高二上学期数学人教B版选择性必修第一册椭圆的几何性质课件

椭圆的几何性质（1）

高二年级数学椭圆的几何性质（1）

高二年级数学1问题1

已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：（1）观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆在平面直角坐标系中的位置特征；（2）指出椭圆是否关于轴、轴、原点对称；（3）指出椭圆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.问题1已知椭圆的方程为，根据这个方问题1

已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：（1）观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆在平面直角坐标系中的位置特征；问题1已知椭圆的方程为，根据这个方解（1）因为实数的平方是一个非负数，所以在中，必有，即.同理可得，.解（1）因为实数的平方解（1）因为实数的平方是一个非负数，所以在中，必有，即.同理可得，.因此，椭圆

位于直线，，，所围成的矩形内.解（1）因为实数的平方问题1

已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：（2）指出椭圆是否关于轴、轴、原点对称；

这些几何特征如何从方程角度来进行判别呢？问题1已知椭圆的方程为，根据这个方解（2）因为如果是方程的一组解，则不难看出，、、都是方程的解，这说明椭圆关于轴，轴，坐标原点对称.解（2）因为如果是方程课堂小结——椭圆的几何性质所以在中，（2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明.椭圆的几何性质——范围即椭圆的离心率.椭圆的几何性质——范围椭圆的几何性质——离心率椭圆的对称中心也称为椭圆的中心.解（2）因为如果是方程（1）观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆在平面直角坐标系中的位置特征；短轴的两个端点是，.问题1已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：的相关性质了.关于轴、轴、坐标原点对称.得到了椭圆与坐标轴的四个交这与焦点在轴上椭圆的特征一致.焦点在轴上椭圆的离心率研究越趋近于，椭圆就越接近于圆.（1）观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆在平面直角坐标系中的位置特征；短轴的两个端点是，.课堂小结——椭圆的几何性质即越趋近于，椭圆越扁；课堂小结——椭圆的几何性质我们知道根据椭圆的定义，而，由此，我们是不是可以得出椭圆离心率的取值范围了呢？椭圆的几何性质——对称性解：（2）因为，，解，则、、所以在中，问题1

已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：（3）指出椭圆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.课堂小结——椭圆的几何性质问题1已知椭圆的方程为解（3）在方程中，令，得或，可知椭圆

与轴有两个交点，坐标分别为，；令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，坐标分别为，.解（3）在方程中，问题1小结通过上面的研究，我们首先得到了椭圆的横、纵坐标的取值范围，之后又清楚了椭圆的对称性，再之后我们得到了椭圆与坐标轴的四个交点的坐标，这样我们就可以轻松的绘制椭圆了.问题1小结问题2

一般地，如果椭圆的标准方程是，我们可以根据方程得到椭圆什么样的几何性质呢？问题2一般地，如果椭圆的标准方程是椭圆的几何性质——范围由方程①可知，且，因此且.这说明，椭圆位于直线，，，所围成的矩形内.椭圆的几何性质——范围椭圆的几何性质——对称性因为如果是方程①的一组解，则、、都是方程①的解，说明椭圆关于轴、轴、坐标原点对称.因此，轴、轴是椭圆的对称轴，坐标原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心也称为椭圆的中心.椭圆的几何性质——对称性椭圆的几何性质——顶点在方程①中，令，得或，可知椭圆

与轴有两个交点，记作

，；令，得或，可知椭圆

与轴有两个交点，记作，.椭圆的几何性质——顶点椭圆的几何性质——顶点因此，椭圆与它的对称轴共有4个交点，即，和，，这四个点都称为椭圆的顶点.我们可以发现，，而且，所以线段称为椭圆的长轴，线段称为椭圆的短轴.椭圆的几何性质——顶点椭圆的几何性质——顶点，分别是椭圆半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦距为，则是椭圆的半焦距.由于，可知长度分别为，，的三条线段构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边.椭圆的几何性质——顶点椭圆的几何性质——顶点因此，

