物体的力学平衡静力学课件

应用平衡条件解题注意（二）

（二）刚体转动轴的选定是任意的但必须合理，应使尽量多的未知力（特别是不需求的）的力矩为零

例题、证明如图所示的三个人抬一匀质三角形木板时所用的力相等。ABC证明：木板受力如图所示。以BC为转动轴，F1F2F3GOO2O1O3所以分别以AC、AB边为轴则可得到所以有α有平衡条件有：应用平衡条件解题注意（二）（二）刚体转动轴的选定是任1（三）正确判断受力方向

（1）当刚体受三个非平行力处于平衡时，若其中的两个力的方向已知，则可准确确定第三个力的方向依据：刚体受三个非平行力作用而处于平衡时，该三力必共面共点。PF1F2F3墙壁对横杆AB

的作用力R

的方向由此得以确定。GTR

1、准确确定力的方向

用“反证法”证明依据的正确性若F3

不在F1

和F2所决定的平面内，则F1

与

F2

的合力F12

就不可能与F3

反向；若F3

不过F1

与F2

的交点P，则对过P点的不与F3

平行的转动轴来说，合力矩必定不为零。（三）正确判断受力方向（1）当刚体受三个非平行力处2（2）若n个力平衡，其中的（n-1）个力交于一点且交点已知，则可准确确定第n个力的方向。

12n-1nP

依据：若n个力平衡，且其中的（n-1）个力交于一点，则第n个力的作用线必过此点。

用反证法证明依据若第n个力不过此点，则该力对过此点的转轴的力矩不为零，而其它（n-1）个力对此转轴的力矩为零，所以该n个力对此转轴的合力矩不为零。这与平衡条件矛盾。应用平衡条件解题注意（三）（2）若n个力平衡，其中的（n-1）个力交于一点且交点已知，3用一根细线悬挂圆规时，为使其旋转点抬升得最高，应该让圆规的张角等于

。（假定圆规两臂等长，考虑一个简单模型，以一个无质量的旋转点连接的两个相同的均质细木棍替代实际中的圆规）θαβＡＢＣ两虚线分别为角平分线和两边中点的边线。所以Ｏ即为重心。则绳子的延长线过Ｏ点。角α越大，A点越高

O用一根细线悬挂圆规时，为使其旋转点抬升得最高，应该让圆规的张4θαβＡＢＣθαβＡＢＣ5静摩擦角1、静摩擦角的概念（1）定义：（2）几何意义：最大静摩擦力fm和正压力N的合力与正压力N夹角。Nf

(φ0是全反力R与N的最大夹角。)全反力（3）静摩擦角概念的应用fmR注意：φ0的大小仅由两接触面的材料性质所决定物体静平衡时：

6利用静摩擦角解题有时会很方便

例题、如图所示，有一长为l，重为W0匀质杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙壁的静摩擦系数为μ。B端用一强度足够而不可伸长的轻绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁的C点。木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为θ。（1）求杆能保持平衡时μ与θ应满足的条件;

（2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在：若在P点与A点之间的任一点悬挂一重物，则当重物的总量W足够大时总可以使平衡被破坏;而在P点与B点之间的任一点悬挂任意重量的重物，都不能使平衡破坏。求出这一点P与A点的距离。分析：（1）杆未挂重物时受力如图TθABCW0你能否确定R的方向？由力的平衡条件及几何关系知φRNf既然杆能保持平衡，所以应有即利用静摩擦角解题有时会很方便例题、如图7θABCTW0（2）杆挂上重物W时重物挂在何处能使1、R和N的夹角φ＞φ02、R和N的夹角φ≤φ0P作出墙壁和杆间的静摩擦角φ0

