高中数学极坐标和直角坐标的互化优秀课件

极坐标与直角坐标的互化

黄松极坐标与直角坐标的互化1学习目标1：理解极坐标系中ρ和θ所的代表的意义2：掌握极坐标系和直角坐标系点的互化3：掌握极坐标系和直角坐标系方程的互化学习目标1：理解极坐标系中ρ和θ所的代表的意义2复习稳固11：极点，极轴，极径，极角的定义？2：ρ和θ所的代表的意义？复习稳固11：极点，极轴，极径，极角的定义？31;极坐标系的建立:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向这样就建立了一个极坐标系.2：ρ和θ所的代表的意义设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为

ρ

;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).

不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.1;极坐标系的建立:2.点的极坐标一般地,平面内一个点的极坐标有无数种表示〔ρ，θ+2Kπ.〕当规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.这样就能把极坐标系和直角坐标系统一起来2.点的极坐标复习思考21：所有的极坐标和直角坐标都能互化吗？满足什么条件才能互化？2：你能推导出它们的互化公式吗？复习思考21：所有的极坐标和直角坐标都能互化吗？满足什么条件63.极坐标与直角坐标的互化(1)互化的前提条件:①极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合;③两种坐标系取相同的长度单位.(2)互化公式:3.极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标点的互化

分析：直接利用直角坐标与极坐标的互化公式即可.〔二〕应用转化极坐标与直角坐标点的互化

分析：直接利用直角坐标与极坐标的高中数学极坐标和直角坐标的互化优秀课件高中数学极坐标和直角坐标的互化优秀课件方法归纳

方法归纳做一做(1)假设点P的直角坐标为(-),那么它的极坐标可表示为()

(2)点M的极坐标为,那么它的直角坐标为.

做一做(1)假设点P的直角坐标为(-高中数学极坐标和直角坐标的互化优秀课件高中数学极坐标和直角坐标的互化优秀课件极坐标方程与直角坐标方程的互化

【例2】

(1)直角坐标方程y2=4x化为极坐标方程为

;

(2)直角坐标方程y2+x2-2x-1=0化为极坐标方程为

;

(3)极坐标方程θ=(ρ≥0)化为直角坐标方程为

;

(4)极坐标方程ρ2cos2θ=4化为直角坐标方程为

.

答案：(1)ρsin2θ=4cosθ

(2)ρ2-2ρcosθ-1=0(3)y=x(x≥0)

(4)x2-y2=4极坐标方程与直角坐标方程的互化

答案：(1)ρsin2θ=4解析：根据互化公式求解.(1)将x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入y2=4x,得(ρsin

θ)2=4ρcos

θ.化简,得ρ2sin2θ=4ρcos

θ.因为极点在曲线上,所以极坐标方程可简化为ρsin2θ=4cos

θ.(2)将x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入y2+x2-2x-1=0,得(ρsin

θ)2+(ρcos

θ)2-2ρcos

θ-1=0,化简,得ρ2-2ρcos

θ-1=0.(4)∵ρ2cos

2θ=4,∴ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即x2-y2=4.解析：根据互化公式求解.(4)∵ρ2cos2θ=4,反思感悟1.将ρ2=x2+y2,ρcos

θ=x,ρsin

θ=y,tan

θ=(x≠0)代入曲线的极坐标方程,整理即得曲线的直角坐标方程.2.解决此类问题常常通过方程变形,构造出形如ρcos

θ,ρsin

θ,ρ2的式子,进行整体代换.方程的两边同乘(或同除以)ρ或方程两边平方是常用的变形方法.反思感悟1.将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsin变式训练1

(1)极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为

;

(2)极坐标方程ρ=9(cosθ+sinθ)化为直角坐标方程为

.

(3)直角坐标方程x+y-2=0化为极坐标方程是

;

(4)直角坐标方程2x2+2y2-3x+7=0化为极坐标方程是

.

解析：(1)两边同乘ρ,得ρ2=4ρsin

θ.∵ρ2=x2+y2,ρsin

θ=y,∴直角坐标方程为x2+y2=4y.变式训练1(1)极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程(2)把方程变形为ρ2=9(ρcos

θ+ρsin

θ),∵ρ2=x2+y2,ρcos

θ=x,ρsin

θ=y,∴直角坐标方程为x2+y2=9(x+y),即x2+y2-9x-9y=0.(3)把x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入x+y-2=0,得ρcos

θ+ρsin

θ-2=0.即ρ(cos

θ+sin

θ)=2.(4)把x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入2x2+2y2-3x+7=0,得2ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-3ρcos

θ+7=0.化简得2ρ2-3ρcos

θ+7=0.(2)把方程变形为ρ2=9(ρcosθ+ρsinθ),变式训练2将以下直角坐标方程与极坐标方程进行互化:

解：(1)将x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入方程

3y2+3x2+5x+1=0,得3ρ2+5ρcos

θ+1=0.变式训练2将以下直角坐标方程与极坐标方程进行互化:

解：例3极坐标方程C1:ρ=10,C2:ρsin=6.(1)化C1,C2的极坐标方程为直角坐标方程,并分别判断曲线的形状;(2)求C1,C2交点间的距离.分析：对于(1),可利用互化公式求解;对于(2),可转化为求圆的弦长问题.例3极坐标方程C1:ρ=10,C2:ρsin高中数学极坐标和直角坐标的互化优秀课件高中数学极坐标和直角坐标的互化优秀课件高中数学极坐标和直角坐标的互化优秀课件24高中数学极坐标和直角坐标的互化优秀课件25高中数学极坐标和直角坐标的互化优秀课件26谢谢大家！请多指教！谢谢大家！请多指教！27极坐标与直角坐标的互化

黄松极坐标与直角坐标的互化28学习目标1：理解极坐标系中ρ和θ所的代表的意义2：掌握极坐标系和直角坐标系点的互化3：掌握极坐标系和直角坐标系方程的互化学习目标1：理解极坐标系中ρ和θ所的代表的意义29复习稳固11：极点，极轴，极径，极角的定义？2：ρ和θ所的代表的意义？复习稳固11：极点，极轴，极径，极角的定义？301;极坐标系的建立:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向这样就建立了一个极坐标系.2：ρ和θ所的代表的意义设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为

ρ

;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).

不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.1;极坐标系的建立:2.点的极坐标一般地,平面内一个点的极坐标有无数种表示〔ρ，θ+2Kπ.〕当规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.这样就能把极坐标系和直角坐标系统一起来2.点的极坐标复习思考21：所有的极坐标和直角坐标都能互化吗？满足什么条件才能互化？2：你能推导出它们的互化公式吗？复习思考21：所有的极坐标和直角坐标都能互化吗？满足什么条件333.极坐标与直角坐标的互化(1)互化的前提条件:①极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合;③两种坐标系取相同的长度单位.(2)互化公式:3.极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标点的互化

分析：直接利用直角坐标与极坐标的互化公式即可.〔二〕应用转化极坐标与直角坐标点的互化

分析：直接利用直角坐标与极坐标的高中数学极坐标和直角坐标的互化优秀课件高中数学极坐标和直角坐标的互化优秀课件方法归纳

方法归纳做一做(1)假设点P的直角坐标为(-),那么它的极坐标可表示为()

(2)点M的极坐标为,那么它的直角坐标为.

做一做(1)假设点P的直角坐标为(-高中数学极坐标和直角坐标的互化优秀课件高中数学极坐标和直角坐标的互化优秀课件极坐标方程与直角坐标方程的互化

【例2】

(1)直角坐标方程y2=4x化为极坐标方程为

;

(2)直角坐标方程y2+x2-2x-1=0化为极坐标方程为

;

(3)极坐标方程θ=(ρ≥0)化为直角坐标方程为

;

(4)极坐标方程ρ2cos2θ=4化为直角坐标方程为

.

答案：(1)ρsin2θ=4cosθ

(2)ρ2-2ρcosθ-1=0(3)y=x(x≥0)

(4)x2-y2=4极坐标方程与直角坐标方程的互化

答案：(1)ρsin2θ=4解析：根据互化公式求解.(1)将x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入y2=4x,得(ρsin

θ)2=4ρcos

θ.化简,得ρ2sin2θ=4ρcos

θ.因为极点在曲线上,所以极坐标方程可简化为ρsin2θ=4cos

θ.(2)将x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入y2+x2-2x-1=0,得(ρsin

θ)2+(ρcos

θ)2-2ρcos

θ-1=0,化简,得ρ2-2ρcos

θ-1=0.(4)∵ρ2cos

2θ=4,∴ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即x2-y2=4.解析：根据互化公式求解.(4)∵ρ2cos2θ=4,反思感悟1.将ρ2=x2+y2,ρcos

θ=x,ρsin

θ=y,tan

θ=(x≠0)代入曲线的极坐标方程,整理即得曲线的直角坐标方程.2.解决此类问题常常通过方程变形,构造出形如ρcos

θ,ρsin

θ,ρ2的式子,进行整体代换.方程的两边同乘(或同除以)ρ或方程两边平方是常用的变形方法.反思感悟1.将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsin变式训练1

(1)极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为

;

(2)极坐标方程ρ=9(cosθ+sinθ)化为直角坐标方程为

.

(3)直角坐标方程x+y-2=0化为极坐标方程是

;

(4)直角坐标方程2x2+2y2-3x+7=0化为极坐标方程是

.

解析：(1)两边同乘ρ,得ρ2=4ρsin

θ.∵ρ2=x2+y2,ρsin

θ=y,∴直角坐标方程为x2+y2=4y.变式训练1(1)极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程(2)把方程变形为ρ2=9(ρcos

θ+ρsin

θ),∵ρ2=x2+y2,ρcos

θ=x,ρsin

θ=y,∴直角坐标方程为x2+y2=9(x+y),即x2+y2-9x-9y=0.(3)把x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入x+y-2