复变论文-关于留数的一些思考

关于留数的一些讨论与思考摘要：分为三个部分：留数的发展史、留数的应用以及我的感想。关键词：留数欧拉柯西积分欧拉复变函数论前言：按照比较流行的看法，数学分为两类：一类是能反映宇宙自然美的数学，另一类是能被其它学科直接或间接应用的数学。在人类的文明进程中，前一类在数学发展的大多数时间里起主导作用，而后一类则兴起于近代，并且还不能起到主导作用。“复变函数”就属于前者，即具有自然美的数学。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数。而留数定理在一定程度上则是复变函数中最重要的一个理论。正文：在我看来复变函数论是在数学分析的基础上发展起来的，因为变函数复中的许多基本概念与运算与我们大一所学的数学分析相差无几，如极限、连续、导数、积分等。从表述与形式上看，很多定义完全类似。它是数学分析在研究领域的扩展。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”，即我们课本中所学的：对于函数柯西-黎曼条件是：复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，我们书上的定义是这样的：设复数m是函数f(z)的孤立奇点，我们把发f(z)在m的去心领域内洛朗展开式两端沿C逐项积分留下的积分值除以2i后得到的数称为f(z)在m的留数。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。柯西定义了复变函数的积分，建立了复积分的理论，他证明了柯西积分定理：f(z)是单连通区域D上的解析函数，则f(z)沿D内任意一条简单光滑闭曲线积分为零。从柯西积分定理可推出一系列重要结论，诸如柯西积分公式、柯西不等式、唯一性定理，最大模原理等。特别可以证明：解析函数一定存在任意阶导数，并且在解析域内任一点的一个邻域上可以展为幂级数。另外，还可以导出留数基本定理，利用这一定理可以证明重要的代数基本定理，还能计算一些较为复杂的定积分。总之，留数的发展是科学发展到一定阶段的必然产物，欧拉、达朗贝尔、柯西、黎曼等科学家为复变函数和留数的发展作出了重要的贡献。二、留数的提出与应用在我看来，留数的提出对复变函数的发展起到了里程碑式的促进作用。设在内解析，则称积分为在孤立奇点的留数，记作．其中．上式所定义的留数与圆的半径无关，事实上，内，的洛朗展式为上述在任一圆上一致收敛，故逐次积分得.即，也就是说等于在的洛朗展式中这一项的系数，故它与的半径无关．显然，如果为的解析点或可去奇点，则．下面简单叙述课本中常见的几种情况的留数计算公式：（１）设为的一阶极点，则在内有（6.2）其中在内解析，其泰勒展式为：（6.3）且．于是的洛朗展式中的系数等于，故（6.4）（２）若在内有，且，均在内解析，及为的一阶零点，在内（），于是为的一阶极点，因此由（6.4）得（6.5）(３)设为的阶极点，则在内有且在内解析，，它的泰勒展式为（6.3），于是显然，因而也可按下列公式计算：（6.7）例1、求函数在奇点处的留数．解：有一个一阶极点与两个二阶极点，于是由（6.4）及（6.7）可得本节我们主要介绍留数在积分计算中的某些应用．（１）形如的积分，其中表示关于与的有理函数且在上连续．令，则且，其次，当由连续地变动到时，则连续地在周围上变动一周，故有（6.8）例2、求的值，（）解：令，则由（6.8）得由于，故在内，被积函数只有一个极点，于是（２）形如的积分，其中与分别为关于的和次多项式，且，，．为此我们需要借助下述一个引理：引理6.1设圆周上的一段弧为，，在（充分大）上连续，若均有，则例3、求的值．解：令，选取积分路径如上图，则在内，有两个一阶极点及，从而由引理6.1知，故（３）形如的积分（）引理6.2设在半径圆周（，充分大）上连续，且均有，则（6.10）例4、求（）解：令，积分路径如图（6.1），图6.1则在内只有一个一级极点对于，显然有例5、求解：由于对任意均有.令，则在内只有一个一阶极点．类似于例６我们可得三、我的感想复变函数的发展大大的促进了数学的拓展，并有助于数学成为其他学科的研究工具，而留数的提出确实是天才的构想，是对复变函数论的极大的补充与完善。通过留数我们可以计算一些十分复杂的积分，甚至一些其他手段无法积出的积分也可以用留数定理很好的计算。而伟大的成就需要许多伟大数学家呕心沥血的努力，虽然我们将来并不一定从事科研行业，但是那种钻研与创新的精神是每个领域都需要的，也是我们应该好好学习和借鉴的。参考文献：

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