=∠BAD。又作DP⊥AB，所得交点P即为所求。若重物W挂在P、B之间：WWDD2W2W1D1RR无论W多大，均有φ≤φ0若重物W挂在P、A之间：当W足够大时，就能使φ＞φ0由几何关系得由此解得如何计算AP=?WθABCTW0（2）杆挂上重物W时重物挂在何处能使P作出墙壁8如图所示，放在水平地面上的两个圆柱体相互接触，大、小圆柱的半径分别为R和r，大圆柱体上缠有绳子，现通过绳子对大圆柱体施加一水平力F，设各接触处的静摩擦因数都是μ，为使大圆柱体能翻过小圆柱体，问μ应满足什么条件？FA如图所示，放在水平地面上的两个圆柱体相互接触，大、小圆柱的半9解：FA图系统的受力情况如图所示.(1)由于小圆柱既不滑动，也不滚动，而大圆柱在小圆柱上作无滑滚动，故B、C两处都必定有静摩擦力作用.(2)大圆柱刚离开地面时，它受三个力作用：拉力F，重力G1，小圆柱对它的作用力R1.由于这三个力平衡，所以它们的作用线必相交于一点,这点就是A点.α角不大于最大摩擦角(3)由于小圆柱受力平衡，所以它所受的三个力作用：重力G2，大圆柱对它的作用力R1，地面对它的作用力R2必组成一个闭合三角形.即有BDCO1O2G1G2R1R2ααR1θ解：FA图系统的受力情况如图所示.(1)由于小圆柱既不滑10G2R2R1αθ图2如图2所示，同样应该有所以由上面三式得由图2知由图1得所以于是BDCO1O2G1G2R1R2ααR1θFA图1G2R2R1αθ图2如图2所示，同样应该有所以由上面三式得由11例一质量分布均匀的梯子AB，一端放在水平地面上，另一端搁在竖直墙上，梯子与地面、梯子与墙面的动摩擦因数分别为μ1、μ2，求梯子平衡时与地面所成的最小夹角θ。关键：判断临界情况下，A、B两端同时达到临界，A端达到B端未达到，或是B端达到而A端尚未达到？结论：梯子与地面成最小夹角θ而平衡时，A、B端同时达到最大静摩擦力。例一质量分布均匀的梯子AB，一端放在水平地面上，另一端搁在竖12拓变：若已知均匀梯子的质量为m，一端靠在光滑的墙上，另一端置于粗糙的水平地面上，静摩擦系数为μ，一个质量为M的人沿梯子往上爬，为了保证人的安全，对梯子的放置有什么要求？切入点在哪里？为保证人的安全，必须是人爬到梯顶时，梯子仍不会滑到。（M+m)gDCNEN’f’拓变：若已知均匀梯子的质量为m，一端靠在光滑的墙上，另一端置13二、微元法的应用在涉及到绳子内部张力以及形变等问题时，除了采用隔离法外，对于质量不可忽略的绳子，通常选取长度微元进行研究。例题：已知原长为ι、劲度系数为κ的弹簧，其线密度为ρ，铅垂悬挂，求由其自重引起的伸长。问题的切入点在哪？为什么会伸长？各部分的伸长是否均匀确定研究对象原长为△x的部分受到向下原长为x的那部分重力二、微元法的应用例题：已知原长为ι、劲度系数为κ的弹簧，其线14如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A端受的拉力T.解析：以铁链为研究对象，由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁链的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为△L的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图所示.由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面15由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大△Tθ，所以整个铁链对A端的拉力是各段上△Tθ的和，由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大△Tθ，所以16如图所示，质量分布均匀的细链，长为L＝10m，质量为10kg，其一端系于天花板的P点处，人提着另一端，P、Q两点的高度差为h=2m，设人的提拉力F＝100N，试求天花板对细链的作用力.图QP

虚功原理许多平衡状态的问题,可以假设其状态发生一个微小的变化,某一个力做了一个微小的功△W,使系统的势能发生了一个微小的变化△E,然后利用△W=△E求出所需要的物理量,这就是虚功原理.该原理是由伯努利首先提出来的。如图所示，质量分布均匀的细链，长为L＝10m，质量为10kg17解:(虚似法)由于细链挂在竖直平面内，且没有对称性，所以无法用力的平衡方法求解.但可以作如下情景虚似:图1QPhPQTPTQ图2人将链条沿其拉力方向缓慢移动一微小位移∆L，在这一过程中保持链条的形状和位置不变，那么这仅仅相当于把微元∆L从P点移到Q点，链条的势能减少了.据功能原理有又所以解:(虚似法)由于细链挂在竖直平面内，且没有对称性，18三、摩擦平衡系统的处理求解有摩擦的物体系统平衡问题，原则上与光滑系统相似，只是要在接触处加上摩擦力，但由于摩擦力可以在0到fmax之间取值，往往使问题复杂化。摩擦平衡问题通常有三类：平衡的判断、求临界平衡和平衡范围。核心问题是求解临界平衡，其它两类问题可归纳为临界平衡，临界平衡状态的判断又是求解中需要解决的首要问题。对于多点摩擦，先后滑动。这类问题中，有多处摩擦，但系统的临界状态只要求其中一处或两处达到最大摩擦力。到底哪一处先达到最大值呢？若不能事先作出确切判断，就必须把所有可能的情形一一求算，最后选取实际出现的情形。三、摩擦平衡系统的处理求解有摩擦的物体系统平衡问题，原则19例题:如图所示，物块A、B、滚轮C质量均为m。滚轮C由固定在一起的两个同心圆盘组成，半径分别为2r和r。各接触面处静摩擦系数均为μ

