高一数学指数函数及对数函数课件

根式

知识点1．整数指数幂的概念.根式知识点1．整数指数幂的概念.12．运算性质.2．运算性质.2根式的定义记为：根指数被开方数根式.根式的定义记为：根指数被开方数根式.3根式的性质当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数记作：当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）记作：3.负数没有偶次方根。4.0的任何次方根为0。.根式的性质当n为奇数时：记作：当n为偶数时，记作：3.4常用公式1.2.当n为奇数时当n为偶数时3.根式的基本性质：无此条件，公式不成立.常用公式1.2.当n为奇数时当n为偶数时3.根式的5练习（1）拆项，配方，绝对值（2）变为同次根式，再运算。6.练习（1）拆项，配方，绝对值（2）变为同次根式，再运算。66指数-分数指数正数的正分数指数幂(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)正数的负分数指数幂和0的分数指数幂(a＞0，m,n∈N*,且n＞1)根指数是分母，幂指数是分子.指数-分数指数正数的正分数指数幂(a＞0,m,n∈N*,70的正分数指数幂等于00的负分数指数幂无意义有理指数幂的运算性质.0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂无意义有理指数幂的8练习1求值：解：.练习1求值：解：.92.用分数指数幂的形式表示下列各式：1).3.计算下列各式（式中字母都是正数）4a要点：分别计算系数和指数.2.用分数指数幂的形式表示下列各式：1).3.计算下列104.计算下列各式：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。.4.计算下列各式：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再11举例.举例.124a.4a.13(1)(2).(1)(2).146.7.6.6.7.6.15讨论：见后分子，分母同乘.讨论：见后分子，分母同乘.16..17指数函数指数函数的定义函数y=ax,

(a>0,a≠1)

叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。

注意类似与2ax，ax+3的函数，不能叫指数函数。.指数函数指数函数的定义18..19例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。经过x年，剩留量y=0.84x从图上看出y=0.5只需x≈4..例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物20例2比较大小：①1.72.5，1.73；②0.8-0.1

，0.8-0.2

；

③1.70.3

，0.93.1利用函数单调性y=1.7x在R是增函数<y=0.8x在R是减函数<y=1.7x>1,y=0.8x<1>.例2比较大小：利用函数单调性y=1.7x在R是21练习底数化为正数。<(2).已知下列不等式，试比较m、n的大小

m<n

m<n.练习底数化为正数。<(2).已知下列不等式，试比较m、n22指数函数的应用例1.求下列函数的定义域、值域：函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围。（1）定义域为{x|x≠1}；值域为{y|y>0且y≠1}.指数函数的应用例1.求下列函数的定义域、值域：函数的定义23（2）y≥1值域为{y|y≥1}（3）所求函数定义域为R值域为{y|y>1}.（2）y≥1值域为{y|y≥1}（3）所求函数定义域为R24例2.求函数的单调区间，并证明。解一（作商法）：设，x1<x2y2/y1>1，函数单调增y2/y1<1，函数单调减结合图像.例2.求函数25解法二.（用复合函数的单调性）在R内单减在[-∞,1)内，单减；[1,∞)内，单增。

∴函数y在上单调递增，在上单调递减。同增，异减。单调区间内的值域：边界值。.解法二.（用复合函数的单调性）在R内单减在[-∞,1)内262x在R内单增，x1<x2：f(x1)<f(x2)所以对于a取任意实数，f(x)为增函数。.2x在R内单增，x1<x2：f(x1)<f(x2)所以对于27练习求下列函数的定义域和值域1.2.a>10<a<1当a>1时x≤0;当0<a<1时x≥0值域为0≤y<1x≠-3

y≠1,y>0值域为(0,1)∪(1,+∞).练习求下列函数的定义域和值域1.2.a>10<a<1当28指数函数3(函数的图象变换)1.y=f(x)→y=f(x-a)：左右平移a>0时，向右平移a个单位；a<0时，向左平移|a|个单位.y=f(x)y=f(x-a)，a>0y=f(x-a)，a<0平移变换.指数函数3(函数的图象变换)1.y=f(x)→y=f292.y=f(x)→y=f(x)+b：上下平移y=f(x)y=f(x)+b,b>0y=f(x)+b,b<0b>0时，向上平移b个单位；b<0时，向下平移|b|个单位..2.y=f(x)→y=f(x)+b：上下平移y=f(30对称变换y=f(x)y=f(-x)y=f(x)→y=f(-x)：（关于y轴对称）y=f(x)→y=-f(x)：（关于x轴对称）y=-f(x)y=f(x)→y=-f(-x)：（关于原点对称）y=-f(-x).对称变换y=f(x)y=f(-x)y=f(x)→y=f(-31y=f(x)→y=f(|x|)：把y轴右边的图像翻折到y轴左边绝对值变换y=f(x)f(|x|)y=f(x)→y=|f(x)|：把x轴下方的图像翻折到x轴上方y=|f(x)|.y=f(x)→y=f(|x|)：把y轴右边的图像翻折到y32反函数变换y=f(x)→y=f-1(x)：（关于y=x对称）y=f(x)y=xy=f-1(x).反函数变换y=f(x)→y=f-1(x)：（关于y=33作图练习1.在同一坐标系中作y=2x，x=2x+1，y=2x-2的图像1y=2xy=2x+1y=2x-2左移1个单位右移2个单位.作图练习1.在同一坐标系中作y=2x，x=2x+1，y=2342.作函数的图像.2.作函数的图像.352.作出函数的图像1把y轴右边的图形翻折到y轴的左边.2.作出函数的363.作出函数y=│2x

