《自动控制原理》课件 2 数模

第二章控制系统的数学模型主要内容:1.数学模型的概念,建模的原那么2.传递函数3.系统的结构图和信号流图2-1数学模型的概念2.1.1什么是数学模型?所谓的数学模型，是描述系统内部各物理量(或变量)之间关系的数学表达式。

2.1.2数学模型的特点1)相似性2)简化性和准确性3)动态模型4)静态模型2.1.3数学模型的类型1)微分方程

2)传递函数3)状态空间表达式2.1.4数学模型的建立方法1)分析法2)实验法2.2系统微分方程的建立2.2.1列写微分方程式的一般步骤1)分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。2)做出符合实际的假设，以便忽略一些次要因素，使问题简化。3)根据支配系统动态特性的根本定律，列出各局部的原始方程式。4)列写各中间变量与其他变量的因果式。5)联立上述方程，消去中间变量。6)将方程式化成标准形。

2.2.2机械系统举例

例2-1弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。解：遵照列写微分方程的一般步骤有：〔1〕确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。〔2〕设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。KmfF(t)y(t)〔3〕按牛顿第二定律列写原始方程，即〔5〕将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得〔6〕整理方程得标准形〔4〕写中间变量与输出量的关系式令Tm2=m/k，Tf=f/k，那么方程化为2.2.3电路系统举例

例2-2电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。RCur(t)

uc(t)L解：〔1〕确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。〔4〕列写中间变量i与输出变量uc的关系式:〔5〕将上式代入原始方程，消去中间变量得RCur(t)

uc(t)L〔2〕网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。〔3〕由克希霍夫定律写原始方程：i(t)〔6〕整理成标准形，令T1=L/R，T2=RC，那么方程化为2.2.4线性系统观察实际物理系统的运动方程，假设用线性定常特性来描述，那么方程一般具有以下形式：式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。列写微分方程式时，一般按以下几点来写：〔1〕输出量及其各阶导数项写在方程左端，输入量写在右端；〔2〕左端的阶次比右端的高。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；〔3〕方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。电枢控制的直流电动机MRauaLaiaif=常数Ea

直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置。在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压ua在电枢回路产生电枢电流ia，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD，从而使电枢旋转，拖动负载运动。

Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。下面推导其微分方程式。〔1〕取电枢电压ua为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机角速度为输出量。〔2〕忽略电枢反响、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if时，激磁磁通视为不变，那么将变量关系看作线性关系。〔3〕列写原始方程式电枢回路方程：电动机轴上机械运动方程：J—负载折合到电动机轴上的转动惯量;MD—电枢电流产生的电磁转矩;ML—合到电动机轴上的总负载转矩。〔4〕列写辅助方程Ea=keke—电势系数，由电动机结构参数确定。MD=kmiakm—转矩系数，由电动机结构参数确定。〔5〕消去中间变量，得令机电时间常数Tm:令电磁时间常数Ta:1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式？？2)对微型电机，转动惯量J很小，且Ra、La都可忽略§2-3非线性特性的线性化控制系统可分为三种：1.线性系统：输入—输出特性为直线；有成熟理论。2.拟〔近似〕线性系统：在一定条件〔在某工作点附近〕，可近似线性化，两种方法：1、小偏差法〔增量法〕：△x→△y；即在工作点处用斜率直线代替非直线；2、用代数方法：Taylor〔泰勒〕级数展开法，去掉2次以上项，近似。3.非线性系统线性化的方法〔1〕单变量系统

对连续的非线性系统y=f(x),在工作点y0=f(x0)附近展成Talor级数:〔2〕双变量的非线性系统y=f〔x1，x2〕同样方法可得Dy=K1Dx1+K2Dx2式中在一定条件下，将非线性系统数学模型化为线性模型常用方法：小偏差法〔小增量法〕3、本质非线性系统：等。可采用局部线性化或分段线性化。注意:

(1)线性化方程中的系数k与工作点有关。

(2)线性化模型在小偏差情况下成立。

(3)非线性函数需满足连续可微条件。

(4)线性化后得到的是增量化的微分方程。

2-4线性系统的传递函数2.4.1.线性常系数微分方程的求解用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：1)对微分方程两边进行拉氏变换。2)求解代数方程，得到微分方程在s域的解。3)求s域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。微分方程式r(t)c(t)求解代数方程时域解c(t)Ls的代数方程R(s)C(s)求解微分方程式s域解C(s)

L-12.4.2传递函数的定义定义：在线性〔或线性化〕定常系统中，初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。设线性定常系统的微分方程式为式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得(a0sn+a1sn1

++an1s

+

an

)C(s)=(b0sm+b1sm1

++bm1s

+

bm

)R(s)求出传递函数为2.4.3传递函数的性质(a)传递函数是一种数模，与系统的微分方程相对应。(b)传递函数只适用于线性定常系统。(c)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。(d)传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系。(f)零初始条件有两方面的含义：一是输入在t=0以后才作用于系统，即输入及其各阶导数在t=0的值为零；二是系统在输入作用前是相对静止的，即输出量及其各阶导数在t=0的值为零。(g)传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。〔零状态解〕(h)传递函数一般为复变量s的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即nm。并且所有的系数均为实数。G(s)的两种标准形式①零、极点表达式

