2020-2021初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)含答案

2020-2021初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)含答案一、圆的综合1.如图1,已知扇形MON的半径为42，2MON=90，点B在弧MN上移动，联结BM,作OD，BM,垂足为点D,C为线段OD上一点，且OC=BM,联结BC并延长交半径OM于点A,设OA=x,/COM的正切值为y.(1)如图2,当AB±OM时，求证：AM=AC;(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)当4OAC为等腰三角形时，求x的值.图1 留2 ■&用图【答案】 ⑴证明见解析；(2)y —x^.(0 x 72)；(3)x"4年x；2 2分析：(1)先判断出/ABM=/DOM,进而判断出△OAX^BAM,即可得出结论;(2)先判断出BD=DM,进而得出-DMME,进而得出AE=-1(8x),再判断出BDAE 2OAOEOCOD2DMOAOEOCOD2DMOD即可得出结论;(3)分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论.详解：(1) OD)±BM,AB±OM, /ODM=/BAM=90°.•••/ABM+ZM=ZDOM+ZM,:'人ABM=ZDOM.ZOAC=ZBAM,OC=BM, △OAC^△BAM,.•.AC=AM.(2)如图2,过点D作DE//AB,交OM于点E.•.OB=OM,ODXBM,，BD=DM.1.DE//AB,DMBD1.DE//AB,OAOEME,AE=EM.,.OM=72,，AE=1(拒x).AE 21.DE//AB,DMBD1.DE//AB,OAOEME,AE=EM.,.OM=72,，AE=1(拒x).AE 2OC2DMODOD'DMODOA2OEyxm (0<x我)1(3)(i)当OA=OC时.1(3)(i)当OA=OC时...DM—BM21-OC21—X.在RtAODM中,2ODJ'OM2DM2221x2.1或x瓶八（舍）.2 2(ii)当AO=AC时，则/AOO/ACO.「/ACO>/COB,/CO&/AOC,•./ACO>/AOC,，此种情况不存在.(iii)当CO=CA时，贝UZCOA=ZCAO=a.「/CAO>/M,ZM=90°-a,..a>90°—a,a>45: /BOA=2A90::/BOAW90°，此种情况不存在.即：当4OAC为等腰三角形时，x的值为E衣.点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键.2.如图，在。0中，AB为直径，OCAB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且EF=ED.（1）求证：DE是。。的切线；（2）若tanA=1,探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；2（3）在（2）的条件下，若OF=1,求圆O的半径.【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3.【解析】试题分析：（1）先判断出ZOCF+ZCFO=90°,再判断出ZOCF=ZODF,即可得出结论;

(2)先判断出/BDE=/A,进而得出△EBg^EDA,得出AE=2DE,DE=2BE,即可得出结论；(3)设BE=x,贝UDE=EF=2x,AB=3x,半径OD=3x,进而得出OE=1+2x,最后用勾股定理2即可得出结论.试题解析：(1)证明：连结OD,如图.1.EF=ED,..(2)先判断出/BDE=/A,进而得出△EBg^EDA,得出AE=2DE,DE=2BE,即可得出结论；(3)设BE=x,贝UDE=EF=2x,AB=3x,半径OD=3x,进而得出OE=1+2x,最后用勾股定理2即可得出结论.试题解析：(1)证明：连结OD,如图.1.EF=ED,../EFD=/EDF.「/EFD=/CFO,・•/CFO/EDF.-.OCXOF,ZOCF+ZCFO=90： OC=OD,z.ZOCF=ZODF,•••/ODC+ZEDF=90；即/ODE=90(2)线段A®BE之间的数量关系为:•.ODXDE.二.点D在。O上，，DE是。。的切线;AB=3BE.证明如下:.AB为。O直径，，/ADB=90； ZADO=ZBDE./OA=OD,，/ADO=/A,DEBEBD・./BDE=/A,而/BED=/DEA,.・.△EBg^EDA,「.——————./RtAABDDEADAE中tanA回=1'AD2'DEAEBE1 =一DE2.•.AE=2DE,DE=2BE,「•A&4BE,，AB=3BE;(3)设BE=x,贝UDE=EF=2x,AB=3x,半径OD=_x.2,.OF=1,OE=1+2x.2+(2x)2=(1+2x)・•・圆O的半径为3.在Rt^ODE中，由勾股定理可得：( 3x)2x=-一(舍)或x=2,9点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质,函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出等腰三角形的性质，锐角三角△EB2△EDA是解答本题的关键.3.如图，AB是。。的直径，弦CD±AB,垂足为H,连结AC,过BD上一点E作EG//AC交CD的延长线于点G,连结AE交CD于点F,且EG=FG等腰三角形的性质，锐角三角△EB2△EDA是解答本题的关键.(1)求证：ZG=ZCEF(2)求证：EG是。。的切线；(3)延长AB交GE的延长线于点M,若tanG=3,AH=3J3,求EM的值.4