，，，.椭圆的几何性质——顶点椭圆的几何性质——离心率

一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率.椭圆的几何性质——离心率问题3

（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围；（2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明.问题3问题3

（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围;离心率是半焦距与半长轴长之比，我们要想知道离心率的取值范围就需要研究和之间的关系.我们知道根据椭圆的定义，而，由此，我们是不是可以得出椭圆离心率的取值范围了呢？问题3离心率是半焦距与半长轴长之比，我们要想知道离心率的取，椭圆的对称中心也称为椭圆的中心.都是方程①的解，说明椭圆椭圆的几何性质（1）

高二年级数学短轴的两个端点是，.问题2一般地，如果椭圆的标准方程是离心率是半焦距与半长轴长之比，我们要想知道离心率的取值范围就需要研究和之间的关系.可知椭圆与轴有两个交点，长轴：，短轴：.解（3）在方程中，解（3）在方程中，问题2一般地，如果椭圆的标准方程是越趋近于，椭圆越扁.（3）指出椭圆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.因此，椭圆与它的对称轴因为如果是方程①的一组到了椭圆的横、纵反之，越趋近于，则的值越大，这时椭圆就越接近于圆.的相关性质了.坐标的取值范围，之后又清楚解（1）因为实数的平方椭圆的对称中心也称为椭圆的中心.椭圆的几何性质——范围可知椭圆与轴有两个交点，课堂小结——椭圆的几何性质即越趋近于，椭圆越扁；椭圆的几何性质（1）

高二年级数学这些几何特征如何从方程角度来进行判别呢？问题3

（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围;解：（1）因为，，所以，，即椭圆的离心率.，问题3解：问题3

（2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明.问题3坐标原点是椭圆的对称中心.短轴的两个端点是，.（2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明.因此，椭圆与它的对称轴（1）观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆在平面直角坐标系中的位置特征；（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围;解（3）在方程中，（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围;问题1已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：解（3）在方程中，长轴长：；解：（2）因为，，（3）指出椭圆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围;，轴长，如果设椭圆的焦距为，可知椭圆与轴有两个交点，椭圆的几何性质——范围，令，得或，，所以线段称为椭圆的几何性质——顶点（3）指出椭圆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.（1）因为，，解（3）在方程中，令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，解（3）在方程中，问题3

（2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明.解：（2）因为，，这说明越趋近于，则的值越小，因此椭圆越扁；反之，越趋近于，则的值越大，这时椭圆就越接近于圆.坐标原点是椭圆的对称中心.问题3解：（2）因为，当固定不变时，椭圆的离心率与椭圆的形状的关系可以从右图中看出来.即越趋近于，椭圆越扁；越趋近于，椭圆就越接近于圆.当固定不变时，椭圆的离心率与椭圆的形状的关系可以从右图中看问题4

如果椭圆的标准方程是，那么这个椭圆的范围、对称性、顶点、离心率中，哪些与焦点在轴上的椭圆是有区别的？问题4如果椭圆的标准方程是解：方程②表示的椭圆，焦点坐标为，，椭圆上的点的坐标的取值范围是且；长轴的两个端点是，；短轴的两个端点是，.除了这些以外，对称性、焦距、长轴长、短轴长、离心率等都与焦点在轴上的椭圆是一致的.解：方程②表示的椭圆，焦点坐标为，，椭圆焦点在轴上椭圆的离心率研究固定不变，椭圆的离心率与椭圆的形状的关系可以从右图中得出.依然是越趋近于，椭圆越扁；越趋近于，椭圆就越接近于圆.这与焦点在轴上椭圆的特征一致.焦点在轴上椭圆的离心率研究课堂小结——椭圆的几何性质标准方程图形

课堂小结——椭圆的几何性质标准方程图形课堂小结——椭圆的几何性质椭圆的标准方程焦点所在坐标轴轴轴焦点坐标，，范围且且对称性关于轴、轴、坐标原点对称.