，求维持系统平衡时，μ最小值为多少？mgNcfcNPfPmgNBNPfPfB学生最初的感觉不易下手何为μ的最小值呢?如何理解?对轮C有对B物有NC和NB哪一个大呢?对轮C以O为轴满足而对整体又必须有这说明B和地面之间已经到达最大静摩擦力时轮C与地面之间尚未到达最大静摩擦力从结构上可看出B与C和B与地面之间同时达到最大静摩擦力考虑到例题:如图所示，物块A、B、滚轮C质量均为m。滚轮C由固定在20质量分别为m和M的两个小球用长度为L的轻杆连接，并按图所示位置那样处于平衡状态，杆与棱边缘之间的摩擦因数为μ，小球m与竖直墙壁之间的摩擦力可以不计。为达到图示的平衡状态，参数m、M、μ、L、d、α应满足什么条件？质量分别为m和M的两个小球用长度为L的轻杆连接，并按图所示位21受力分析如图所示，根据力的平衡条件可列出：

杆不滑动的条件为：

以m所在位置为转动轴得力力矩平衡方程：

受力分析如图所示，根据力的平衡条件可列出：杆不滑动的条件为22以桌棱为轴转动平衡方程为：

物体不转动的条件是：

以桌棱为轴转动平衡方程为：物体不转动的条件是：23物体的力学平衡静力学课件24如图，AB、CD杆各长3ι和4ι，AD=DB，A、D、B、C处为光滑铰链，E处为光滑接触，∠ABC=π/2，各杆都是轻杆。现在DE杆上作用一个力偶m，求A、C两处的作用力。N1N2N1=N2=NNNAxNBXNAYNBYNByNNCy如图，AB、CD杆各长3ι和4ι，AD=DB，A、D、B、C25

浮体问题一个装满水的容器底部有一个半径为r的圆筒，洞由一个质量为m、半径为R的球堵住。容器中的水慢慢减少，当达到一个确定值h0时，球从筒中升起，求h0切入点，从小球的受力分析：mgF浮同学可能会想到洞边缘的支持力第一个难点，浮力如何表示？从表达式可看出，当h足够大时，F为负的，表示力向下，当h减小时，F逐步增大。浮体问题一个装满水的容器底部有一个半径为r的圆筒26物体的力学平衡静力学课件27对上式求导，可得F有极大值要使小球浮起，须满足对上式求导，可得F有极大值要使小球浮起，须满足28物体的力学平衡静力学课件29七、用“三视图”进行受力分析

有时已知的研究对象是一个立体模型，直接分析有困难，需对研究对象从不同的角度去观察和剖视，得到的平面图称为“三视图”。即：正视图、俯视图、侧视图。但也有从平面图转化成立体图的情形。例题：三根重均为G，长均为L的相同均匀铁杆（其直径d＜＜L）对称地搁在一起，三杆底端间均相距L。若有一重为G的人坐在A杆的中点处，则A杆顶端所受作用力的大小为多少？方向如何？2GaO’T对OA杆：以A为支点对OB、OC杆整体、以BC为轴七、用“三视图”进行受力分析有时已知的研究对象是306.半径为r，质量为m的三个相同的球放在水平桌面上，两两相互接触，用一个高为1.5r的圆柱形圆筒（上下均无底）将此三个球套在筒内，圆筒的半径取适当的值，使得各球间以及球与圆筒壁之间均保持无形变接触.现取一质量也为m、半径为R的第四个球，放在三球的上方正中，设第四个球的表面、圆筒的内壁表面均由相同的材料构成，其相互之间的最大静摩擦因数为μ=3/（15）1/2