【解析】试题分析：(1)由AC//EG,推出/G=/ACG,由AB，CD推出ADAC,推出/CEF=/ACD,推出/G=/CEF,由此即可证明；(2)欲证明EG是。。的切线只要证明EG±OE即可；(3)连接OC.设。。的半径为r.在Rt^OCH中，利用勾股定理求出r,证明一AHHC—..一△AHC^AMEO,可得————，由此即可解决问题；EMOE试题解析：(1)证明：如图1..「AC//EG ZG=ZACG,vAB±CD, ADAc，・./CEF=/ACD,，/G=/CEF,「/ECF=/ECG..AECf^AGCE(2)证明：如图2中，连接OE. GF=GE, /GFE=/GEF=/AFH,/OA=OE,/OAE=ZOEA,•••/AFH+ZFAH=90；「./GEF+/AEO=90:：./GEO=90;：.GE±OE,・•.EG是。O的切线.(3)解：如图3中，连接OC.设。。的半径为r.

在Rt^AHC中，tanZACH=tanZG=^AH-=-,-AH=3J3,HC4在Rt^AHC中，tanZACH=tanZG=^AH-=-,-AH=3J3,HC4HC=473，在Rt^HOC中,•.OC=r,OH=r-3/3,H84J3,，（r373）2（4，3）22 25.3r,.-.r=―-—,.GM//AC,，/CAH=/M,/ZOEM=ZAHC, △AHC^△MEO,AHHCEMOE33 4.3EM 2573,6.•,EM=25J8点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题.4.如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，AB=CD.（1）如图（1），求证:AD//BC；（2）如图（2），点F是AC的中点，弦DG//AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF;⑶在（2）的条件下，若DG平分/ADC,GE=5/3,tan/ADF=4j3，求。O的半径。0 网4）0 网4）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）JT29【解析】试题分析：（1）连接AC.由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论.（2）延长AD到N,使DN=AD,连接NC.得到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE,DN=BE.由圆内接四边形的性质得到ZNDC=ZB,即可证明MBE^ACND,得到AE=CN,再由三角形中位线的性质即可得出结论.（3）连接BG,过点A作AHLBC,由（2）知/AEB=/ANC,四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE.再证明ACDE是等边三角形，ABGE是等边三角形，通过解三角形ABE,得到AB,HB,AH,HE的长，由EC=DE=AB,得到HC的长.在Rt^AHC中，由勾股定理

求出AC的长.作直径AP,连接CP,通过解4APC即可得出结论.试题解析：解：（1）连接AC.・••AB=CD,••・弧AB=aCD,z.ZDAC=ZACB,..AD//BC.(2)延长AD至ijN,使DN=AD,连接NC..「AD//BC,DG//AB,二.四边形ABED是平行四边形，AD=BE, DN=BE,「ABCD是圆内接四边形， ，/NDC=/B./AB=CD,1・•.MBE^^CND, AE=CN./DN=AD,AF=FQ DF=-CN,，AE=2DF.（3）连接BG,过点A作AH^BC,由（2）知/AEB=/ANC,四边形ABED是平行四边形，AB=DE..DF//CN,，/ADF=/ANC,•./AEB=/ADF,，tan/AEB=tan/ADF=4V3,DG平分/ADC,•./ADG=/CDG.「AD//BC, /ADG=/CED,/NDC=/DCE.•/ABO/NDC,•./ABC=/DCE..AB//DG,../ABC=/DEC,/DEC=ZECD=ZEDC,「•工DE是等边三角形，「.AB=DE=CE,:/GBC=ZGDC=60；/G=/DCB=60；..ABGE是等边三角形，BE=GE=5)3.「tanZAEB=tan/ADF=4J3,设HE=x，贝(JAH=473x.•1/ABE=ZDEC=60°,../BAH=30；♦.BH=4x,AB=8x,，4x+x=5而，解得：x=4i,.•.AB=8V3,HB=473\AH=12,EC=DE=AB=8\/3,HC=HE+EC=^3873=973.在RtAAHC中,ac=Jah2hc2J122(9g)2=3而.作直径AP,连接CP, /ACF=90°,/作直径AP,连接CP, /ACF=90°,/P=ZABC=60°,，sin/P=%，APAPACsin603^43、32*29, 。。的半径是7129.15.如图，已知在^ABC中，AB=15,AC=20,tanA=^,点P在AB边上，°P的半径为定长.当点P与点B重合时，OP恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，OP与AC边相交于点M和点N.（1）求。P的半径；（2）当AP=6，5■时，试探究AAPM与4PCN是否相似，并说明理由.