2011年全国大学生数学建模C题论文

g g1摘要间达到收支平衡模型。误差会被逐年放大，因此我们采用算术平均值和几何平均值分别估计平均工资的平均增长样本。通过比较误差，最终确定使用算术平均值估计年平均工资平均增长率：

g g2009

g 2008g200820101978 g1979

表一]2011年至2035年的年平均工资。2009年山东省某企业各年龄段平均工资与公司总平均工资之比。对问题的深入分析，我们推导出替代率的计算模型R(n,j,m)

(gnm

nmi0

ji

)1%

ni i0 nm 12(1(mi))pjm p8%

其中，n为年份，m为缴费年限，j职工首次缴纳养老保险金时的年龄；将附录2的数据代入(1)式得[附录4表三]各岁数及退休年龄的替代率。F(n,j,m,p,N)(g nm

nmi0

ji

)1%

i0ni

ji

12(1(mi))pj

p8%

i11i

mg 28%ni i0

ji

12(1(mi))p

2

p

将附录3的数据代入(2)式得表四[附录4表四]自2000年起从30岁开始缴养老保险，资金的等值计算，我们将退休后职工每月领取的养老金折现到同一个时点，从28%f(n,j,m) i11ip

然后再将附表3的数据代入(3)式得[附录4表五]达到收支平衡的年龄。问题四：当替代率确定为58.5%时，缺口模型为F(n,j,m,p,N)58.5%gnm

i11ip

28f(n,j,m)

4为了研究m,p对缺口函数的影响，利用函数的单调性判定定理，分别对(4)式中的m，p求偏导，得到：F(n,j,m,p,N)

28%gnm

11p

58.5%gnm

jm

i1

(12ip)2 i0

ji

112

由(4)，(5)，(6)以得到如下结论：或提高养老金储存利率。措施.企业可以将职工的养老保险基金作为投资。措施3.企业可以提高养老基金的缴费率。关键词：算术平均值几何平均值折现函数的单调性判定定理一、问题重述，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职为简单起见，利率统一设定为经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民总值达到中等发达国家水平。到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。附录1是山东省职工历年平均工资数据；附录2是2009年山东省某企业各年龄段3一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养替代率。职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取金之间达到收支平衡。四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以什么措施。请给出你的理由。 二、模型假设1人账户缴费统一从月底缴费。2工退休时间统一以每年年末计算。3金储存总额所得利息统一以单利进行计算。4．2009年山东省某企业各年龄段月工资成均匀分布。5人养老金都以整年缴纳，中途无间隔情况。进行计算。三、符号说明:历届年平均工资的平均增长率，1 为算 2为几何平均值；n：年份；jpg :企业职工在j岁数的工资与社会平均工资之比；:企业职工在j岁退休时的计发月数;A(n,j,m)：j岁的职工，从n年开始缴费，缴纳m年后，退休时领取的养老金；A1(n,j,m)：j岁的职工，从n年开始缴费，缴纳m年后，基础养老金；A2(n,j,m)：j岁的职工，从n年开始缴费，缴纳m年后，个人账户养老金；f(n,j,m)：j岁的职工，从n年开始缴费，缴纳m年后，个人账户储存额；R(n,j,m)：j岁的职工，从n年开始缴费，缴纳m年后，替代率；保险基金的缺口四、问题分析取模型的好坏；得简化。推导出各年龄段的养老金替代率的计算模型，使得问得简单；问题三：计算缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡，也就是进行确定结算时点尤为重要。这里可以将时点确定到退休的年末，休年末。单调题得以求解。五、模型的建立与求解5.1关于问题一的模型建立与求解一的核心是估计每年的平均增长率。由此我们选取了二个计算，一是算术平均值求年平均增长率，二是几何平均值求年平均增长率。为了评估这两种模型的合理性，我们将附录1中的数据分为两组，第一组是1978组作为我们的年平均增长率的检验样本。设山东省职工n年时的平均工资为gn，例如:g2000表示2000年的山东省的平均工因此，第一组数据可得：

g

g 20061978 g

78

g g2006 g2005

g g2005 g2004

g g1979 g1978

表六算术平均值求年平均增长率与几何平均值求年平均增长率误差分析参数均值增长率样本误差（第一组数据）检验样本误差（第二组数据）3577184113592155219719060763714511369495

g

g 20101978 g

gn1(11)计算结果如下： 年份364564143747098535326084569158786073469119

年份3516949219264821896724888228288432153236545941538847213853664260995769328980065.2关于问题二的模型建立与求解表八2009年山东省某企业各年龄段平均工资与公司总平均工资之比0000工资26.95207772.28平均工资89.12