②时间常数表达式③不同形式间的变换Ti=-1/pi,τj=-1/zj

传递函数求取〔1〕首先求出控制系统的微分方程，在零初始条件下对微分方程两边进行拉氏变换，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比就是系统的传递函数；〔2〕列写控制系统输入输出及内部各中间变量的微分方程组，将微分方程组经拉氏变换化为代数方程组，消去中间变量得到系统的传递函数；〔3〕对于电网络系统，可以将时域的元件模型化为S域的元件模型，然后根据电网络的约束关系列写代数方程，消去中间变量得到系统的传递函数。例例图示为两级RC电路串联组成的无源滤波网络，试列写以u(t)为输入，uc(t)为输出的网络传递函数Uc(s)/U(s)。解：根据基尔霍夫定律和电容自身的约束关系可得在零初始条件下，对上面四个方程进行拉氏变换，得到一组代数方程消去中间变量I1(s)、I2(s)和U1(s)可得系统的输入输出关系为系统传递函数为

例有源网络〔比例积分PI〕如图(a)所示，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。(a)时域模型(b)s域模型解：首先将有源PI网络的时域模型如图(a)所示化为s域模型如图(b)所示，根据s域模型可知系统的传递函数为2.对于复杂的系统，可以把其看作是由假设干根本部件组合构成的，这些根本部件又称为典型环节。掌握了典型环节的传递函数，就可以方便地组合成复杂的控制系统自动控制系统是由假设干元件组成的，从结构及作用原理上来看，有各种不同的元件。但从动态性能或数学模型来看，却可以分成为数不多的根本环节，这就是典型环节。一般认为典型环节有6种，分述如下：1.比例环节〔杠杆，齿轮系，电位器，变压器等〕运动方程式c(t)=Kr(t)传递函数G(s)=K单位阶跃响应C(s)=G(s)R(s)=K/sc(t)=K1(t)可见，当输入量r(t)=1(t)时，输出量c(t)成比例变化。2-6典型环节及其传递函数r(t)1c(t)t0K2.惯性环节微分方程式：传递函数：式中，T是惯性环节时间常数。惯性环节的传递函数有一个负实极点p=1/T，无零点。

j

01/T单位阶跃响应:0tc(t)3.积分环节微分方程式：0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T传递函数：阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。单位阶跃响应：r(t)t01c(t)t01T当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间直线增长，增长速度由1/T决定。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能。4.微分环节微分方程式为：c(t)=T(t)由于阶跃信号在时刻t

=

0有一跃变，其他时刻均不变化，所以微分环节对阶跃输入的响应只在t

=

0时刻产生一个响应脉冲。理想的微分环节在物理系统中很少独立存在，常见的为带有惯性环节的微分特性，传递函数为：传递函数为：G(s)=Ts单位阶跃响应：r(t)t01c(t)t0T传递函数为：或式中，T>0，0<ξ

<1，n=1/T，T称为振荡环节的时间常数，ξ

为阻尼比，n为无阻尼振荡频率。振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点：5.振荡环节微分方程式为：单位阶跃响应：式中，β=cos－1ξ。响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。c(t)t01ns1s2

jd

ξn

j

06.延迟环节微分方程式为：c(t)=r(t)传递函数为：G(s)=es单位阶跃响应：c(t)=1(t)r(t)t01c(t)t012-7系统的结构图2.7.1结构图的定义及根本组成1.结构图的定义定义:由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的系统的方框图，称为系统的结构图。例如讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图来描述其结构和作用原理，见图。放大器电动机测速机urufuae+-Ka1/keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf(s)Ua(s)(s)E(s)+把各元件的传递函数代入方框中去，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态结构图。2.结构图的根本组成1〕画图的4种根本元素如下：信号传递线是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递的信号。r(t),R(s)

分支点

表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。r(t),R(s)r(t),R(s)

方框表示对信号进行的数学运算。方框中写入元部件的传递函数。R(s)R(s)

U(s)U(s)G(s)C(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)+相加点对两个以上的信号进行代数运算，“+〞号表示相加，可省略不写，“〞号表示相减。2〕结构图的根本作用：(a)简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。(b)信号的传递严格遵照单向性原那么，对于输出对输入的反作用，通过反响支路单独表示。(c)对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出整个系统的传递函数。2.7.2结构图的绘制步骤(1)列写每个元件的原始方程，要考虑相互间负载效应。(2)设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，并将每个变换后的方程，分别以一个方框的形式将因果关系表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。(3)将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。例2-6画出以下图所示RC网络的结构图。

R

C

u1

u2解：(1)列写各元件的原始方程式

i(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式(3)将这些方框依次连接起来得图。U2(s)1CsI(s)…1RI(s)U1(s)﹣+U2(s)1RI(s)U1(s)﹣+U2(s)U2(s)1CsG2(s)U(s)C(s)G1(s)R(s)U(s)由图可知：