【答案】（1）半径为3强；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD）±AC,垂足为点D,OP与边AC相切，则BD就是。P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得 BD的长；⑵如图，过点P作PHI±AC于点H,作BD±AC,垂足为点D,根据垂径定理得出MN=2MH,PM=PN,再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出公M、型的值，得出自吐=里，利用两边对应成比例且夹角相等的两MPNC MPNC三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD）±AC,垂足为点D,.「OP与边AC相切,••.BD就是。P的半径,在RtAABD中,tanA=1BD2AD'设BD=x,则AD=2x,，x2+(2x)2=152,解得：x=3J5,，半径为3娓；(2)相似，理由见解析，如图，过点P作PH，AC于点H,作BD±AC,垂足为点D,・••PH垂直平分MN,，PM=PN,PH在Rt^AHP中，tanA=-口-AH'设PH=y,AH=2y,y2+(2y)2=代娓)2解得：y=6(取正数)，，PH=6,AH=12,在RtAMPH中，mh=，3>/5262=3,MN=2MH=6,•.AM=AH-MH=12-3=9,NC=AC-MN-AM=20-6-9=5,,AM9 35 PN3.5MP3.5 5 NC5AMPN =——，MPNC又「PM=PN,/PMN=ZPNM,/AMP=ZPNQ•.△AMP^APNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键

6.已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的。。与AD,BD分别交于点E、点F,且/ABE=/DBC.（1）判断直线BE与。O的位置关系，并证明你的结论；(2)若sin/ABE=U3,CD=2,求。。的半径.【答案】（1）直线BE与。O相切，证明见解析；（2）。。的半径为31.【解析】分析：（1）连接OE,根据矩形的性质，可证/BEO=90。，即可得出直线BE与。O相切；（2）连接EF,先根据已知条件得出BD的值，再在ABEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出。。的半径为r,利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出 r的值.详解：（1）直线BE与。O相切.理由如下：连接OE,在矢巨形ABCD中，AD//BC,../ADB=/DBC.•••OD=OE, ZOED=ZODE.又/ABE=/DBC, ZABE=ZOED,•••矩形ABDC,/A=90°, ZABE+/AEB=90°,・./OED+/AEB=90；，/BEO=90；..直线BE与。O相切；（2）连接（2）连接EF,方法1：.・四边形ABCD是矩形，CD=2, ZA=ZC=90°,AB=CD=2.•••ZABE=ZDBC,..sinZCBD=sinABE.・四边形ABCD是矩形，CD=2, ZA=ZC=90°,AB=CD=2.•••ZABE=ZDBC,..sinZCBD=sinABE..BD26

sinCBD在RtAAEB中，CD=2, •.BC 272DC AE 2•••tanZCBD=tanZABE,，= 二， -r=BC AB 2,2由勾股定理求得BE、■6.AE——，AEV2,2在Rt^BEO中，/BEO=90°,EO2+eB?=OB2.设OO的半径为r,则r2(J6")设OO的半径为r,则r2(J6")2(2^/3r)2••r=方法2：.•.DF是。。的直径，・・./DEF=90°..•.四边形ABCD是矩形，ZA=ZC=90°,AB=CD=2./ / / .3•••ZABE=ZDBC,..sinZCBD=sinABE—.3设DCx,BD辰，则BCV2x.CD=2,BC272•DCAE2AE•••tanZCBD=tanZABE,「•————，—尸——BCAB22 2E为AD中点.1_..DF为直径，ZFED=90, EF//AB,•.DF—BD233，.二OO的半径为咚.7.如图，PA、PB是。。的切线，A,B为切点，ZJAPB=60°,连接PO并延长与。。交于C点，连接ACBC.(I)求/ACB的大小；(n)若。。半径为1,求四边形ACBP的面积.I）60。；【解析】（n）3^3I）60。；【解析】2分析：(I)连接AO,根据切线的性质和切线长定理，得到OALAP,OP平分/APB,然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质， 30。角的直角三角形的性质，得到/ACB的度数；(n)根据30。角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角