.课堂小结——椭圆的几何性质椭圆的标准方程焦点所在坐标轴轴标准方程顶点

离心率课堂小结——椭圆的几何性质越趋近于，椭圆越接近圆；越趋近于，椭圆越扁.标准方程顶点离心率课堂小结——椭圆的几何性质越课堂小结——椭圆的几何性质标准方程焦距轴长轴：，短轴：.

轴长，半焦距.长轴长：；半长轴长：；短轴长：；半短轴长：.课堂小结——椭圆的几何性质标准方程焦距轴长轴：，短轴通过梳理我们可以发现，椭圆的几何性质其实可以分为两类：一类是与坐标系无关的性质，如对称性、离心率、焦距、轴和轴长；另外一类是与坐标系有关的性质，如焦点坐标、范围、顶点.与坐标系有关的性质，只要将方程的有关性质中的横坐标和纵坐标交换，就可以得出的相关性质了.通过梳理我们可以发现，椭圆的几何性质其实可以分为两类：一类是布置作业人教社B版课本P134练习A布置作业布置作业人教社B版课本P134练习B布置作业谢谢

谢谢

35椭圆的几何性质（1）

高二年级数学椭圆的几何性质（1）

高二年级数学36问题1

已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：（1）观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆在平面直角坐标系中的位置特征；（2）指出椭圆是否关于轴、轴、原点对称；（3）指出椭圆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.问题1已知椭圆的方程为，根据这个方问题1

已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：（1）观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆在平面直角坐标系中的位置特征；问题1已知椭圆的方程为，根据这个方解（1）因为实数的平方是一个非负数，所以在中，必有，即.同理可得，.解（1）因为实数的平方解（1）因为实数的平方是一个非负数，所以在中，必有，即.同理可得，.因此，椭圆

位于直线，，，所围成的矩形内.解（1）因为实数的平方问题1

已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：（2）指出椭圆是否关于轴、轴、原点对称；

这些几何特征如何从方程角度来进行判别呢？问题1已知椭圆的方程为，根据这个方解（2）因为如果是方程的一组解，则不难看出，、、都是方程的解，这说明椭圆关于轴，轴，坐标原点对称.解（2）因为如果是方程课堂小结——椭圆的几何性质所以在中，（2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明.椭圆的几何性质——范围即椭圆的离心率.椭圆的几何性质——范围椭圆的几何性质——离心率椭圆的对称中心也称为椭圆的中心.解（2）因为如果是方程（1）观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆在平面直角坐标系中的位置特征；短轴的两个端点是，.问题1已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：的相关性质了.关于轴、轴、坐标原点对称.得到了椭圆与坐标轴的四个交这与焦点在轴上椭圆的特征一致.焦点在轴上椭圆的离心率研究越趋近于，椭圆就越接近于圆.（1）观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆在平面直角坐标系中的位置特征；短轴的两个端点是，.课堂小结——椭圆的几何性质即越趋近于，椭圆越扁；课堂小结——椭圆的几何性质我们知道根据椭圆的定义，而，由此，我们是不是可以得出椭圆离心率的取值范围了呢？椭圆的几何性质——对称性解：（2）因为，，解，则、、所以在中，问题1

已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：（3）指出椭圆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.课堂小结——椭圆的几何性质问题1已知椭圆的方程为解（3）在方程中，令，得或，可知椭圆

与轴有两个交点，坐标分别为，；令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，坐标分别为，.解（3）在方程中，问题1小结通过上面的研究，我们首先得到了椭圆的横、纵坐标的取值范围，之后又清楚了椭圆的对称性，再之后我们得到了椭圆与坐标轴的四个交点的坐标，这样我们就可以轻松的绘制椭圆了.问题1小结问题2

