高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数

第6节二次函数与幂函数第二章函数、导数及其应用第6节二次函数与幂函数第二章函数、导数及其应用[考纲展示]1.了解幂函数的概念.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.[考纲展示]1.了解幂函数的概念.积累必备知识提升关键能力培育学科素养积累必备知识提升关键能力培育学科素养1.二次函数(1)定义形如

的函数叫做二次函数.(2)表示形式①一般式:y=

;②顶点式:y=

,其中

为抛物线的顶点坐标;③零点式:y=

,其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标.积累必备知识知识梳理y=ax2+bx+c(a≠0)ax2+bx+c(a≠0)a(x-h)2+k(a≠0)(h,k)a(x-x1)(x-x2)(a≠0)1.二次函数积累必备知识知识梳理y=ax2+bx+c(a≠0(3)图象与性质RR(3)图象与性质RR高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数2.幂函数(1)幂函数的概念形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是

,α为

.(2)常见幂函数的图象与性质自变量常数函数图象或性质y=xy=x2y=x3y=x-1图象2.幂函数自变量常数函数y=xy=x2y=x3y=x-1图象定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0,+∞)时,增;x∈(-∞,0)时,减增增x∈(0,+∞)时,减;x∈(-∞,0)时,减特殊点(1,1)(0,0)(-1,-1)(1,1)(0,0)(-1,1)(1,1)(0,0)(-1,-1)(1,1)(0,0)(1,1)(-1,-1)定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0重要结论②对于二次函数y=f(x),对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(a为常数).重要结论②对于二次函数y=f(x),对定义域内所有x,都有f(3)幂函数图象的性质①幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性.②幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内.③如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是坐标原点.(3)幂函数图象的性质基础自测答案:(1)×

(2)×

(3)√(4)√(5)×

(6)√基础自测答案:(1)×(2)×(3)√(4)√(5)BBDD4.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为(

)(A)c<b<a (B)a<b<c(C)b<c<a (D)a<c<b解析:根据幂函数的性质,可知选D.D4.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图象5.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为直线x=2,最小值为-1,则它的解析式为

.

5.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为直线x=2,最小值提升关键能力考点一幂函数的图象与性质(基础性)题组过关提升关键能力考点一幂函数的图象与性质(基础性)题组过关高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数反思归纳(1)求解与幂函数图象有关的问题,应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征,结合其奇偶性、单调性等性质研究.(2)对于函数y=xα,当α>0时,幂函数的图象经过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数,当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.(3)比较幂值的大小时,若同底数的幂函数用指数函数的性质;若同指数,可构造幂函数,利用幂函数的性质比较大小;若不同底数、也不同指数时可利用中间变量或作差(作商)法比较.反思归纳(1)求解与幂函数图象有关的问题,应根据幂函数在第一考点二二次函数的图象(基础性)题组过关[例1]对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是(

)考点二二次函数的图象(基础性)题组过关[例1]对数函数y高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数反思归纳根据二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的解析式确定其图象应注意根据顶点横坐标与a,c的符号的关系,c与函数在y轴上截距的关系,以及开口方向(a的符号),函数的对称性等综合分析.反思归纳根据二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的解高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数考点三二次函数的性质(基础性、综合性)多维探究考点三二次函数的性质(基础性、综合性)多维探究高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数反思归纳(1)求解与二次函数有关的单调性问题,应根据开口方向与二次函数的对称轴确定单调区间;(2)涉及解析式中含|x|的二次函数的单调区间问题,可以根据函数的奇偶性与单调区间的关系求解或转化为分段函数后求解.反思归纳(1)求解与二次函数有关的单调性问题,应根据开口方向[对点训练2]已知函数f(x)=4x2-kx-8,x∈[5,20]的图象上任何两点连线不平行于x轴,则实数k的取值范围为

.

答案:(-∞,40]∪[160,+∞)[对点训练2]已知函数f(x)=4x2-kx-8,x∈[5解析:由二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)可知函数图象的对称轴方程为x=2,结合函数f(x)在[0,2]上是增函数可知函数f(x)的图象开口向下,如图所示,若f(a)≥f(0),结合图象以及|a-2|≤|0-2|,即|a-2|≤2可知0≤a≤4.答案:[0,4]角度二二次函数的对称性[例3]已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是

.