形的面积即可.详解：(形的面积即可.详解：(I)连接OA,如图,.「PA、PB是。。的切线，•••OAXAP,OP平分/APB,1/APO=-/APB=30,2/AOP=60；•.OA=OC,ZOAC=ZOCA,1/ACO=-AOP=30,2同理可得/BCP=30,/ACB=60(n)在Rt^OPA中，•••/APO=30,AP=也OA=0，OP=2OA=2,・•.OP=2OQ1Saaoc=—S\pao=2/.SaACF=3-^,4••・四边形ACBP的面积=2SaACk*3.2点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键.DA、8.如图，O是4ABC的内心，BO的延长线和4ABC的外接圆相交于D,连结DA、OA、OC,四边形OADC为平行四边形.(1)求证：△BOC^^CDA.(2)若AB=2,求阴影部分的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】分析：（1）根据内心性质得/1=/2,Z3=Z4,则AD=CD,于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC,Z4=Z5=Z6,易得OA=OG/2=/3,所以OB=OC,可判断点O为4ABC的外心，则可判断4ABC为等边三角形，所以ZAOB=ZBOC=ZAOC=120,BC=AC再根据平行四边形的性质得ZADC=ZAOC=120°,AD=OC,CD=OA=OB，则根据“SASE明△BOXACDA;（2）作OHUAB于H,如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到/BOH=30；根据垂径定理得到BH=AH=1aB=1,再利用含30度的直角三角形三边的关系2得到OH=_3bH=U,OB=2OH=U,然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用3 3 3S阴影部分=S扇形AOB0AOB进行计算即可.详解：（1）证明：:。是4ABC的内心，，/2=/3,/5=/6,•••/1=72, /1=73,由AD//CO,AD=CO, /4=76,.,.△BOC^ACDA(AAS)(2)由(1)得，BC=AQ/3=/4=/6,/ABC=ZACB.•.AB=AC・•.△ABC是等边三角形・•.O是4ABC的内心也是外心・•.OA=OB=OC设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC在Rt^OCE中，CE=1AC=1AB=1/OCE=30°,2 2•.OA=OB=OC=233•••/AOC=120,°SK影=S扇AOBSVAOBTOC\o"1-5"\h\z_120 2,321 3（ ） —2—360 3 2 3_4 3.39点睛：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，：角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.9.函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。（1）如图1,在平面直角坐标系中，已知点 A、B的坐标分别为A（6,0）、B（0,2）,点C（x,y）在线段AB上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量 x、V,若最大值存在，设最大值为 m,则有函数关系式y=-x+m,由一次函数的图像可知，当该直线与y轴交点最高时，就是m的最大值，（x+y）的最大值为；（2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：如图2,以（1）中的AB为斜边在右上方作Rt^ABM.设点M坐标为（x,y）,求（x+y）的最大值是多少？图1 图2【答案】（1）6（2）4+2通【解析】分析：（1）根据一次函数的性质即可得到结论；（2）根据以AB为斜边在右上方作Rt^ABC,可知点C在以AB为直径的OD上运动，根据点C坐标为（x,y）,可构造新的函数x+y=m,则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与。D相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为（3+石，1+75）,代入直线y=-x+m,可得m=4+2j5,即可得出x+y的最大值为

4+2而.详解：(1)6;(2)由题可得，点C在以AB为直径的OD上运动，点C坐标为(x,y),可构造新的函数x+y=m,则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与。D相切，交x轴与E,如图所示，连接OD,CD.-A(6,0)、B(0,2),..D(3,1),.•.OD=J1232=加,••CD=。.根据CD,EF可得，C、D之间水平方向的距离为J5,铅垂方向的距离为55,-C(3+75,1+75),代入直线y=-x+m,可得：1+75=—(3+75)+m,解得：m=4+2j5,，x+y的最大值为4+2^5.故答案为：4+275.点睛：本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的半径进行求解.10.如图1,等边4ABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作Ac、CB、ba，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l为对称轴的交点.(1)如图2,将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点 A与端点N重合，则线段MN的长为—；(2)如图3,将这个图形的顶点A与等边4DEF的顶点D重合，且AB±DE,DE=2tt,将它沿等边4DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；(3)如图4,将这个图形的顶点B与。。