比例(j)0.7228390.8693551.0611111.0630781.1472621.1025051.109969160375年，到mn年时，此人个人储存额f(n,j,m)，假设i(0,m)的变量，gni为全省职工在ni年的年平均工资，ji为企业职工在ji岁数的工资与企业工资（即全省年平均工ni

ji为职工在ji岁的年工资，p为统一设定的利率3%，jm职工自n年开始从j岁开始缴养老保险，在ni年时的第1个月末缴纳的缴纳的个人账户养老金累积到nm年末的本息和为112

gni

ji

(1(12(mi)1)

p

)8%在ni年时的第2个月末缴纳的个人账户养老金累积到nm年末的本息和为112

gni

ji

p

)8%在ni年时的第12个月末缴纳的个人账户养老金累积到nm年末的本息和为112

gni

ji

p

)8%从ni年的1月累计到12月，得到合计数，112

gni

ji

13p2

)8%因此，职工自n年开始从j岁开始缴养老保险在nm年末个人账户存储额为：mg f(n,j,m)ni i0

ji

2

p8% 因为：个人账户养老金=个人账户储存额/计发月数jm数华月平均缴费工资的定义，结合本文定义，可以得到新的指数化月平均工资S(n,j,m)

nm

j

nmnm

nm1

j1 nm nm1

nmS(n,j,m) nmi0

ji1基础养老金A1(n,j,m)(gnmS(n,j,m))21%金为： g gnm (g i0 )1%nm

i0

ni

ji

j

p8% 率为：R(n,j,m)

(gnm

nmi0

ji

ni )1%i0 nm p8% 表九退休养老金以及替代率

单位元缴费30岁的养30岁退休30岁替40岁的养40岁退休40岁替年龄老金 前工资 代率 老金 前工资 岁岁岁

6887.5022.37

99

754

9.33

559074

6605.3关于问题三的模型建立与求解支平衡。假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，75资金的等值计算，我们将退休后职工每月领取的养老金折现到同一个时点，折法如下：11211i12A(n,j,m) g 2p1122p1N12 i11i12当职工退休月末时缴存的养老保险基金等于折现领取的养老金总和时，可求出在后，其缴存养老保险金与领取的养老金之间达到收支平衡。那么，28%f(n,j,m)

i0

ni

ji

12(1(mi))p8%

p8%(g

) 1%

12

12(1(mi))p

13

p8%i1

1i

120)某企业职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直到退休（55岁、60岁、65将n2000,j30以及附录3的数据代入(10)式得到表十表十达到收支平衡的岁数退休年龄 55岁60岁65岁达到收支平衡所需月数（

达到收支平衡所需年数（m）9 7.76．4达到收支平衡岁数（j） 67 g g1表十一领取养老金月数表和存储年限表退休年龄 55岁 60岁 65岁领取养老金月数（存储年限（

方便计算缺口数据，我们定义缺口函数为F(n,j,m,p,N)(g nm

nmi0

ji

)1%

i0ni

ji

j

p8%

i1

1ip i0

ji

p8% (g nm

nmi0

ji

)1%

i0ni

ji

12(1(mi))pjm

p8%

i11i

i0

ji

p1)将n2000,j30及表十一数据代入(11)得到表十二年龄

55589.96

600503.99

653089.210,5.4关于问题四的模型建立与求解假设该企业某职工自n年起从j岁开始缴养老保险，一直缴费到退休，一共缴纳了A(n,j,m)Rgnm jm达到目标替代率的职工退休末领取的养老保险基金的缺口为：F(n,j,m,p,N)58.5%gnm

j

i11ip

28f(n,j,m)58.5%gnm

j

i1

1i12

i0

g ni

ji

p对函数F(n,j,m,p)求自变量m和p的偏导数：F(n,j,m,p,N)

28%gnm

jm

13p2

28%g nm

j

11p对于上式中，任意n0,j0,gnm

jm

0,p0，则

F(n,j,m,p,N)

