垂直于直线;③在平面,过一点可以任意画一条直线垂直于直线;④在平面,有且只有一条直线垂直于直线.A.1个B.2个C.3个D.4个4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向一样，这两次拐弯的角度可能是〔A〕A.第一次向左拐30°第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°第二次向左拐130°C.第一次向右拐50°第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°第二次向左拐130°5．如图，假设AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，则以下结论必定成立的是〔C〕A.CD>ADB.AC<BCC.BC>BDD.CD<BD分析：考察垂线段的性质、根本图形——"双垂直〞图形6．如图,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG平分∠BEF,假设∠1=72°,则∠2=____54°___.7．如图,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有(C)A.6个B.5个C.4个D.3个8．如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，假设n条直线相交呢.答案：3对，n(n+1)9.如图，在的正方形网格中，的大小关系是_________．1123答案：∠1=∠2>∠310.如下图,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.(方程思想)答案：36°11．如下图,AB∥CD,分别探索以下四个图形中∠P与∠A,∠C的关系,请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.(1)(2)(3)(4)〔1〕分析：过点P作PE//AB∠APE+∠A+∠C=360°〔2〕∠P=∠A+∠C〔3〕∠P=∠C-∠A,〔4〕∠P=∠A-∠C12．如图，假设AB//EF，∠C=90°，求*+y-z度数。分析：如图，添加辅助线证出：*+y-z=90°13．：如图，求证：分析：法一法二：由AB//CD证明PAB=APC，所以EAP=APF所以AE//FP所以第七讲：平面直角坐标系一、知识要点：1、特殊位置的点的特征〔1〕各个象限的点的横、纵坐标符号〔2〕坐标轴上的点的坐标：轴上的点的坐标为,即纵坐标为0;轴上的点的坐标为，即横坐标为0;2、具有特殊位置的点的坐标特征设、、两点关于轴对称，且;、两点关于轴对称，且;、两点关于原点轴对称，且。3、距离〔1〕点A到轴的距离：点A到轴的距离为||；点A到轴的距离为||；〔2〕同一坐标轴上两点之间的距离：A、B，则；A、B，则；二、典型例题1、点M的坐标为〔*，y〕，如果*y<0,则点M的位置()(A)第二、第三象限(B)第三、第四象限(C)第二、第四象限(D)第一、第四象限2．点P〔m，1〕在第二象限，则点Q〔-m，0〕在〔〕A．*轴正半轴上B．*轴负半轴上C．y轴正半轴上D．y轴负半轴上3．点A〔a，b〕在第四象限，则点B〔b，a〕在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．点P〔1，-2〕关于y轴的对称点的坐标是〔〕A．〔-1，-2〕B．〔1，2〕C．〔-1，2〕D．〔-2，1〕5．如果点M〔1-*，1-y〕在第二象限，则点N〔1-*，y-1〕在第象限，点Q〔*-1，1-y〕在第象限。6．如图是中国象棋的一盘残局，如果用(4，o)表示帅的位置，用(3，9)表示将的位置，则炮的位置应表示为A．(8，7)B．(7，8)C．(8，9)D．(8，8)7．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为〔0，0〕，〔5，0〕，〔2，3〕则顶点C的坐标为〔〕A．〔3，7〕B．〔5，3〕C．〔7，3〕D．〔8，2〕8．点P〔*,〕，则点P一定〔〕A．在第一象限B．在第一或第四象限C．在*轴上方D．不在*轴下方9．长方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且AB∥*轴，假设点A的坐标为〔－2，4〕，则点C的坐标为___(3,-4)(-7,-4)(3,12)(-7,12)______。10．三角形ABC三个顶点的坐标分别是A〔-4，-1〕，B〔1，1〕，C〔-1，4〕，将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是〔C〕A．〔2，2〕，〔3，4〕，〔1，7〕B．〔-2，2〕，〔4，3〕，〔1，7〕C．〔-2，2〕，〔3，4〕，〔1，7〕D．〔2，-2〕，〔3，3〕，〔1，7〕11．"假设点P、Q的坐标是〔*1，y1〕、〔*2，y2〕，则线段PQ中点的坐标为〔，〕．〞点A、B、C的坐标分别为〔-5，0〕、〔3，0〕、〔1，4〕，利用上述结论求线段AC、BC的中点D、E的坐标，并判断DE与AB的位置关系．解：由"中点公式〞得D〔-2，2〕，E〔2，2〕，DE∥AB．12．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，将绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．分析：13．如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为〔-4，-6〕，〔-6，-3〕，求三角形AOB的面积解：做辅助线如图．S△AOB=S梯形BCDO-〔S△ABC+S△OAD〕=×〔3+6〕×6-〔×2×3+×4×6〕=27-〔3+12〕=12．