解析:由二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)可知反思归纳由于二次函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)时,函数的图象关于直线x=a对称,因此涉及的二次函数满足此性质时可以直接得到二次函数图象的对称轴方程.反思归纳由于二次函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x解析:因为函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)成立,所以函数图象关于直线x=2对称,当a>0时,f(2)最小,由2-1<4-2,得f(1)<f(4),故选A.[对点训练3]若函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)对于任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)成立,则(

)(A)f(2)<f(1)<f(4)(B)f(1)<f(2)<f(4)(C)f(2)<f(4)<f(1)(D)f(4)<f(2)<f(1)解析:因为函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)对任意实数角度三二次函数的最值[例4]

已知函数f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求函数f(x)的最小值.角度三二次函数的最值高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数反思归纳解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,根据对称轴方程x=h和所给区间并结合图象求解.(1)对称轴和区间都固定时,根据单调性和图象直接求解.(2)若区间固定,对称轴变动,这时要讨论顶点横坐标是否在区间中;若对称轴固定,区间变动,这时要讨论区间与对称轴的位置关系,讨论的目的是为了明确对称轴和区间的位置关系,再根据函数单调性求最值或值域.(3)一般规律是:若开口向上,则离对称轴越远的点对应的函数值越大;若开口向下,则离对称轴越远的点对应的函数值越小.反思归纳解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法[典例迁移1]若将本例中的函数改为f(x)=x2-2ax,其他不变,应如何求解?解:因为f(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,对称轴方程为x=a.①当a<0时,f(x)在[0,1]上是增函数,所以f(x)min=f(0)=0.②当0≤a≤1时,f(x)min=f(a)=-a2.[典例迁移1]若将本例中的函数改为f(x)=x2-2ax,[典例迁移2]将本例改为“已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2,求a的值.”解:函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1图象的对称轴为x=a,且开口向下,分三种情况讨论如下:①当a≤0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是减函数,所以f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1.③当a>1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是增函数,所以f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,所以a=2.综上可知,a=-1或a=2.[典例迁移2]将本例改为“已知函数f(x)=-x2+2ax[典例迁移3]将本例改为“如果函数f(x)=x2-2x+2定义在区间[a,a+1]上,求f(x)的最小值.”[典例迁移3]将本例改为“如果函数f(x)=x2-2x+2培育学科素养理性思维——与二次不等式有关的恒成立问题的求解对于给定区间的二次不等式恒成立问题,主要有两种求解方法:一是转化为函数的最值的不等式,二是分离参数,分离参数时经常要用到下述简单结论:(1)a>函数f(x)恒成立⇔a>函数f(x)的最大值;(2)a<函数f(x)恒成立⇔a<函数f(x)的最小值.培育学科素养理性思维——与二次不等式有关的恒成立问题的求解答案:(1)(-1,0][典例](1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,则实数k的取值范围是

;

答案:(1)(-1,0][典例](1)已知不等式kx2+2(2)若函数y=mx2-mx-6+m在x∈[1,3]时,y<0恒成立,则实数m的取值范围是

.

(2)若函数y=mx2-mx-6+m在x∈[1,3]时,y<高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数试题情境:课程学习情境必备知识:二次不等式的解法、二次不等式在给定区间上的最值关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力学科素养:理性思维试题情境:课程学习情境解析:(1)由于x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以原不等式可化为4x+m<2(x2-2x+3)对于任意的实数x恒成立,整理可得2x2-8x+6-m>0对于任意的实数x恒成立.所以Δ=(-8)2-4×2×(6-m)<0,解得m<-2.故选B.答案:(1)B

解析:(1)由于x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,答案:(2)2答案:(2)2备选例题[例1]设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则(

)(A)f(m+1)≥0 (B)f(m+1)≤0(C)f(m+1)>0 (D)f(m+1)<0备选例题[例1]设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已[例2]若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m(