-1│的图像1y=2xy=2x-1把x轴下方的图形翻折到x轴上方y=│2x

-1│.3.作出函数y=│2x-1│的图像1y=2xy=374.作出函数y=|x-2|(x＋1)的图象分段函数：x≥2,y=(x-2)(x+1)x<2,y=-(x-2)(x+1)-12

x<2的部分关于x轴对称y=|x-2|(x＋1).4.作出函数y=|x-2|(x＋1)的图象分段函数：386.如图，点A、B、C都在函数y=的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论.ABCA’B’C’f(a)=SAA’C’C-SAA’B-SB’C’C.6.如图，点A、B、C都在函数y=的图象39(★★★★)当a≠0时，y=ax+b和y=bax

的图象只可能是()∵y=bax=(ba)x,∴这是以ba为底的指数函数.

观察直线方程可知：在选择B中a>0,b>1,∴ba>1,C中a＜0,b>1,∴0＜ba＜1,D中a＜0,0＜b＜1,∴ba>1.故选择B、C、D均与指数函数y=(ba)x的图象不符合.A.(★★★★)当a≠0时，y=ax+b和y=bax∵y=b40练习题定义域：xR；值域：

0<y≤111.练习题定义域：xR；值域：0<y≤111.412.求下列函数的单调区间1）2）：单增复合函数：同增，异减减区间为(-∞,2];增区间为[2,+∞)解答见后面.2.求下列函数的单调区间1）2）：单增复合函数：同增，422）分段讨论增增减减区间为[0.5,+∞)；增区间为(-∞,0.5].2）分段讨论增增减减区间为[0.5,+∞)；增区间为(-∞,43解：2y=2x+2-x2x×2y=2x×2x+2x×2-xu=2x:u2-2yu+1=0xR,∴△≥0

y>0:y≥1xR;y≥1偶函数.解：2y=2x+2-x2x×2y=2x×2x+2x445.函数y=ax+m-1,(a>0)的图像在1，3，4象限，求：a,m的取值范围1y=ax,(0<a<1)图像上下移动，过2，3，4象限1y=ax,(a>1)向下移动超过1个单位

m-1<-1,∴m<0a>1且m<0.5.函数y=ax+m-1,(a>0)的图像在1，3，456.求下列函数的值域1）2）定义域：│x│+x≠0

x>0，u>010u：增函数值域:(1,+∞)10u

t=2x,u=t2+6t+10

t>0,u>10.6.求下列函数的值域1）2）定义域：│x│+x≠0467.讨论函数

的单调性。令：t=ax，0<a<1,单减;a>1,单增。单增结论：0<a<1,f(x)单减a>1,f(x)单增。.7.讨论函数47方程有负实数解，求：a的取值范围。..48对数底数幂指数知a,x求b：乘方知b,x求a：开方知a,b求x：?.对数底数幂指数知a,x求b：乘方知b,x求49定义一般地，如果a的b次幂等于N,

就是:ab=N那么数b叫做a为底N的对数记作：对数符号底数真数以a为底N的对数对数的值和底数，真数有关。.

50例如：2-3.例如：2-3.51探究⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N>0）(2)⑶对数恒等式.探究⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N>0）52⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。记作lgN⑸自然对数在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数记作lnN.⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。53（6）底数的取值范围真数的取值范围范围.（6）底数的取值范围真数的取值范围范围.54对数举例例1.将下列指数式写成对数式log327=a.对数举例例1.将下列指数式写成对数式log327=a.55例2.将下列对数式写成指数式27=12810-2=0.01

e2.303=10.例2.将下列对数式写成指数式27=12810-2=056例3.计算9x=27,32x=33,2x=316-13.例3.计算9x=27,32x=33,2x=3157练习