，问R取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球也一起提起来？6.半径为r，质量为m的三个相同的球放在水平桌面上，两两31解：rrOO1O2O3图1由图1(俯视图）可见，图2（剖面图）为球1的受力图.当竖直向上提起圆筒时，能把4个球一起提起，下面两式应得到满足图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ否则上、下球之间及球与筒壁之间会发生相对滑动.以球1为研究对象，取O1为轴，由力矩平衡条件易得解：rrOO1O2O3图1由图1(俯视图）可见，图2（剖32图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ以图2中的A为轴，可得由此式易知，N1>N2,所以只要(2)式得到满足，(1)式就自然得到满足.又以图2中的B为轴，可得再以4个球为整体作为研究对象，有图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ以图2中33图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ由(3)、(5)、(6)式可得再结合(2)式可得两边平方，整理后可得图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ由(3)34由此可解得（另一解舍去）设R＝nr,由图2的几何关系可得图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ所以由此可解得（另一解舍去）35rrOO1O2O3图1故又为使第4个球不至于从下面三个球中间掉下，因此须结合上面两式可知第4个球的半径必须满足下式rrOO1O2O3图1故又为使第4个球不至于从下面三个球中间36例题：三个半径均为r，质量相等的球放在一个半球形的碗中，现把第四个半径也为r，质量相等的球放到这三个球的正上方，要使这四个球都能静止，半球形碗的半径R应满足的条件？不考虑各处的摩擦。这里为什么强调半球形碗的半径R应满足的条件？若半球形碗的半径太大，第四球放上去会使下面三个球互相散开，那么，碗半径的最大值出现在什么时候呢？上面的球放了以后，下面的3个球尽管还接触，但相互之间无相互作用，则4个球的球心在空间呈什么形状呢？mgFN对B球在竖直方向分析在水平方向有例题：三个半径均为r，质量相等的球放在一个半球形的碗中，现把37例题：在水平M上有一个正方形薄木板ABCD，在木板上静放一质量为m的小物块，如图所示，现保持木板的AB边不动，将木板以AB边为轴缓慢向上转动，使木板AD边与水平面成θ角度；然后再木板的AD边不动，将木板以AD边为轴缓慢向上转动，使木板的AB边与水平面成相同的θ角度；若转动过程中小物块始终相对于木板静止，则最终小物块所受的静摩擦力大小为多少？学生的可能解法：mgN1F1F1N1N2F2例题：在水平M上有一个正方形薄木板ABCD，在木板上静放一质38三、静平衡的稳定性反映的是处于静平衡的物体克服所遭遇的（破坏平衡的）微小扰动的性能。（一）概念：1、稳定平衡静平衡按稳定性分类：（二）2、非稳定平衡23、随遇平衡3平衡的稳定性1下列处于平衡的物体，在遭遇扰动时有不同表现：三、静平衡的稳定性39平衡的稳定性1、稳定平衡2、非稳定平衡3、随遇平衡（三）物体平衡的稳定性的判定1、受力分析：看物体偏离平衡位置后，所受力是否总是使物体移向平衡位置。2、受力矩分析：看物体偏离平衡位置后，所受力矩是否总是使物体转向平衡位置。

3、重心升降（如果有重心变化）分析：看物体偏离平衡位置后，其重心高度如何变化。4、势能分析：看物体偏离平衡位置后，其势能如何变化。平衡的稳定性1、稳定平衡2、非稳定平衡3、随遇平衡（三）物体40例题：如图装置，它是由一个长为L的木钉、从木钉上端向左右斜伸出两个下垂的长为b的细木杆，及在木杆的末端装有质量同为m的小重球而做成。木钉及木杆的重量忽略不计，木钉与木杆间的夹角为α。此装置放在硬质木柱上。试求：间应当满足什么关系才能使木钉由竖直位置稍偏斜后，此装置以O点为支点左右摆动而不至倾倒。分析：木钉由竖直位置稍偏斜后，此装置以O点为支点左右摆动而不至倾倒，即处于稳定平衡。因此，也就是要求此装置稳定平衡的条件。方法一：力矩判断法以逆时针方向为正要求方法二：重心升降法装置平衡时，重心离O点的高度例题：如图装置，它是由一个长为L的木钉、从木钉上端向左右斜伸41综合以上讨论得综合以上讨论得42应用平衡条件解题注意（二）

（二）刚体转动轴的选定是任意的但必须合理，应使尽量多的未知力（特别是不需求的）的力矩为零

例题、证明如图所示的三个人抬一匀质三角形木板时所用的力相等。ABC证明：木板受力如图所示。以BC为转动轴，F1F2F3GOO2O1O3所以分别以AC、AB边为轴则可得到所以有α有平衡条件有：应用平衡条件解题注意（二）（二）刚体转动轴的选定是任43（三）正确判断受力方向