14．如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为〔–2，8〕，〔–11，6〕，〔–14，0〕，〔0，0〕。〔1〕确定这个四边形的面积，你是怎么做的"〔2〕如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少.分析：〔2〕面积不变15．如图，A1(1,0)、A2〔1，1〕、A3〔-1，1〕、A4〔-1，-1〕、A5〔2，-1〕，…，则点A2007的坐标为______________________.答案：(-502,502)第八讲：与三角形有关的线段一、相关知识点1．三角形的边三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边即：△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b〔两点之间线段最短〕由上式可变形得到：a>c－b，b>a－c，c>b－a即有：三角形的两边之差小于第三边高由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线角平分线三角形一个角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线二、典型例题〔一〕三边关系1．三角形三边分别为2,a-1,4,则a的取值围是()A.1<a<5B.2<a<6C.3<a<7D.4<a<62．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的长度是整数小颖有几种选法.可以是多少.分析：设第三根木棒的长度为*，则3<*<13所以*=4,5,6,7,8,9,10,11,123：：△ABC中，AD是BC边上的中线求证：AD+BD>〔AB+AC〕分析：因为BD+AD>AB、CD+AD>AC所以BD+AD+CD+AD>AB+AC因为AD是BC边上的中线，BD=CD所以AD+BD>〔AB+AC〕〔二〕三角形的高、中线与角平分线问题：〔1〕观察图形，指出图中出现了哪些高线.〔2〕图中存在哪些相等角.注意根本图形：双垂直图形4．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C〔∠C除外〕相等的角的个数是〔〕A．5B．4C．3D．2分析：5．如图，⊿ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠CDF的度数。分析：∠CED=40°+34°=74°所以∠CDF=74°6．一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进展比照试验，需要将这块地分成面积相等的四块，请你设计出四种划分方案供选择，画图说明。分析：7．⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O。〔1〕假设∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC=。〔2〕假设∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC=。〔3〕假设∠A=76°，则∠BOC=。〔4〕假设∠BOC=120°，则∠A=。〔5〕你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗.8．:BE,CE分别为△ABC的外角∠MBC,∠NCB的角平分线,求:∠E与∠A的关系分析：∠E=90°-∠A9．:BF为∠ABC的角平分线,CF为外角∠ACG的角平分线,求:∠F与∠A的关系分析：∠F=∠A思考题：如图：∠ABC与∠ACG的平分线交于F1；∠F1BC与∠F1CG的平分线交于F2；如此下去,∠F2BC与∠F2CG的平分线交于F3；…探究∠Fn与∠A的关系〔n为自然数〕第九讲：与三角形有关的角一、相关定理〔一〕三角形角和定理：三角形的角和为180°〔二〕三角形的外角性质定理：三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个角和三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的角〔三〕多边形角和定理：n边形的角和为多边形外角和定理：多边形的外角和为360°二、典型例题问题1：如何证明三角形的角和为180°.1．如图,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED,求∠CDE的度数.分析：∠CDE=∠ADC-∠2∠1=∠B+40°-∠2∠1=∠B+40°-〔∠1+∠C〕2∠1=40°∠1=20°2．如图：在△ABC中，∠C>∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC求证：∠EAD＝〔∠C－∠B〕3．：CE是△ABC外角∠ACD的角平分线，CE交BA于E求证：∠BAC>∠B分析：问题2：如何证明n边形的角和为4．多边形角和与*一个外角的度数总和是1350°，求多边形的边数。5．科技馆为*机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图4中的步骤行走，则该机器人所走的总路程为〔〕A.6米 B.8米C.12米D.不能确定第十讲：二元一次方程组一、相关知识点二元一次方程的定义：经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。2、二元一次方程的标准式：一元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右两边的值相等的一对和的值，叫做这个方程