1.把下列指数式写成对数式.练习1.把下列指数式写成对数式.582.把下列对数式写成指数式.2.把下列对数式写成指数式.593.求下列各式的值2-42-24-4.3.求下列各式的值2-42-24-4.604.求下列各式的值102352.4.求下列各式的值102352.61对数的运算性质复习重要公式⑴负数与零没有对数.对数的运算性质复习重要公式⑴负数与零没有对数.62指数运算法则对数运算性质.指数运算法则对数运算性质.63关于公式的几点注意1.简易语言表达积的对数=对数的和商的对数=对数的差幂的对数=底数的对数与指数的积2.有时逆向运用公式运.关于公式的几点注意1.简易语言表达积的对数=对数的643.真数的取值范围必须是是不成立的是不成立的4.特别注意.3.真数的取值范围必须是是不成立的是不成立的4.65应用举例例1计算2019.应用举例例1计算2019.66..67例3.计算0.例3.计算0.68练习1.求下列各式的值110-1.练习1.求下列各式的值110-1.69根式

知识点1．整数指数幂的概念.根式知识点1．整数指数幂的概念.702．运算性质.2．运算性质.71根式的定义记为：根指数被开方数根式.根式的定义记为：根指数被开方数根式.72根式的性质当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数记作：当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）记作：3.负数没有偶次方根。4.0的任何次方根为0。.根式的性质当n为奇数时：记作：当n为偶数时，记作：3.73常用公式1.2.当n为奇数时当n为偶数时3.根式的基本性质：无此条件，公式不成立.常用公式1.2.当n为奇数时当n为偶数时3.根式的74练习（1）拆项，配方，绝对值（2）变为同次根式，再运算。6.练习（1）拆项，配方，绝对值（2）变为同次根式，再运算。675指数-分数指数正数的正分数指数幂(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)正数的负分数指数幂和0的分数指数幂(a＞0，m,n∈N*,且n＞1)根指数是分母，幂指数是分子.指数-分数指数正数的正分数指数幂(a＞0,m,n∈N*,760的正分数指数幂等于00的负分数指数幂无意义有理指数幂的运算性质.0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂无意义有理指数幂的77练习1求值：解：.练习1求值：解：.782.用分数指数幂的形式表示下列各式：1).3.计算下列各式（式中字母都是正数）4a要点：分别计算系数和指数.2.用分数指数幂的形式表示下列各式：1).3.计算下列794.计算下列各式：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。.4.计算下列各式：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再80举例.举例.814a.4a.82(1)(2).(1)(2).836.7.6.6.7.6.84讨论：见后分子，分母同乘.讨论：见后分子，分母同乘.85..86指数函数指数函数的定义函数y=ax,

(a>0,a≠1)

叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。

注意类似与2ax，ax+3的函数，不能叫指数函数。.指数函数指数函数的定义87..88例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。经过x年，剩留量y=0.84x从图上看出y=0.5只需x≈4..例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物89例2比较大小：①1.72.5，1.73；②0.8-0.1

，0.8-0.2

；

③1.70.3

，0.93.1利用函数单调性y=1.7x在R是增函数<y=0.8x在R是减函数<y=1.7x>1,y=0.8x<1>.例2比较大小：利用函数单调性y=1.7x在R是90练习底数化为正数。<(2).已知下列不等式，试比较m、n的大小

m<n

m<n.练习底数化为正数。<(2).已知下列不等式，试比较m、n91指数函数的应用例1.求下列函数的定义域、值域：函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围。（1）定义域为{x|x≠1}；值域为{y|y>0且y≠1}.指数函数的应用例1.求下列函数的定义域、值域：函数的定义92（2）y≥1值域为{y|y≥1}（3）所求函数定义域为R值域为{y|y>1}.（2）y≥1值域为{y|y≥1}（3）所求函数定义域为R93例2.求函数的单调区间，并证明。解一（作商法）：设，x1<x2y2/y1>1，函数单调增y2/y1<1，函数单调减结合图像.例2.求函数94解法二.（用复合函数的单调性）在R内单减在[-∞,1)内，单减；[1,∞)内，单增。

∴函数y在上单调递增，在上单调递减。同增，异减。单调区间内的值域：边界值。.解法二.（用复合函数的单调性）在R内单减在[-∞,1)内952x在R内单增，x1<x2：f(x1)<f(x2)所以对于a取任意实数，f(x)为增函数。.2x在R内单增，x1<x2：f(x1)<f(x2)所以对于96练习求下列函数的定义域和值域1.2.a>10<a<1当a>1时x≤0;当0<a<1时x≥0值域为0≤y<1x≠-3