的圆心O重合，。。的半径为3,将它沿。。的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为(请用含n的式子表示)8【答案】（1）3兀；（2）27兀；（3）273n兀.【解析】试题分析：（1）先求出AC的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为 3兀，即可得出结论；（2）先判断出莱洛三角形等边4DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和 。重合旋转一周点I的路径，再用圆的周长公式即可得出.试题解析：解：（1）;等边aABC的边长为3,••./ABC=/ACB=/BAC=60°,AcBcAb，「lAclBc=*=60=3=兀,•.线段mn的长为180lAclBclAB=3兀故答案为3兀；（2）如图1.二.等边△DEF的边长为2兀，等边4ABC的边长为3,，S矩形aghf=2兀X3=6,兀2由题意知，AB±DE,AG±AF,/BAG=120°,，S扇形BAG=120—3-=35图形在运动过360程中所扫过的区域的面积为 3（S矩形aghf+S扇形bag）=3（6兀+3/=27tt;（3）如图2,连接BI并延长交AC于D.」」是4ABC的重心也是内心，・•./DAI=30°,3 3 -AD=—AC=—,-OI=AI= AD 2=43,「•当它第1次回到起始位置时，点 I2 ZTTT—_cosDAIcos30所经过的路径是以。为圆心，OI为半径的圆周，.•・当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为n?2Tt?J3=2j3nTt.故答案为2鬲式.点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出AC的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边 4DEF扫过的图形，解（3）的关键是得出点I第一次回到起点时，I的路径，是一道中等难度的题目.11.定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为智慧三角形”.理解：⑴如图1,已知是。。上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使，咏为智慧三角形”（画出点口的位置，保留作图痕迹）；1⑵如图2,在正方形ABCD中，石是，C的中点，产是CD上一点，且C^=-CD，试判断是否为智慧三角形”，并说明理由；运用：⑶如图3,在平面直角坐标系工@中，OO的半径为1，点2是直线y=3上的一点，若在。。上存在一点P,使得40尸。为智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点F的坐标.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P的坐标（2匹,（述，3 3 3【解析】试题分析：(1)连结AO并且延长交圆于C1,连结BO并且延长交圆于C2,即可求解；(2)设正方形的边长为4a,表示出DF=CF以及ECBE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根据勾股定理逆定理判定 4AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得4AEF为智慧三角形”；(3)根据智慧三角形”的定义可得4OPQ为直角三角形,根据题意可得一条直角边为 1,当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为 3,根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点 P的纵坐标，从而求解.试题解析：(1)如图1所示：图14AEF是否为智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a,•.E是DC的中点，DE=CE=2a,.BC:FC=4:1,FC=a,BF=4a-a=3a,在Rt^ADE中，AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,在Rt^ECF中,E卢=(2a)2+a2=5a2,在RtMBF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,•.AE2+E*=AF2,•.△AEF是直角三角形，••斜边AF上的中线等于AF的一半，•.△AEF为智慧三角形”；(3)如图3所示：由智慧三角形”的定义可得4OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为 1,当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值,由垂线段最短可得斜边最短为 3,由勾股定理可得PQ=Jm?_f=272，PM=1X2j2+3=——,由勾股定理可求得OM=卜_(纪2"=-，故点P的坐标(-［也,,(工也,-)33 3 5考点：圆的综合题.12.AB是。。直径，在AB的异侧分别有定点C和动点P,如图所示，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD,交PB的延长线于D,已知AB5,BC：CA=4：3.