空间立体几何讲义87967

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学分类整理-1-第页第1讲空间几何体高考《考试大纲》的要求：①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.③会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.（一）例题选讲：例1.四面体ABCD的外接球球心在CD上，且CD＝2，AB＝，在外接球面上两点A、B间的球面距离是（）A．B．C．D．例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为()A．B．C．D．例3.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是.例4.如图所示，等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.求V(x)的表达式；（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？（3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。（二）基础训练：1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）①①正方形②圆锥③三棱台④正四棱锥A．①② B．①③ C．①④ D．②④2．设地球半径为R，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬度东经，则甲、乙两地球面距离为（）（A）(B)(C)(D)3．若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为．4.已知三点在球心为，半径为的球面上，，且，那么两点的球面距离为___________，球心到平面的距离为________5．如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；（Ⅱ）证明PA⊥BD.（三）巩固练习：1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（）（A）（B）（C）（D）2、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．3.一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是()

A.EQ\f(3,4)B.EQ\f(4,5)C.EQ\f(3,5)D.－EQ\f(3,5)4．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为（）（A）（B）（C）（D）5.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为（）A．B．C．D．6.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于________O7．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？O8．如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且=。（I）证明：⊥BD；（II）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。第2讲空间直线和平面高考《考试大纲》的要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.理解以下判定定理：◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明：◆如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行.◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.（一）例题选讲：例1．如图，在正四棱柱中，E、F分别是的中点，则以下结论中不成立的是()A．B.C.D.αβABA′B′例2.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为EQ\f(π,4)和EQ\f(π,6)，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′αβABA′B′则AB∶A′B′＝（）（A）2∶1（B）3∶1（C）3∶2（D）4∶3例3.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则例4.在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.（二）基础训练：1．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：①②③④其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③2.已知P为平面a外一点，直线la,点Q∈l,记点P到平面a的距离为a,点P到直线l的距离为b，点P、Q之间的距离为c，则（）(A)(B)c(C)(D)3、给出以下四个命题：=1\*GB3①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，=2\*GB3②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面=3\*GB3③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，=4\*GB3④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是（）A.4B.3C.2D.14、下列命题中，正确的是（）A．经过不同的三点有且只有一个平面B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D．垂直于同一个平面的两个平面平行5.已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°．若对于β内异于0的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是__________．6．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.PCAB（i）当满足条件PCAB（ii）当满足条件时，有.（填所选条件的序号）7．三棱锥P—ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.(1)求证AB⊥BC；(2)如果AB=BC=，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.（三）巩固练习：1．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则2.设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中，正确的命题是()A．若与所成的角相等，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则3.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成（）A．5部分B.6部分C.7部分D.8部分4．给出下列四个命题:=1\*GB3①垂直于同一直线的两条直线互相平行.=2\*GB3②垂直于同一平面的两个平面互相平行.=3\*GB3③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.=4\*GB3④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（）(A)1(B)2(C)3(D)45.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（）A． B．C．D．6.在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）（A）BC//平面PDF（B）DF⊥平面PAE（C）平面PDF⊥平面ABC（D）平面PAE⊥平面ABC7．设为平面，为直线，则的一个充分条件是()(A) (B)(C) (D)8．对于不重合的两个平面，给定下列条件：①存在平面，使得α、β都垂直于；②存在平面，使得α、β都平等于；③存在直线，直线，使得；④存在异面直线l、m，使得其中，可以判定α与β平行的条件有（） A．1个B．2个C．3个D．4个9．设P是的二面角内一点，垂足，则AB的长为：（）ABCD10.已知直线、m，平面、，且，给出下列四个命题。(1)若;(2);(3)若，则;(4)若其中正确命题的个数是（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11．已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：①若则②若则③若,则④m、n是两条异面直线，若则上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命的序号）12．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为.13．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是:①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.14．已知平面α和平面β交于直线，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到的距离为。15．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是．（把符合要求的命题序号都填上）16．如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（I）求点P到平面ABCD的距离；（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小第3讲空间向量与立体几何高考《考试大纲》的要求：（1）空间向量及其运算①了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.（2）空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量.②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.（一）基础知识回顾：1.向量的数量积：已知非零向量，则叫做的数量积。2.两向量夹角的求法：，立体几何中有关夹角的问题，一般用此式解决3.⊥（可证明两直线垂直）4.已知两点A(x1,y1，z1),B(x2,y2,z2)，则向量,线段AB的中点M的坐标是，A,B两点间的距离是5.若，则.6.用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”：(1)化为向量问题:建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)进行向量运算:通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角问题；(3)回到向量问题:把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。7.设A，B，平面α的法向量是，直线AB与平面α所成的角是θ，则二面角的平面角或（，为平面，的法向量）8.设A，B，平面α的法向量是，点A到平面α的距离异面直线间的距离：(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).（二）例题选讲：例1.如图,在中,,斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（=1\*ROMANI）求证：平面平面；（=2\*ROMANII）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（=3\*ROMANIII）求与平面所成角的最大值．例2.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（1）求证：AB1⊥面A1BD；（2）求二面角A－A1D－B的大小；（3）求点C到平面A1BD的距离。（三）基础训练：1.如图5所示，、分别世、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,.(=1\*ROMANI)求二面角的大小；(=2\*ROMANII)求直线与所成的角.图5图52.如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=eq\r(2),求:(Ⅰ)直线AB分别与平面α,β所成角的大小;(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.（四）巩固练习：1.如图,在直四棱柱中,已知,，．BCDAE（Ⅰ）设是的中点，求证：平面；BCDAE（Ⅱ）求二面角的余弦值．2.如图，已知长方体,,直线与平面所成的角为,垂直于为的中点．（Ⅰ）求异面直线与所成的角；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离。3、如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形（1）求证：ADBC（2）求二面角B－AC－D的大小（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。典型问题分析一、求二面角的方法例1.如图，在底面为直角梯形的四棱锥，,BC=6.求二面角的大小.例2.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点.若，求二面角的平面角的余弦值.例3．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方