（1）当刚体受三个非平行力处于平衡时，若其中的两个力的方向已知，则可准确确定第三个力的方向依据：刚体受三个非平行力作用而处于平衡时，该三力必共面共点。PF1F2F3墙壁对横杆AB

的作用力R

的方向由此得以确定。GTR

1、准确确定力的方向

用“反证法”证明依据的正确性若F3

不在F1

和F2所决定的平面内，则F1

与

F2

的合力F12

就不可能与F3

反向；若F3

不过F1

与F2

的交点P，则对过P点的不与F3

平行的转动轴来说，合力矩必定不为零。（三）正确判断受力方向（1）当刚体受三个非平行力处44（2）若n个力平衡，其中的（n-1）个力交于一点且交点已知，则可准确确定第n个力的方向。

12n-1nP

依据：若n个力平衡，且其中的（n-1）个力交于一点，则第n个力的作用线必过此点。

用反证法证明依据若第n个力不过此点，则该力对过此点的转轴的力矩不为零，而其它（n-1）个力对此转轴的力矩为零，所以该n个力对此转轴的合力矩不为零。这与平衡条件矛盾。应用平衡条件解题注意（三）（2）若n个力平衡，其中的（n-1）个力交于一点且交点已知，45用一根细线悬挂圆规时，为使其旋转点抬升得最高，应该让圆规的张角等于

。（假定圆规两臂等长，考虑一个简单模型，以一个无质量的旋转点连接的两个相同的均质细木棍替代实际中的圆规）θαβＡＢＣ两虚线分别为角平分线和两边中点的边线。所以Ｏ即为重心。则绳子的延长线过Ｏ点。角α越大，A点越高

O用一根细线悬挂圆规时，为使其旋转点抬升得最高，应该让圆规的张46θαβＡＢＣθαβＡＢＣ47静摩擦角1、静摩擦角的概念（1）定义：（2）几何意义：最大静摩擦力fm和正压力N的合力与正压力N夹角。Nf

(φ0是全反力R与N的最大夹角。)全反力（3）静摩擦角概念的应用fmR注意：φ0的大小仅由两接触面的材料性质所决定物体静平衡时：

48利用静摩擦角解题有时会很方便

例题、如图所示，有一长为l，重为W0匀质杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙壁的静摩擦系数为μ。B端用一强度足够而不可伸长的轻绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁的C点。木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为θ。（1）求杆能保持平衡时μ与θ应满足的条件;

（2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在：若在P点与A点之间的任一点悬挂一重物，则当重物的总量W足够大时总可以使平衡被破坏;而在P点与B点之间的任一点悬挂任意重量的重物，都不能使平衡破坏。求出这一点P与A点的距离。分析：（1）杆未挂重物时受力如图TθABCW0你能否确定R的方向？由力的平衡条件及几何关系知φRNf既然杆能保持平衡，所以应有即利用静摩擦角解题有时会很方便例题、如图49θABCTW0（2）杆挂上重物W时重物挂在何处能使1、R和N的夹角φ＞φ02、R和N的夹角φ≤φ0P作出墙壁和杆间的静摩擦角φ0

