函数与数学模型（第2课时 函数的实际应用）【 核心精讲+备课精研+高效课堂 】 高一数学 课件（苏教版2019必修第一册）

8.2函数与数学模型（第二课时）

函数的实际应用课标要求素养要求1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.新知探究爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y关于存期x的函数式.假设存入的本金为1000元，每期的利率为2.25%.问题五期后的本利和是多少？提示解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和.1.常见的函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4)对数函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

(6)分段函数模型

2.解决实际问题的一般程序：实际问题→建立数学模型→求解数学模型→解决实际问题基础自测[判断题]1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.() 提示两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系.2.函数模型中，要求的定义域只需使函数式有意义.() 提示函数模型中定义域必须满足实际意义.3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.() 提示拟合函数预测的结果近似的符合实际结果即可.4.利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.()×××√[基础训练]1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A.分段函数 B.二次函数C.指数函数 D.对数函数答案A2.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()答案A3.2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则预计________年我国人口将首次超过20亿(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451).答案2043[思考]在幂函数模型的解析式中，n的正负如何影响函数的单调性？提示当x>0，n>0时，函数的图象在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，n<0时，函数的图象在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数.(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)解(1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12500，所以当x＝150时，有最大值12500；当x>200时，f(x)＝30000－100x是减函数，f(x)<30000－100×200<12500.所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12500.所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12500元.规律方法1.利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.2.应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.【训练1】在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)＝3000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4000(单位：元)，利润是收入与成本之差. (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)； (2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？解(1)由题意知，x∈[1，100]，且x∈N*.P(x)＝R(x)－C(x)＝3000x－20x2－(500x＋4000)＝－20x2＋2500x－4000，MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000－(－20x2＋2500x－4000)＝2480－40x.因为MP(x)＝2480－40x是减函数，当x＝1时，MP(x)的最大值为2440(元).因此，利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.求a和m的值.(2)为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值.(1)已知生活中几种声音的强度如表：声音来源声音大小风吹落叶沙沙声轻声耳语很嘈杂的马路强度I(瓦/平方米)1×10－111×10－101×10－3强弱等级L(分贝)10m90规律方法指数型、对数型函数问题的类型及解法(1)指数函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.(2)对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论.(1)求p%的值；(2)到今年为止该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？故今后最多还能砍伐15年.一、课堂小结1.通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养；通过建立函数模型解决实际问题，提升数据分析素养.2.函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题.3.在引入自变量建立函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.二、课堂检测1.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：则下面的函数关系式中拟合效果最好的是()A.y＝2x－1 B.y＝x2－1C.y＝2x－1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2x123…y138…解析将数值代入各选项中，三个点均与D项吻合，故选D.答案D2.已知国内邮寄1000g以内的包裹的邮资标准如下表：如果某人在西安要邮寄800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是()A.5.00元 B.6.00元C.7.00元 D.8.00元答案C运送距离x(km)0<x≤500500<x≤10001000<x≤15001500<x≤2000…邮资y(元)5.006.007.008.00…3.通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lgA－lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级.则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.答案1004.有一位商人从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费(单位：元)由函数f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)决定，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数，则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元.解析由于f