多为随机变量及其分布课件

第三章多维随机变量及其分布§1二维随机变量及其分布一、二维随机变量定义定义1：设是随机试验E的样本空间，设和是定义在上的随机变量，由它们构成的一个向量叫作

二维随机向量或二维随机变量。2022/12/291例如S={某地区的全部学龄前儿童}，对于S中每一个样本点表示一个学龄前儿童，和分别表示这个这个儿童的身高和体重，则就是一个二维随机变量。二、二维随机变量分布函数的定义定义2：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数，称二元函数

为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。2022/12/292三、二维随机变量的分布函数的性质(1)（2）是或的单调不减函数，且对任意固定的，对任意固定的，，(3)关于(或)是右连续的；(4)2022/12/293通常也可用以下表格来表示和的联合分布律这里的满足，2022/12/295例1:设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值，试求(X,Y)的分布律。例2：设为两个随机事件，且令，求二维随机变量(X,Y)的概率分布。已知离散型随机变量和的联合分布律，则和的联合分布函数为2022/12/296五、二维连续型随机变量1、定义定义4：对于二维随机变量(X,Y)的分布函数，如果存在非负函数使得则称(X,Y)是二维连续型随机变量，称函数为二维型随机变量(X,Y)的概率密度（或称为随机变量X和Y的联合概率密度）。2022/12/2972、联合概率密度的性质(1)(2)（3）设G是平面上的区域，点(X,Y)落在G内的概率为(4)若在点连续，则有2022/12/2982022/12/2910(2)二维正态分布若二维随机变量的联合概率密度为其中为常数，且，则称服从二维正态分布，记为2022/12/2912七、边缘分布定义1：设是一个二维随机变量，它的分布

函数为，通常我们可以分别将和看作是一维的随机变量，并将一维随机变量和所对应的分布函数分别称为二维随机变量关于X

和关于Y的边缘分布函数。2022/12/29141、二维离散型随机变量的边缘分布对于二维离散型随机变量，它的分布律为则X和Y的分布函数为2022/12/2915X和Y的分布律为2022/12/2916定义2：记则称和为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律。2022/12/2917补：设随机变量，随机变量，试求和的联合分布律及边缘分布律。例1：一个整数N等可能地在十个值中取一个值，设

是能整除N的正整数的个数，

是能整除N的素数的个数。试求和的联合分布律，并求它们的边缘分布律。2022/12/2918二维正态分布的边缘概率密度为注意：在一般情况下，由关于X和关于Y的边缘分布是

不能确定随机变量X和Y的联合分布的。2022/12/2920例2：设随机变量X和Y具有联合概率密度为求边缘概率密度。2022/12/2921例3：设(X，Y)是二维离散随机变量，已知关于X的边缘分布律为且（1）求(X，Y)的分布律和关于Y的边缘分布律；（2）求二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为

Y=1的条件下，X的条件分布律。2022/12/29232、二维连续型随机变量的条件分布2022/12/2924类似地可定义在的条件下Y的条件概率密度和条件分布函数注：这里意味着在的条件下，的概率，即

2022/12/2926例4：设数X在区间上随机地取值，当观察到

时，数Y在区间上随机地取值，求的概率密度。思考题:若改为数在区间上随机地取值，又该如何？2022/12/2927例5：设二维随机变量的概率密度函数为

求、和。2022/12/2928例6：袋中有2只白球，3只黑球，现进行无放回地摸球，定义：求⑴(ξ,η)的联合分布；⑵ξ,η的边际分布；⑶ξ,η是否相互独立。2022/12/2930二、二维随机变量的独立性例如：人的身高和体重这两个随机变量不是独立的，但身高与视力是独立的两个随机变量。注意：随机变量的独立性与随机事件的独立性的关系。定义4:设和分别是二维随机变量的分布函数和边缘分布函数，若对于所有都有则称随机变量X和Y是独立的。2022/12/2931例1：已知的分布函数为

(1)求和的边缘分布函数；(2)和是否是相互独立的？2022/12/29321、离散型随机变量的独立性对于离散型随机变量(X,Y)来说，X与Y相互独立等价于对所有可能的取值()都有例2：设X，Y相互独立，下表为(X,Y)的分布律及边缘分布的部分数值，又知，试将其余值填入表中：2022/12/2933思考题：设两个随机变量X和Y相互独立且同分布：求。2022/12/2934例3：设的联合分布律为已知，求常数和。思考题：若将已知条件该为与独立，又该怎样？2022/12/29352、连续型随机变量的独立性对于连续型随机变量(X,Y)来说，X与Y相互独立等价于几乎处处成立。对于二维正态分布（X，Y）来说，X和Y

相互独立的充要条件是参数。2022/12/2936注意：在独立的条件下，边缘概率密度等于

条件概率密度。例4：设二维随机变量的概率密度函数为(1)求的边缘概率密度函数，并判断是否独立；(2)求条件概率密度。2022/12/2937若的分布函数为，则关于的边缘分布函数为三、维随机变量的独立性若对于所有的，有则称是相互独立的。2022/12/2938若对于所有的有则称随机矢量与是相互独立的。定理1：设随机矢量与相互独立，则和相互独立；若是连续函数，则和相互独立。2022/12/2939§3两维随机变量的函数的分布一、的分布1、连续的情况设的概率密度为，则的分布函数为2022/12/2940所以的概率密度为或当和相互独立时，可得2022/12/2941同时，若，且相互独立，则当和相互独立且，则若服从二维正态分布，则服从正态分布;若服从二维正态分布，则都服从正态分布;若都服从正态分布且相互独立，则服从正态分布。2022/12/2942若都服从(0-1)分布,且相互独立,则2、离散的情况若相互独立，且则的概率分布律为若且相互独立，则。

若且相互独立，则

2022/12/2943例1：设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，求。例2：设随机变量和相互独立，，

，试求的概率密度函数。2022/12/2944二、和的分布设是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数为和，则的分布函数为2022/12/2945的分布函数为和的分布函数为设是相互独立的随机变量，则2022/12/2946例3：设随机变量相互独立，都服从相同的

的分布，其概率密度为其中参数