圆锥曲线练习题(理)

第第页参考答案1．B【解析】试题分析：由已知可得考点：椭圆方程及性质2．B【解析】试题分析：为等腰直角三角形考点：椭圆方程及性质3．D【解析】试题分析：由|F1F2|=8得，由椭圆定义可知△ABF2的周长为考点：椭圆方程及性质4．D【解析】试题分析：根据题意，可知抛物线的焦点为，所以对于椭圆而言，，结合离心率等于，可知，所以方程为，故选D．考点：抛物线的性质，椭圆的性质，椭圆的方程．5．D【解析】试题分析：由，可知考点：椭圆的几何性质6．D【解析】试题分析：设半焦距为c,则c=4,从而得a=,所以△ABF2的周长为4a=．故选D．考点：椭圆基本量运算及椭圆定义的运用．7．C【解析】试题分析：椭圆的焦点坐标，．设．∴，∵，∴．即的最大值与最小值分别是1，﹣2．故选：C．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质．8．B【解析】试题分析：由题意可知椭圆的左右焦点坐标为，设，则，所以，所以当时，有最小值，当时，有最大值，故选B．考点：1．椭圆的定义及几何性质；2．向量的坐标运算．9．C【解析】试题分析：椭圆中为焦点，结合椭圆的定义可知|PM|＋|PN|的最大值为最小值为考点：1．椭圆方程与性质；2．圆的方程与性质10．D【解析】试题分析：由焦点可知，设，代入椭圆方程后两式相减得，所以方程为考点：1．椭圆方程；2．直线与椭圆相交的中点弦问题11．C【解析】试题分析：由渐近线方程可求出，，又因，所以．显然直角三角形，点P为直角顶点．所以．故选C．考点：双曲线的定义、渐近线及向量的综合应用．12．C【解析】试题分析：由条件，，又P为双曲线上一点，从而，∴，∴，又∵，∴．考点：双曲线的离心率．13．【解析】试题分析：抛物线的准线方程为，焦点为，与双曲线的右焦点重合，过点作于点，连结，由得点为线段的中点，所以且，又因为，由抛物线的定义可知，所以点的横坐标为，将其代入抛物线方程可得，在中，，所以，又在直角三角形中，由勾股定理得即，所以，解之得或（舍去）．考点：1双曲线的几何性质；2．抛物线的几何性质；3．向量加法的几何意义．14．【解析】试题分析：设AF的方程是与抛物线方程联立，求出C的坐标，同理求出D的坐标，可得k2，即可求出.设∴AF的方程是设，则AF：，与抛物线方程联立，可得利用韦达定理，，同理考点：直线与圆锥曲线的位置关系15．【解析】试题分析：因为离心率为2，所以，则，当且仅当时取得最小值．考点：均值不等式求最值．【方法点睛】均值不等式（）求最值的具体步骤：一正二定三相等．首先满足条件，然后是与的和为定值，或者是与的积为定值，最后是与会相等．只有这样才可以使用均值不等式求最值．若等号成立的条件不具备，则利用函数的单调性求最值．如：求的最小值，显然利用均值不等式，等号不会成立，但可知函数在定义域内单调递增，所以可以求其最小值为．16．【解析】试题分析：由双曲线的方程数知，其渐近线方程为与，分别与直线联立方程组，解得，，由，设的中点为，则，因为与直线垂直，所以，即，又因为，所以.考点：双曲线的性质、渐近线与离心率，中等题.17．（1），（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数，得，离心率，于是，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为△PAB的底，由点线距离公式求出△PAB的高，然后用基本不等式求最值．试题解析：（1）由条件得：，解得，所以椭圆的方程为（2）设的方程为，点由消去得．令，解得，由韦达定理得．则由弦长公式得．又点P到直线的距离，∴，当且仅当，即时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2．考点：待定系数法求椭圆的标准方程；韦达定理、弦长公式及利用基本不等式求最值．18．（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）设F的坐标为(–c，0)，依题意有bc=ab，即得．（Ⅱ）b=2时，得a=，椭圆方程为．联立方程组化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，由△=32(2k2–3)＞0，解得：k2＞由韦达定理得：xM+xN=①，xMxN=②设M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)，MB方程为：y=x–2，③NA方程为：y=x+2，④由③④解得：y=即证得.试题解析：（Ⅰ）设F的坐标为(–c，0)，依题意有bc=ab，∴椭圆C的离心率e==．3分（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=，∴椭圆方程为．5分联立方程组化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，由△=32(2k2–3)＞0，解得：k2＞由韦达定理得：xM+xN=①，xMxN=②7分设M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)，MB方程为：y=x–2，③NA方程为：y=x+2，④9分由③④解得：y=11分===1即yG=1，∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上．13分考点：1.椭圆的几何性质；2.直线的位置关系；3.直线与椭圆的位置关系.19．（1）；（2）5.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出点斜式的直线的方程，再结合椭圆的离心率解出a，b，c，从而写出椭圆的方程；第二问，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，当斜率不存在时，可数形结合得到结论，当斜率存在时需直线与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理两点间距离公式，代入到面积公式中，找出k与m的关系，再计算，利用基本不等式求最值.试题解析：（1）因为直线的倾斜角为，，所以，直线的方程为，由已知得，所以.又，所以，,椭圆的方程.4分（2））当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，由在椭圆上，则，而，则知=.5分当直线的斜率存在时，设直线为，代入可得，即，由题意，即..7分，,化为，，即.则，满足,9分由前知，，.11分，当且仅当，即时等号成立，故.综上可知的最大值为.13分考点：椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式.20．（1）；（2）直线方程为时，弦长的最大值为.【解析】试题分析：（1）由的关系容易求椭圆方程；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立消元得到一元二次方程，求解判别式，则，写出根与系数关系，代入弦长公式可以得到=，可求弦长最大值及此时的直线方程.试题解析：（1）以题意可知：，∴∵焦点在轴上∴椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，由可得∵与椭圆交于两点∴△=即设，则∴弦长=∵∴，∴当即的直线方程为时，弦长的最大值为.考点：1.椭圆方程的几何性质；2.直线与椭圆的综合问题.21．（1），（2）证明见解析，【解析】试题分析：取连接，，，符合双曲线定义，点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，，点的轨迹方程为：；第二步设直线方程为，联立方程组，设而不求，利用根与系数关系，可得出，根据三点共线，，同理，求出点的坐标，要证明以MN为直径的圆恒过点F，只需证明即可；试题解析：（1）如图取连接，，，由双曲线定义知，点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，，的轨迹方程为：（5分）（2）设，直线方程为，联立整理得：，（6分）三点共线，，同理（8分）即为直径的圆恒过点（12分）考点：1．求动点轨迹方程；2．过定点问题22．（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）从已知可看出本题曲线方程用动点转移法求解，设是曲线上任意一点，由有，设对应的点坐标为，利用可求得，再把代入圆的方程就能得出的方程；（2）求直线方程，首先讨论当直线斜率不存在时是否符合题意，即当直线方程为时，代入曲线的方程求出的坐标，验证是否成立（本题不成立），然后再考虑斜率存在时，直线方程设中，代入曲线的方程，同时设，则可得出，而条件等价于，即，把这个式子用坐标表示出来，再把刚才的代入，可求得.试题解析：（1）设是曲线上任意一点，则1分，对应圆上的点为，由得2分3分，