U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)消去变量U(s)得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)2.7.3结构图的根本连接形式1.三种根本连接形式(1)串联。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。G1(s)G2(s)R(s)C(s)G2(s)U(s)C(s)故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。

(2)并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。由图有

C1(s)=G1(s)R(s)

C2(s)=G2(s)R(s)

R(s)C(s)G1(s)C1(s)R(s)G2(s)C2(s)R(s)+C(s)=C1(s)C2(s)消去G1(s)和G2(s)，得C(s)=[G1(s)G2(s)]R(s)=G(s)R(s)故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和。G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)G1(s)R(s)G2(s)C2(s)C(s)+(3)反响连接。连接形式是两个方框反向并接，如下图。相加点处做加法时为正反响，做减法时为负反响。由图有C(s)=G(s)E(s)

B(s)=H(s)C(s)

E(s)=R(s)B(s)消去B(s)和E(s)，得

C(s)=G(s)[R(s)H(s)C(s)]

R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+上式称为闭环传递函数，是反响连接的等效传递函数。G(s)1G(s)H(s)R(s)C(s)G(s)：前向通道传函H(s)：反响通道传函H(s)=1单位反响系统G(s)H(s)：开环传函R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+2.闭环系统的常用传递函数考察带有扰动作用下的闭环系统如下图。它代表了常见的闭环控制系统的一般形式。〔1〕控制输入下的闭环传递函数令D(s)=0有G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++〔2〕扰动输入下的闭环传递函数令R(s)=0有至此，可以给出求单回路闭环传递函数的一般公式为

式中负反响时取“+〞号，正反响时取“－〞号。〔3〕两个输入量同时作用于系统的响应〔4〕控制输入下的误差传递函数〔5〕扰动输入下的误差传递函数〔6〕两个输入量同时作用于系统时的误差2.7.4结构图的等效变换变换的原那么：变换前后应保持信号等效。1.分支点后移GRCRGRC1/GR2.分支点前移GRCCGRCGC4.比较点前移3.比较点后移GFGRC+FRGCF+GRC+FF1/GRGC+F5.比较点互换或合并R1CR2++R3R1CR2++R3R1CR2+R32.7.5结构图的简化对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次化简。RCG1G2G3H1H2例2-7用结构图化简的方法求以下图所示系统传递函数。解：方法11/G3RCG1G2G3H1H2方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G1例2-8用结构图化简的方法求以下图所示系统传递函数。RG1G2CG3RG1G2CG3解：RG1G2CG3RG1G2CG31/G22.8.1信号流图的根本概念1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：x2=a12x1式中，为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；a12为两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入变量乘上传输值。假设从因果关系上来看，x1为“因〞，x2为“果〞。这种因果关系，可用以下图表示。x1a12x22-8信号流图及梅逊公式a43a44x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24a25a32下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。设有一系统，它由以下方程组描述：x2=a12x1+a32x3x3=a23x2+a43x4x4=a24x2+a34x3+a44x4x5=a25x2+a45x42.信号流图的根本元素(1)节点：用来表示变量，用符号“O〞表示，并在近旁标出所代表的变量。(2)支路：连接两节点的定向线段，用符号“〞表示。支路具有两个特征：有向性限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。有权性限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值表示。

混合节点

既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中x2、x3。

3.信号流图的几个术语

节点及其类别

输入节点(源节点)只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。如图中x1。输出节点(汇节点、阱节点)只有输入支路的节点，它代表系统的输出变量。如图中x4。1a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4x2通道及其类别

通道从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。开通道如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点只经过一次。如a12a23a34。a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4闭通道(回环)如果通道的终点就是起点的开通道。如a23a32，a33(自回环)

。前向通道从源节点到汇节点的开通道。不接触回路回路之间没有公共的节点和支路。4.信号流图的根本性质1〕信号流图只能代表线性代数方程组。2〕节点标志系统的变量，表示所有流向该节点的信号之和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。3〕信号在支路上沿箭头单向传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有“前因后果〞的因果关系。4〕支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。5〕对于给定的系统，信号流图不唯一。2.8.2信号流图的绘制方法

1.直接法

例2-9

RLC电路如图2-28所示，试画出信号流图。解：(1)列写原始方程

(2)取拉氏变换，考虑初始条件：i(0+)，uc(0+)(3)整理成因果关系RCur(t)

uc(t)L(4)画出信号流图如下图。Ur(s)Uc(s)I(s)1suc(0+)ic(0+)1Ls+R1Ls+R1Cs1Ls+R2.翻译法例2-10画出以下图所示系统的信号流图。R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)﹣+E2(s)E1(s)

解：按照翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号流图。R(s)E1(s)C(s)E2(s)G2(s)G1(s)H(s)系统结构图信号流图变量在信号线上节点输入变量输入节点比较点和引出点混合节点信号线和方框支路2.8.3梅逊增益公式

1.梅逊增益公式输入输出节点间总传输的一般式为式中P—

总传输(增益)；

n—

从源节点至汇节点前向通道总数；Pk—第K条前向通路的传输；

—信号流图的特征式；

k—余因