哈尔滨工程大学试卷2015级《高等数学下》期末试题

哈尔滨工程大学本科生考试一试卷（2014-2015年第二学期）2015-7-13课程编号：201411002课程名称：微积分A(二)(A卷)题号一二三四五总分分数评卷人：名姓得分评卷人填空题（每题3分，共30分）一、1.lim2xy的值为.极限(x,y)(0,0)ln(1xy)装x2y2,则此函数的全微分dz.2.已知二元函数z3.设函数f(x,y)|xy|x,则偏导数fx(0,0).订则z4.已知方程zezxy确立了二元函数zz(x,y),.x(1,1)：线5.曲面3x2y2z227在点(3,1,1)处的法线方程为.号6.设函数uxyz,则div(gradu).学2y427.设积分Idyyf(x,y)dxdyyf(x,y)dx,互换积分序次后,0222I.8.设为球面x2y2z21,则曲面积分(x2y2z2)dS.n9.幂级数x在(2,2)内的和函数为.n0210.设有向闭曲线为平面xyz1被三个坐标面所截成的三角形的整个边：界,从z轴正神往负向看去为逆时针方向,则力Fyizjxk沿所做的功级为.班

得分评卷人二、单项选择题（每题3分，共15分）设函数uu(x,y,z)在点(x,y,z)的某邻域内可微,则函数u在该点沿着方向l{cosa,cos,cos}(此中,,为l的方向角)的方导游数u=.l(A)uuu(B)uuucosxyzcoscoszxy(C)(u)2(u)2(u)2(D)ucos,ucos,ucosxyzxyz2.设积分I131x2y2dxdy,I231x2y2dxdy,x2y211x2y22I331x2y2dxdy,则以下关系式建立的是.2x2y24(A)I1I2I3(B)I2I1I3(C)I1I2I3(D)I2I1I33.已知空间闭地区V1{x2y2z2R2,z0},V2{x2y2z2R2,x0,y0,z0},则有.(A)xdV4xdV(B)ydV4ydVV1V2V1V2(C)zV4zV(D)xyzV4xyzVddddV1V2V1V2设在xoy面内曲线弧L的线密度(x,y)为连续函数,则L的重心横坐标为.(A)xxds(B)xx(x,y)dsLLx(x,y)dxx(x,y)ds(C)xL(D)xL(x,y)dx(x,y)dsLL5.以下数项级数发散的是.(A)1(B)(1cos1)n1n!n1n(C)n(D)(1)nn1n211n21n第1页共8页第2页共8页得分评卷人8分，共40分）3.计算积分(sinxx2y)dxxy2dy,此中L为上半圆周x2y2a2(a0)三、计算题（每题L从点A(a,0)到点B(a,0)的弧段.1.设函数zf(xy,xy),此中f(u,v)拥有二阶连续偏导数,求2z.xy装2.计算积分x2dydzy2dzdxz2dxdy,此中是锥面zx2y2与平面订1所围立体表面的外侧.线第3页共12页第4页共12页4.将函数f(x)arctanx张开成对于x的幂级数,并指出收敛域.5.设函数f(x)以2为周期,其在[,)上的表达式为f(x)x,试将f(x)张开成周期为2的傅里叶级数.：名姓：

装订线号学：级班第5页共8页第6页共8页得分评卷人得分评卷人四、应用题（10分）五、证明题（5分）某厂生产甲、乙两种产品,产量分别为x,y(吨),据统计资料,收益L(万元)与设函数f(x)在[a,b]上连续,地区D{(x,y)|axyb},证明:这两种产品的产量之间有以下经验公式:f(x)f(y)dxdy1b[f(x)dx]2.L(x,y)15x12yx33xy2D2a求使收益最大时的产量x,y和最大收益.装订线第7页共12页第8页共12页微积分A（二）（A卷）答案及评分标准2015年7月13日一、填空题（每题3分,共30分）1.2；6.0；2.2xdx2ydy；7.22xdxf(x,y)dy；0x3.1；8.4；1；：4.229.；名2x姓x3y1z1或5.391110..x3y1z1；218装22二、单项选择题（每题3分,共15分）订1.B2.A3.C4.D5.C三、计算题（每题8分,共40分）线：号1.解答：zf24分学yf1x2zf1xyf11yf12xf21f22xyf1xyf11(xy)f12f22....................................................................4分解法一：记由曲面所围成的地区为,则有原式=2(xyz)dV...............................................................................4分：级=2zdV（由对称性）班

1zdxdy（Dz:x2y2z2）2dz0Dz211..........................................................................................分4z3dz02解法二：记由曲面所围成的地区为,则有原式=2(xyz)dV...............................................................................4分2zdV（由对称性）2d1dr12rzdz00r11r(1r2)dr142........................................................................4分023.解答：做协助线段BA，方向BA，则..........................2分LLBABADQPdxdyLBAxy(y2x2)dxdy分4Ddr2rdra4.a004a0BAsinxdxaa4..................................................................2分LLBABA44.解答：f(x)1(1)nx2n(1x1)......................................4分1x2n0第9页共8页第10页共8页将上式两边积分得xn2n1f(x)f(0)1)nt2ndt(1)x(1n00n02n又x1时，(1)nx2n12n收敛，所以n01(1)nx2n11x1)..................................4分arctanx2n(n015.解答：x(2k1)时，f(x)是以2为周期的奇函数，an0(n0,1,2,)..................................2分2f(x)sinnxdxbn02xsinnxdx02xcosnxsinnx][nn202(1)n1,(n1,2,)...............................................................4分nf(x)2(1)n1x;x,3,)..........2分nsinnx(n1四、应用题（10分）解答：令Lx(x,y)3x23y2150Ly(x,y)，126xy0求得驻点(1,2),(2,1),(1,2),(2,1)，由问题的实质意义，将(1,2),(2,1)舍

去，故可能的驻点为(1,2),(2,1).......................................................................4分又fxx6x,fxy6y,fyy6x，在点(1,2)处ACB21080，(1,2)不是极值点；在点(2,1)处AC21080,A120，(2,1)是极大值点；B............................5分所以，由问题的实质意义可知，甲、乙两种产品分别生产2吨和1吨时，利润最大，最大收益为L(2,1)28(万元).............................................................1分五、证明题（5分）证明：f(x)f(y)dxdyD1bbby装f(x)f(y)dy...................................2分[dxdyf(x)f(y)dx]2a