北师大版数学八年级下第三章数学知识点和考点总结

3图形的平移与旋转（精讲精练）【目标导航】【知识梳理】1.平移：（1）平移的条件：平移的方向、平移的距离（2）平移的性质①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等(连接线段)．对应线段平行且相等。（或在同一条直线上）（3）平移变换与坐标变化向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b）3.旋转：（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．4.中心对称：（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（3）把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．5.关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．小专题8特殊三角形中的“手拉手”模型——教材P89T12的变式与应用教材母题：(教材P89复习题T12)如图，△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？解：∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝42°，AB＝AC，AD＝AE.∵∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴△ABD与△ACE可通过旋转相互得到，即△ABD以点A为旋转中心，逆时针旋转42°，得到△ACE.(1)等腰三角形中的“手拉手”模型如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，旋转后有∠BAD＝∠CAE.连接BD，CE，则①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③直线BD与直线CE的夹角等于∠A.(2)等边三角形中的“手拉手”模型如图，已知△ABC和△ADE是等边三角形，旋转后有∠BAD＝∠CAE.连接BD，CE，则①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③直线BD与直线CE的夹角为60°.(3)等腰直角三角形中的“手拉手”模型如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，旋转后有∠BAD＝∠CAE.连接BD，CE，则①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③直线BD与直线CE的夹角为90°.1．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.下列说法不正确的是(B)A．△ADC≌△AEBB．△DCE是等腰三角形C．DC＝BED．DC⊥BE2．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点O，则∠AOB的度数为__120°__．3．(2018·绵阳改编)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．若AE＝，AD＝，则△ABC的面积为2．4．如图，△ABC和△ADE是两个全等的等腰三角形，AB＝AC＝AD＝AE，延长BD，EC交于点F.(1)求∠BAC与∠F之间的数量关系；(2)求证：△BCF≌△EDF.解：(1)∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC＝AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴∠ABD＋∠ACF＝180°.∴∠F＋∠BAC＝180°.∴∠ACE＝∠ABD.∵∠ACE＋∠ACF＝180°，(2)证明：由(1)可知：∠ABD＝∠ACE＝∠AEC.∵∠ABC＝∠AED，∴∠CBF＝∠DEF.∵∠F＝∠F，BC＝ED，∴△BCF≌△EDF(AAS)．5．如图1，两个不全等的等腰Rt△OAB和等腰Rt△OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O.(1)在图1中，线段AC，BD的数量关系是相等，直线AC，BD的位置关系是垂直；(2)将图1的△OAB绕点O顺时针旋转90°，在图2中画出旋转后的△OAB；(3)将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，连接AC，BD得到图3，这时(1)中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若△OAB绕点O继续旋转更大的角时，(1)中的结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．解：(2)如图所示．(3)(1)中结论成立，理由如下：∵∠COA＋∠AOD＝90°，∠BOD＋∠AOD＝90°，∴∠COA＝∠BOD.又∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB(SAS)．∴AC＝BD.延长CA交OD于点H，交BD于点E.∵△COA≌△DOB，∴∠OCA＝∠BDO.又∵∠DHE＝∠CHO，∴∠CED＝∠COD＝90°，即AC⊥BD.将△OAB绕点O继续旋转更大的角时，(1)中的结论仍然成立．6．(1)如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE，连接CE，BD，求证：CE＝BD；(2)如图2，将△ADE绕着A点旋转，当点C，E，D在一条直线上时，上述结论是否成立？(3)旋转到图3位置时，上述结论成立吗？(4)旋转到图4位置时，此时点B，E，D在一条直线上，上述结论成立吗？若成立，请就(2)(3)(4)中的一种情况加以证明．,图1)解：(1)证明：∵∠CAB＝∠DAE，∴∠CAB－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，即∠CAE＝∠BAD.,图2),图3),图4