)(A)与a有关,且与b有关(B)与a有关,但与b无关(C)与a无关,且与b无关(D)与a无关,但与b有关[例2]若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数[例3](1)已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为[0,+∞),则实数m的取值范围为(

)(A){0,-3} (B)[-3,0](C)(-∞,-3]∪[0,+∞) (D){0,3}解析:(1)因为函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为[0,+∞),所以Δ=[-2(m+3)]2-4×3×(m+3)=0,所以m=-3或0.所以实数m的取值范围为{0,-3},故选A.[例3](1)已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数[例4]函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是(

)(A)与x有关,不确定 (B)f(bx)≥f(cx)(C)f(bx)>f(cx) (D)f(bx)≤f(cx)[例4]函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数第6节二次函数与幂函数第二章函数、导数及其应用第6节二次函数与幂函数第二章函数、导数及其应用[考纲展示]1.了解幂函数的概念.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.[考纲展示]1.了解幂函数的概念.积累必备知识提升关键能力培育学科素养积累必备知识提升关键能力培育学科素养1.二次函数(1)定义形如

的函数叫做二次函数.(2)表示形式①一般式:y=

;②顶点式:y=

,其中

为抛物线的顶点坐标;③零点式:y=

,其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标.积累必备知识知识梳理y=ax2+bx+c(a≠0)ax2+bx+c(a≠0)a(x-h)2+k(a≠0)(h,k)a(x-x1)(x-x2)(a≠0)1.二次函数积累必备知识知识梳理y=ax2+bx+c(a≠0(3)图象与性质RR(3)图象与性质RR高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数2.幂函数(1)幂函数的概念形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是

,α为

.(2)常见幂函数的图象与性质自变量常数函数图象或性质y=xy=x2y=x3y=x-1图象2.幂函数自变量常数函数y=xy=x2y=x3y=x-1图象定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0,+∞)时,增;x∈(-∞,0)时,减增增x∈(0,+∞)时,减;x∈(-∞,0)时,减特殊点(1,1)(0,0)(-1,-1)(1,1)(0,0)(-1,1)(1,1)(0,0)(-1,-1)(1,1)(0,0)(1,1)(-1,-1)定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0重要结论②对于二次函数y=f(x),对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(a为常数).重要结论②对于二次函数y=f(x),对定义域内所有x,都有f(3)幂函数图象的性质①幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性.②幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内.③如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是坐标原点.(3)幂函数图象的性质基础自测答案:(1)×

(2)×

(3)√(4)√(5)×

(6)√基础自测答案:(1)×(2)×(3)√(4)√(5)BBDD4.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为(

)(A)c<b<a (B)a<b<c(C)b<c<a (D)a<c<b解析:根据幂函数的性质,可知选D.D4.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图象5.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为直线x=2,最小值为-1,则它的解析式为

.

5.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为直线x=2,最小值提升关键能力考点一幂函数的图象与性质(基础性)题组过关提升关键能力考点一幂函数的图象与性质(基础性)题组过关高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数反思归纳(1)求解与幂函数图象有关的问题,应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征,结合其奇偶性、单调性等性质研究.(2)对于函数y=xα,当α>0时,幂函数的图象经过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数,当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.(3)比较幂值的大小时,若同底数的幂函数用指数函数的性质;若同指数,可构造幂函数,利用幂函数的性质比较大小;若不同底数、也不同指数时可利用中间变量或作差(作商)法比较.反思归纳(1)求解与幂函数图象有关的问题,应根据幂函数在第一考点二二次函数的图象(基础性)题组过关[例1]对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是(

)考点二二次函数的图象(基础性)题组过关[例1]对数函数y高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数反思归纳根据二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的解析式确定其图象应注意根据顶点横坐标与a,c的符号的关系,c与函数在y轴上截距的关系,以及开口方向(a的符号),函数的对称性等综合分析.反思归纳根据二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的解高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数考点三二次函数的性质(基础性、综合性)多维探究考点三二次函数的性质(基础性、综合性)多维探究高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数反思归纳(1)求解与二次函数有关的单调性问题,应根据开口方向与二次函数的对称轴确定单调区间;(2)涉及解析式中含|x|的二次函数的单调区间问题,可以根据函数的奇偶性与单调区间的关系求解或转化为分段函数后求解.反思归纳(1)求解与二次函数有关的单调性问题,应根据开口方向[对点训练2]已知函数f(x)=4x2-kx-8,x∈[5,20]的图象上任何两点连线不平行于x轴,则实数k的取值范围为

.