一般地，如果椭圆的标准方程是，我们可以根据方程得到椭圆什么样的几何性质呢？问题2一般地，如果椭圆的标准方程是椭圆的几何性质——范围由方程①可知，且，因此且.这说明，椭圆位于直线，，，所围成的矩形内.椭圆的几何性质——范围椭圆的几何性质——对称性因为如果是方程①的一组解，则、、都是方程①的解，说明椭圆关于轴、轴、坐标原点对称.因此，轴、轴是椭圆的对称轴，坐标原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心也称为椭圆的中心.椭圆的几何性质——对称性椭圆的几何性质——顶点在方程①中，令，得或，可知椭圆

与轴有两个交点，记作

，；令，得或，可知椭圆

与轴有两个交点，记作，.椭圆的几何性质——顶点椭圆的几何性质——顶点因此，椭圆与它的对称轴共有4个交点，即，和，，这四个点都称为椭圆的顶点.我们可以发现，，而且，所以线段称为椭圆的长轴，线段称为椭圆的短轴.椭圆的几何性质——顶点椭圆的几何性质——顶点，分别是椭圆半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦距为，则是椭圆的半焦距.由于，可知长度分别为，，的三条线段构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边.椭圆的几何性质——顶点椭圆的几何性质——顶点因此，

，，，.椭圆的几何性质——顶点椭圆的几何性质——离心率

一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率.椭圆的几何性质——离心率问题3

（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围；（2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明.问题3问题3

（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围;离心率是半焦距与半长轴长之比，我们要想知道离心率的取值范围就需要研究和之间的关系.我们知道根据椭圆的定义，而，由此，我们是不是可以得出椭圆离心率的取值范围了呢？问题3离心率是半焦距与半长轴长之比，我们要想知道离心率的取，椭圆的对称中心也称为椭圆的中心.都是方程①的解，说明椭圆椭圆的几何性质（1）

高二年级数学短轴的两个端点是，.问题2一般地，如果椭圆的标准方程是离心率是半焦距与半长轴长之比，我们要想知道离心率的取值范围就需要研究和之间的关系.可知椭圆与轴有两个交点，长轴：，短轴：.解（3）在方程中，解（3）在方程中，问题2一般地，如果椭圆的标准方程是越趋近于，椭圆越扁.（3）指出椭圆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.因此，椭圆与它的对称轴因为如果是方程①的一组到了椭圆的横、纵反之，越趋近于，则的值越大，这时椭圆就越接近于圆.的相关性质了.坐标的取值范围，之后又清楚解（1）因为实数的平方椭圆的对称中心也称为椭圆的中心.椭圆的几何性质——范围可知椭圆与轴有两个交点，课堂小结——椭圆的几何性质即越趋近于，椭圆越扁；椭圆的几何性质（1）

高二年级数学这些几何特征如何从方程角度来进行判别呢？问题3

（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围;解：（1）因为，，所以，，即椭圆的离心率.，问题3解：问题3

（2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明.问题3坐标原点是椭圆的对称中心.短轴的两个端点是，.（2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明.因此，椭圆与它的对称轴（1）观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆在平面直角坐标系中的位置特征；（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围;解（3）在方程中，（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围;问题1已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务：解（3）在方程中，长轴长：；解：（2）因为，，（3）指出椭圆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围;，轴长，如果设椭圆的焦距为，可知椭圆与轴有两个交点，椭圆的几何性质——范围，令，得或，，所以线段称为椭圆的几何性质——顶点（3）指出椭圆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.（1）因为，，解（3）在方程中，令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，解（3）在方程中，问题3

（2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明.解：（2）因为，，这说明越趋近于，则的值越小，因此椭圆越扁；反之，越趋近于，则的值越大，这时椭圆就越接近于圆.坐标原点是椭圆的对称中心.问题3解：（2）因为，当固定不变时，椭圆的离心率与椭圆的形状的关系可以从右图中看出来.即越趋近于，椭圆越扁；越趋近于