=∠BAD。又作DP⊥AB，所得交点P即为所求。若重物W挂在P、B之间：WWDD2W2W1D1RR无论W多大，均有φ≤φ0若重物W挂在P、A之间：当W足够大时，就能使φ＞φ0由几何关系得由此解得如何计算AP=?WθABCTW0（2）杆挂上重物W时重物挂在何处能使P作出墙壁50如图所示，放在水平地面上的两个圆柱体相互接触，大、小圆柱的半径分别为R和r，大圆柱体上缠有绳子，现通过绳子对大圆柱体施加一水平力F，设各接触处的静摩擦因数都是μ，为使大圆柱体能翻过小圆柱体，问μ应满足什么条件？FA如图所示，放在水平地面上的两个圆柱体相互接触，大、小圆柱的半51解：FA图系统的受力情况如图所示.(1)由于小圆柱既不滑动，也不滚动，而大圆柱在小圆柱上作无滑滚动，故B、C两处都必定有静摩擦力作用.(2)大圆柱刚离开地面时，它受三个力作用：拉力F，重力G1，小圆柱对它的作用力R1.由于这三个力平衡，所以它们的作用线必相交于一点,这点就是A点.α角不大于最大摩擦角(3)由于小圆柱受力平衡，所以它所受的三个力作用：重力G2，大圆柱对它的作用力R1，地面对它的作用力R2必组成一个闭合三角形.即有BDCO1O2G1G2R1R2ααR1θ解：FA图系统的受力情况如图所示.(1)由于小圆柱既不滑52G2R2R1αθ图2如图2所示，同样应该有所以由上面三式得由图2知由图1得所以于是BDCO1O2G1G2R1R2ααR1θFA图1G2R2R1αθ图2如图2所示，同样应该有所以由上面三式得由53例一质量分布均匀的梯子AB，一端放在水平地面上，另一端搁在竖直墙上，梯子与地面、梯子与墙面的动摩擦因数分别为μ1、μ2，求梯子平衡时与地面所成的最小夹角θ。关键：判断临界情况下，A、B两端同时达到临界，A端达到B端未达到，或是B端达到而A端尚未达到？结论：梯子与地面成最小夹角θ而平衡时，A、B端同时达到最大静摩擦力。例一质量分布均匀的梯子AB，一端放在水平地面上，另一端搁在竖54拓变：若已知均匀梯子的质量为m，一端靠在光滑的墙上，另一端置于粗糙的水平地面上，静摩擦系数为μ，一个质量为M的人沿梯子往上爬，为了保证人的安全，对梯子的放置有什么要求？切入点在哪里？为保证人的安全，必须是人爬到梯顶时，梯子仍不会滑到。（M+m)gDCNEN’f’拓变：若已知均匀梯子的质量为m，一端靠在光滑的墙上，另一端置55二、微元法的应用在涉及到绳子内部张力以及形变等问题时，除了采用隔离法外，对于质量不可忽略的绳子，通常选取长度微元进行研究。例题：已知原长为ι、劲度系数为κ的弹簧，其线密度为ρ，铅垂悬挂，求由其自重引起的伸长。问题的切入点在哪？为什么会伸长？各部分的伸长是否均匀确定研究对象原长为△x的部分受到向下原长为x的那部分重力二、微元法的应用例题：已知原长为ι、劲度系数为κ的弹簧，其线56如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A端受的拉力T.解析：以铁链为研究对象，由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁链的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为△L的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图所示.由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面57由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大△Tθ，所以整个铁链对A端的拉力是各段上△Tθ的和，由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大△Tθ，所以58如图所示，质量分布均匀的细链，长为L＝10m，质量为10kg，其一端系于天花板的P点处，人提着另一端，P、Q两点的高度差为h=2m，设人的提拉力F＝100N，试求天花板对细链的作用力.图QP

虚功原理许多平衡状态的问题,可以假设其状态发生一个微小的变化,某一个力做了一个微小的功△W,使系统的势能发生了一个微小的变化△E,然后利用△W=△E求出所需要的物理量,这就是虚功原理.该原理是由伯努利首先提出来的。如图所示，质量分布均匀的细链，长为L＝10m，质量为10kg59解:(虚似法)由于细链挂在竖直平面内，且没有对称性，所以无法用力的平衡方法求解.但可以作如下情景虚似:图1QPhPQTPTQ图2人将链条沿其拉力方向缓慢移动一微小位移∆L，在这一过程中保持链条的形状和位置不变，那么这仅仅相当于把微元∆L从P点移到Q点，链条的势能减少了.据功能原理有又所以解:(虚似法)由于细链挂在竖直平面内，且没有对称性，60三、摩擦平衡系统的处理求解有摩擦的物体系统平衡问题，原则上与光滑系统相似，只是要在接触处加上摩擦力，但由于摩擦力可以在0到fmax之间取值，往往使问题复杂化。摩擦平衡问题通常有三类：平衡的判断、求临界平衡和平衡范围。核心问题是求解临界平衡，其它两类问题可归纳为临界平衡，临界平衡状态的判断又是求解中需要解决的首要问题。对于多点摩擦，先后滑动。这类问题中，有多处摩擦，但系统的临界状态只要求其中一处或两处达到最大摩擦力。到底哪一处先达到最大值呢？若不能事先作出确切判断，就必须把所有可能的情形一一求算，最后选取实际出现的情形。三、摩擦平衡系统的处理求解有摩擦的物体系统平衡问题，原则61例题:如图所示，物块A、B、滚轮C质量均为m。滚轮C由固定在一起的两个同心圆盘组成，半径分别为2r和r。各接触面处静摩擦系数均为μ