答案:(-∞,40]∪[160,+∞)[对点训练2]已知函数f(x)=4x2-kx-8,x∈[5解析:由二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)可知函数图象的对称轴方程为x=2,结合函数f(x)在[0,2]上是增函数可知函数f(x)的图象开口向下,如图所示,若f(a)≥f(0),结合图象以及|a-2|≤|0-2|,即|a-2|≤2可知0≤a≤4.答案:[0,4]角度二二次函数的对称性[例3]已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是

.

解析:由二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)可知反思归纳由于二次函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)时,函数的图象关于直线x=a对称,因此涉及的二次函数满足此性质时可以直接得到二次函数图象的对称轴方程.反思归纳由于二次函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x解析:因为函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)成立,所以函数图象关于直线x=2对称,当a>0时,f(2)最小,由2-1<4-2,得f(1)<f(4),故选A.[对点训练3]若函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)对于任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)成立,则(

)(A)f(2)<f(1)<f(4)(B)f(1)<f(2)<f(4)(C)f(2)<f(4)<f(1)(D)f(4)<f(2)<f(1)解析:因为函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)对任意实数角度三二次函数的最值[例4]

已知函数f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求函数f(x)的最小值.角度三二次函数的最值高三数学总复习优质课件-函数-导数及其应用-第6节-二次函数与幂函数反思归纳解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,根据对称轴方程x=h和所给区间并结合图象求解.(1)对称轴和区间都固定时,根据单调性和图象直接求解.(2)若区间固定,对称轴变动,这时要讨论顶点横坐标是否在区间中;若对称轴固定,区间变动,这时要讨论区间与对称轴的位置关系,讨论的目的是为了明确对称轴和区间的位置关系,再根据函数单调性求最值或值域.(3)一般规律是:若开口向上,则离对称轴越远的点对应的函数值越大;若开口向下,则离对称轴越远的点对应的函数值越小.反思归纳解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法[典例迁移1]若将本例中的函数改为f(x)=x2-2ax,其他不变,应如何求解?解:因为f(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,对称轴方程为x=a.①当a<0时,f(x)在[0,1]上是增函数,所以f(x)min=f(0)=0.②当0≤a≤1时,f(x)min=f(a)=-a2.[典例迁移1]若将本例中的函数改为f(x)=x2-2ax,[典例迁移2]将本例改为“已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2,求a的值.”解:函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1图象的对称轴为x=a,且开口向下,分三种情况讨论如下:①当a≤0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是减函数,所以f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1.③当a>1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是增函数,所以f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,所以a=2.综上可知,a=-1或a=2.[典例迁移2]将本例改为“已知函数f(x)=-x2+2ax[典例迁移3]将本例改为“如果函数f(x)=x2-2x+2定义在区间[a,a+1]上,求f(x)的最小值.”[典例迁移3]将本例改为“如果函数f(x)=x2-2x+2培育学科素养理性思维——与二次不等式有关的恒成立问题的求解对于给定区间的二次不等式恒成立问题,主要有两种求解方法:一是转化为函数的最值的不等式,二是分离参数,分离参数时经常要用到下述简单结论:(1)a>函数f(x)恒成立⇔a>函数f(x)的最大值;(2)a<函数f(x)恒成立⇔a<函数f(x)的最小值.培育学科素养理性思维——与二次不等式有关的恒成立问题的求解答案:(1)(-1,0][典例](1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,则实数k的取值范围是

;

答案:(1)(-1,0][典例](1)已知不等式kx2+2(2)若函数y=mx2-mx-6+m在x∈[1,3]时,y<0恒成立,则实数m的取值范围是