y≠1,y>0值域为(0,1)∪(1,+∞).练习求下列函数的定义域和值域1.2.a>10<a<1当97指数函数3(函数的图象变换)1.y=f(x)→y=f(x-a)：左右平移a>0时，向右平移a个单位；a<0时，向左平移|a|个单位.y=f(x)y=f(x-a)，a>0y=f(x-a)，a<0平移变换.指数函数3(函数的图象变换)1.y=f(x)→y=f982.y=f(x)→y=f(x)+b：上下平移y=f(x)y=f(x)+b,b>0y=f(x)+b,b<0b>0时，向上平移b个单位；b<0时，向下平移|b|个单位..2.y=f(x)→y=f(x)+b：上下平移y=f(99对称变换y=f(x)y=f(-x)y=f(x)→y=f(-x)：（关于y轴对称）y=f(x)→y=-f(x)：（关于x轴对称）y=-f(x)y=f(x)→y=-f(-x)：（关于原点对称）y=-f(-x).对称变换y=f(x)y=f(-x)y=f(x)→y=f(-100y=f(x)→y=f(|x|)：把y轴右边的图像翻折到y轴左边绝对值变换y=f(x)f(|x|)y=f(x)→y=|f(x)|：把x轴下方的图像翻折到x轴上方y=|f(x)|.y=f(x)→y=f(|x|)：把y轴右边的图像翻折到y101反函数变换y=f(x)→y=f-1(x)：（关于y=x对称）y=f(x)y=xy=f-1(x).反函数变换y=f(x)→y=f-1(x)：（关于y=102作图练习1.在同一坐标系中作y=2x，x=2x+1，y=2x-2的图像1y=2xy=2x+1y=2x-2左移1个单位右移2个单位.作图练习1.在同一坐标系中作y=2x，x=2x+1，y=21032.作函数的图像.2.作函数的图像.1042.作出函数的图像1把y轴右边的图形翻折到y轴的左边.2.作出函数的1053.作出函数y=│2x

-1│的图像1y=2xy=2x-1把x轴下方的图形翻折到x轴上方y=│2x

-1│.3.作出函数y=│2x-1│的图像1y=2xy=1064.作出函数y=|x-2|(x＋1)的图象分段函数：x≥2,y=(x-2)(x+1)x<2,y=-(x-2)(x+1)-12

x<2的部分关于x轴对称y=|x-2|(x＋1).4.作出函数y=|x-2|(x＋1)的图象分段函数：1076.如图，点A、B、C都在函数y=的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论.ABCA’B’C’f(a)=SAA’C’C-SAA’B-SB’C’C.6.如图，点A、B、C都在函数y=的图象108(★★★★)当a≠0时，y=ax+b和y=bax

的图象只可能是()∵y=bax=(ba)x,∴这是以ba为底的指数函数.

观察直线方程可知：在选择B中a>0,b>1,∴ba>1,C中a＜0,b>1,∴0＜ba＜1,D中a＜0,0＜b＜1,∴ba>1.故选择B、C、D均与指数函数y=(ba)x的图象不符合.A.(★★★★)当a≠0时，y=ax+b和y=bax∵y=b109练习题定义域：xR；值域：

0<y≤111.练习题定义域：xR；值域：0<y≤111.1102.求下列函数的单调区间1）2）：单增复合函数：同增，异减减区间为(-∞,2];增区间为[2,+∞)解答见后面.2.求下列函数的单调区间1）2）：单增复合函数：同增，1112）分段讨论增增减减区间为[0.5,+∞)；增区间为(-∞,0.5].2）分段讨论增增减减区间为[0.5,+∞)；增区间为(-∞,112解：2y=2x+2-x2x×2y=2x×2x+2x×2-xu=2x:u2-2yu+1=0xR,∴△≥0

y>0:y≥1xR;y≥1偶函数.解：2y=2x+2-x2x×2y=2x×2x+2x1135.函数y=ax+m-1,(a>0)的图像在1，3，4象限，求：a,m的取值范围1y=ax,(0<a<1)图像上下移动，过2，3，4象限1y=ax,(a>1)向下移动超过1个单位

m-1<-1,∴m<0a>1且m<0.5.函数y=ax+m-1,(a>0)的图像在1，3，1146.求下列函数的值域1）2）定义域：│x│+x≠0

x>0，u>010u：增函数值域:(1,+∞)10u

t=2x,u=t2+6t+10

t>0,u>10.6.求下列函数的值域1）2）定义域：│x│+x≠01157.讨论函数

的单调性。令：t=ax，0<a<1,单减;a>1,单增。单增结论：0<a<1,f(x)单减a>1,f(x)单增。.7.讨论函数116方程有负实数解，求：a的取值范围。..117对数底数幂指数知a,x求b：乘方知b,x求a：开方知a,b求x：?.对数底数幂指数知a,x求b：乘方知b,x求118定义一般地，如果a的b次幂等于N,