，求维持系统平衡时，μ最小值为多少？mgNcfcNPfPmgNBNPfPfB学生最初的感觉不易下手何为μ的最小值呢?如何理解?对轮C有对B物有NC和NB哪一个大呢?对轮C以O为轴满足而对整体又必须有这说明B和地面之间已经到达最大静摩擦力时轮C与地面之间尚未到达最大静摩擦力从结构上可看出B与C和B与地面之间同时达到最大静摩擦力考虑到例题:如图所示，物块A、B、滚轮C质量均为m。滚轮C由固定在62质量分别为m和M的两个小球用长度为L的轻杆连接，并按图所示位置那样处于平衡状态，杆与棱边缘之间的摩擦因数为μ，小球m与竖直墙壁之间的摩擦力可以不计。为达到图示的平衡状态，参数m、M、μ、L、d、α应满足什么条件？质量分别为m和M的两个小球用长度为L的轻杆连接，并按图所示位63受力分析如图所示，根据力的平衡条件可列出：

杆不滑动的条件为：

以m所在位置为转动轴得力力矩平衡方程：

受力分析如图所示，根据力的平衡条件可列出：杆不滑动的条件为64以桌棱为轴转动平衡方程为：

物体不转动的条件是：

以桌棱为轴转动平衡方程为：物体不转动的条件是：65物体的力学平衡静力学课件66如图，AB、CD杆各长3ι和4ι，AD=DB，A、D、B、C处为光滑铰链，E处为光滑接触，∠ABC=π/2，各杆都是轻杆。现在DE杆上作用一个力偶m，求A、C两处的作用力。N1N2N1=N2=NNNAxNBXNAYNBYNByNNCy如图，AB、CD杆各长3ι和4ι，AD=DB，A、D、B、C67

浮体问题一个装满水的容器底部有一个半径为r的圆筒，洞由一个质量为m、半径为R的球堵住。容器中的水慢慢减少，当达到一个确定值h0时，球从筒中升起，求h0切入点，从小球的受力分析：mgF浮同学可能会想到洞边缘的支持力第一个难点，浮力如何表示？从表达式可看出，当h足够大时，F为负的，表示力向下，当h减小时，F逐步增大。浮体问题一个装满水的容器底部有一个半径为r的圆筒68物体的力学平衡静力学课件69对上式求导，可得F有极大值要使小球浮起，须满足对上式求导，可得F有极大值要使小球浮起，须满足70物体的力学平衡静力学课件71七、用“三视图”进行受力分析

有时已知的研究对象是一个立体模型，直接分析有困难，需对研究对象从不同的角度去观察和剖视，得到的平面图称为“三视图”。即：正视图、俯视图、侧视图。但也有从平面图转化成立体图的情形。例题：三根重均为G，长均为L的相同均匀铁杆（其直径d＜＜L）对称地搁在一起，三杆底端间均相距L。若有一重为G的人坐在A杆的中点处，则A杆顶端所受作用力的大小为多少？方向如何？2GaO’T对OA杆：以A为支点对OB、OC杆整体、以BC为轴七、用“三视图”进行受力分析有时已知的研究对象是726.半径为r，质量为m的三个相同的球放在水平桌面上，两两相互接触，用一个高为1.5r的圆柱形圆筒（上下均无底）将此三个球套在筒内，圆筒的半径取适当的值，使得各球间以及球与圆筒壁之间均保持无形变接触.现取一质量也为m、半径为R的第四个球，放在三球的上方正中，设第四个球的表面、圆筒的内壁表面均由相同的材料构成，其相互之间的最大静摩擦因数为μ=3/（15）1/2

，问R取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球也一起提起来？6.半径为r，质量为m的三个相同的球放在水平桌面上，两两73解：rrOO1O2O3图1由图1(俯视图）可见，图2（剖面图）为球1的受力图.当竖直向上提起圆筒时，能把4个球一起提起，下面两式应得到满足图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ否则上、下球之间及球与筒壁之间会发生相对滑动.以球1为研究对象，取O1为轴，由力矩平衡条件易得解：rrOO1O2O3图1由图1(俯视图）可见，图2（剖74图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ以图2中的A为轴，可得由此式易知，N1>N2,所以只要(2)式得到满足，(1)式就自然得到满足.又以图2中的B为轴，可得再以4个球为整体作为研究对象，有图2RrN2mg