(1)求证：ACCD=PCBC;(2)当点P运动到AB弧的中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时， PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.【答案】(1)证明见解析；(2)CD=14Y2；(3)当PC为。。直径时，4PCD的最大面积350=—.3【解析】【分析】(1)由圆周角定理可得/PCD=ZACB=90,可证△ABC/^PCD,可得再型,即可得CPCD证.(2)由题意可求BC=4,AC=3,由勾股定理可求CE的长，由锐角三角函数可求PE的长，即可得PC的长，由AC?CD=PC?BCT求CD的值；__ . .一一4一(3)当点P在AB上运动时，SVPCD-PCCD,由(1)可得：CD—PC,可得3221 4 2 2Svpcd—PC-PC—PC,当PC最大时，△PCD的面积最大，而PC为直径时最2 3 3大，故可求解.【详解】证明：（1）.•.BC=4,AC=3,p.•.BC=4,AC=3,p当点p运动到ab的中点时，过点・•点P是Ab的中点，/PCB=45；且BC=4亚••/CAB=ZCPB, BC4 •tanZCAB= =tan乙CAB=AC3，PE.逑B作BEXPC于点EBEPE.AB为直径，/ACB=90°••PCXCD,/PCD=90°/PCD=/ACB,且/CAB=ZCPB•.△ABC^APCD.ACBCCPCD•.AC?CD=PC?BC(2)AB=5,BC:CA=4:3,ZACB=90°PC=PE+CE=3-2+22=7-22 2•.AC?CD=PC?BCX4.-.CD=14l3(3)当点P在AB上运动时，Sapcd=1>PC>CD,2由(1)可得：CD=4PC3一4一2/Sapcd= PC PC=—PC,3 3・•・当PC最大时，APCD的面积最大，・•・当PC为。。直径时，△PCD的最大面积=2X2=^03 3【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求出PC的长是本题的关键.F,(1)13.如图，Rt^ABC中，/B=90°,它的内切圆分别与边BCCA、AB相切于点D、EF,(1)设AB=c,BC=a,AC=b^证：内切圆半径r=1(a+b-c).2(2)若AD交圆于PPC交圆于H,FH//BC,求/CPD;(3)若r=3而,PD=18,PC=27>/2.求△ABC各边长.所以所以求得【答案】(1)证明见解析(2)45。(3)9710,12同,159【解析】【分析】(1)根据切线长定理，有AE=AF,BD=BF,CD=CE易证四边形BDOF为正方形，BD=BF=r;用r表示AF、AE、CDCE,禾用AE+CE=AC^等量关系列式.(2)/CPD为弧DH所对的圆周角，连接OD,易得弧DH所对的圆心角/DOH=90,/CPD=45,°(3)由PD=18和r=3J10,联想到垂径定理基本图形，故过圆心 。作PD的垂线OM,弦心距OM=3,进而得到ZMOD的正切值.延长DO得直径DG,易证PG//OM,得到同位角/G=/MOD,又利用圆周角定理可证ZADB=ZG,即得到/ADB的正切值，进而求得AB.再设CE=CD=x用x表示BC、AC,利用勾股定理列方程即求出 x.【详解】解：（1）证明：设圆心为O,连接OD、OE、OF,.「OO分别与BGCA、AB相切于点D、E、F••ODXBC,OE±AC,OFXAB,AE=AF,BD=BF,CD=CE/B=ZODB=ZOFB=90°•・四边形BDOF是矩形，OD=OF=r,.矩形BDOF是正方形.•.BD=BF=rAE=AF=AB-BF=c-rCE=CD=BC-BD=a-r.AE+CE=ACc-r+a-r=b整理得：r=1(a+b-c)1.FH//BC/AFH=ZB=90°.「AB与圆相切于点F,二.FH为圆的直径，即O为圆心1.FH//BC/DOH=ZODB=90°1/CPD=-/DOH=4523(3)设圆心为O,连接DO并延长交。。于点G,连接PG,过O作OMLPD于M/OMD=90°.PD=18.•.DM=1pD=92BF=BD=OD=r=3/0,OM=^D~DM2=J(3710)292=J9081=3tan/MOD==3OM.DG为直径/DPG=90°.OM//PG,/G+/ODM=90°/G=ZMOD••/ODB=ZADB+ZODM=90°/ADB=ZG/ADB=ZMODtan/ADB=AB=tan/MOD=3BD.•.AB=3BD=3r=9，记AE=AF=AB-BF=a/l0-3710=6后设CE=CD=x则BC=3加+x,AC=6>/10+x•.AB2+BC2=AC2(9厢)2+(3710+x)2=(6>A0+x)2解得：x=910.•.BC=127w,AC=15710..△ABC各边长AB=9而，AC=15而，BC=12布【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理.切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法.14.已知：如图，四边形ABCD为菱形，4ABD的外接圆。。与CD相切于点D,交AC于点E.(1)判断。。与BC的位置关系，并说明理由；(2)若CE=2,求。。的半径r.【答案】(1)相切，理由见解析；(2)2.【解析】试题分析：(1)根据切线的性质，可得/ODC的度数，根据菱形的性质，可得 CD与BC的关系，根据SSS可得三角形全等，根据全等