0，所以F(n,j,m,p,N)

58.5%gnm

jm

i1

(12ip)2 i0

ji

112式中，任意n0,j0,gnm

0,

jm

i1

(12ip)2 i0

ji

1102述表达式可知：年限或提高养老金储存利率。措施企业可以将职工的养老保险基金作为投资。措施3.企业可以提高养老基金的缴费率。六、模型的评价2了大量的公式推导计算，使论文推理更加清楚，思路更加清晰，方法更越。3文叙述条理清楚，中心突出，步骤明了。：在论文中设有部分推理假设，产生的误差有所加大。七、参考文献.年..2011 年份n

工资

年增长率

06年份107228算术平均值实际7414预测996

——21068837758135772——————————

——36726285120496928474259104814568864286466E-0532190657253540247825536686162212195E-0747127452592550846E-0541003335193337E-0506E-0513E-070009537911859E-0500055000915521871绝对误差16.67.79

——74E-0554791859153761484128486378448524162711563556518101864315763E-0505324155025686624707087360631322436839717260136E-0518396686610563731822E-05846111291049595977171906052相对误差010638608589086849002425407平均值

0.111359——

误差 —— 1474.790.064558968 —— 2655.130.100557722 —— 3294.470.110969759 —— 2741.310.085468214由表可知算数平均值得出的年均增长率预测的2007-2010年的年均工资与实际的年均工对误差较几何平均值得出预测算出的相对误差小，所以选择算术平均值的增长率年份平均工资年差值

长率

工资

长率1978566 —— —— 20160.1243750951979632 660.1166077742010 20170.0803691731980745 1130.178797468——平均增长率 1981755 100.013422819预测 平均工资—— 1982769 140.0185430462011 —— 1983789 200.0260078022012 —— 1984985 1960.2484157162013 —— 19851110 1250.1269035532014 —— 19861313 2030.1828828832015 60845.49—— 19871428 1150.0875856822016 69158.16—— 19881782 3540.247899162017 78606.51—— 19891920 1380.0774410772018 89345.68—— 19902150 2300.1197916672019 101552 —— 19912292 1420.0660465122020 115426 —— 19922601 3090.1348167542021 131195.4—— 19933149 5480.2106881972022 149119.3—— 19944338 11890.3775801842023 169491.9—— 19955145 8070.1860304292024 192647.7—— 19965809 6640.1290573372025 218967.1—— 19976241 4320.0743673612026 248882.3—— 19986854 6130.0982214392027 282884.4—— 19997656 8020.1170119642028 321531.9—— 20008772 11160.1457680252029 365459.4—— 200110007 12350.1407888742030 415388.2—— 200211374 13670.1366043772031 472138.3—— 200312567 11930.1048883422032 536641.6—— 200414332 17650.1404472032033 609957.2—— 200516614 22820.1592241142034 693289.2—— 200619228 26140.1573371862035 788005.9—— 200722844 36160.188059081—— —— —— 200826404 35600.155839608—— —— —— 2009年山东省莫企业个年龄段工资分布表

00-1

00-1

00-2入范围2500-23000-3

00-3

00-4

00-8

20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-5926.976.935.139.840.934.051.872.27550700062503500400057501000800000006472288693061106301472102510991603总平均工资

89.12374

各年龄的工资相对年均工资比例指数

比例指数061111指数

比例指数160375

比例指数6037530岁各退休年龄的比例指数和 28.5800007534.3818738640.1837540岁各退休年龄的比例指数和 17.9590577623.7609308729.5628账户储存额

08

070

月薪3921.6758.5195.34183019681156255181338340887982530940720078509933010677121351379315678178192117427354310913533916743.55606.208565.6332.38090.6860.53772.35874.7631270655690.6634357774474380401993812.91173.68156.386890.5530岁替代率表 储额户养老金老金费指数储额总存储额78.29274.7487.5032539979.70.82812.9120.329398345.18706890.55222.37475444116.93.2440岁替代率表 储额户养老金老金费指数9.1974.6817.10217707.80.759.4780.297.2387382.34075.1049.333660

累积

计算表累积份折现率和 份折现率 月份折现率折现累积和9804

91139050.89078403.5016