一维射影几何学课件

1

第三章一维射影几何学3.1点列和线束3.2点列的交比11本章教材分析3.1点列和线束一、一维基本图形二、一维基本图形示例3.2点列的交比一、点列中四点的交比二、交比的性质三、有关交比的例题2本章教材分析223第三章一维射影几何学本章地位平面射影几何的核心内容之一本章内容重点介绍一维射影几何学，讨论的是一维几何图形，即用一个独立参数描写的几何图形（即点列和线束）；引进射影不变量—交比；讨论两个基本图形间的关系—一维射影几何基本定理。此外，还要讨论两个特殊的一维射影对应：透视对应、对合对应。本章教材分析3第三章一维射影几何学本章地位平面射影几何的核心内容之一343.1点列和线束一、一维基本图形(1)点列(同一直线上点的集合)记号l(A,B,C,…)或l(P)底元素(1)'线束(平面上过同一点的直线的集合)记号L(a,b,c,…)或L(p)束心元素43.1点列和线束一、一维基本图形(1)4（2）点列和线束统称为一维几何图形（流形），它们互为对偶图形。5（4）设有两线l(a)、m(b)，它们确定一个交点L，通过L的任意一条直线u可表为：（3）取定直线l上的两点A(a)、B(b)[a=b=],则l上任一点M（x）可表为：3.1点列和线束一、一维基本图形（2）点列和线束统称为一维几何图形（流形），它们互为对偶图形563.1点列和线束(5)在一维几何基本图形中，a,b称为基底元素，为简便起见，参数就用λ表示，λ=0时表示基底元素a，规定λ=∞时表示基底元素b.一、一维基本图形63.1点列和线束(5)在一维几何基本图形中，a,b称为6例：7二、一维基本图形示例3.1点列和线束设有共线三点x=(-1,-1,1),y=(1,0,-2),z=(1,-2,-4),试将z表为x,y的线性组合。例：7二、一维基本图形示例3.1点列和线束设有共线三点x783.2

点列的交比一、点列中四点的交比1.概念交比—

最根本的射影不变量

定义.设A,B,C,D为点列l(P)中四点,且A

≠

B.把(AB,CD)表示为这共线四点构成的一个交比.定义为(3.1)易见，交比是简比的比：83.2点列的交比一、点列中四点的交比1.概念交比—8证明思路分析：由于交比是简比的比，而简比又是分割比的相反数，可以先将这四点的齐次坐标化为非齐次坐标，再用A,B的非齐次坐标线性表示C,D的非齐次坐标，利用定比分割公式，易求点C、D分割A、B的分割比分别是：93.2

点列的交比一、点列中四点的交比(3.2)

定理3.1.设取A,B为基底，将这四点的齐次坐标顺次表为a,b,则证明思路分析：由于交比是简比的比，而简比又是分割比的相反数，9103.2

点列的交比

定理3.2

设点列l(P)中四点A、B、C、D的齐次坐标为p+μiq(i=1,2,3,4).则(3.3)一、点列中四点的交比103.2点列的交比定理3.2设点列l(P1011

证明定理3.2.重新选择A,B,为基点，参数表示C,D.设从中解出p,q,得于是，A,B,C,D的坐标可表示为p+μ1q=r,p+μ2q=s.由定理3.1，有3.2

点列的交比11证明定理3.2.重新选择A,B,为基11推论：设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为123.2

点列的交比一、点列中四点的交比推论：设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为123.212例1（习题3.4）：求四点(2,1,-1),(1,-1,1),(1,0,0),(1,5,-5)顺这次序的交比。133.2

点列的交比一、点列中四点的交比解：取(2,1,-1),(1,-1,1)为基点，将其余两点表为它们的线性组合。易求

(1,0,0)∝(2,1,-1)+(1,-1,1)，

(1,5,-5)∝(2,1,-1)-3/2(1,-1,1)，故所求交比为：例1（习题3.4）：求四点(2,1,-1),(1,-1,1)13例2：已知A、B分别是y轴、x轴上的无穷远点，C是斜率为1的直线上的无穷远点，且（AB,CD）=3,求D的坐标。143.2

点列的交比一、点列中四点的交比解：按题设条件，点A,B,C的坐标分别为：

A(0,1,0),B(1,0,0),C(1,1,0).取A、B为基底，则由(1,1,0)∝(0,1,0)+(1,0,0)得出

λ=1.设D∝A+μB，于是

3=(AB,CD)=λ/μ=1/μ得μ=1/3，故D点的坐标为（1/3，1，0）或(1，3，0).例2：已知A、B分别是y轴、x轴上的无穷远点，C是斜率为1的14151.交比的组合性质显然，共线四点的交比值与这四点在交比记号中的次序有关.改变次序一般会改变交比值.因此，依次序不同，共线四点可以构成4!=24个交比.下面来探讨这24个交比的规律.3.2

点列的交比二、交比的性质定理3.3.将某两点互换，同时互换其余两点，则交比不变。

定理3.4.只限于一对点之间的交换，则交比值转变为其倒数。即151.交比的组合性质3.2点列的交比二、交比的性15定理3.5.交换中间两点，则交比值转化为1与原值之差:(AC,BD)=1-(AB,CD)163.2

点列的交比二、交比的性质

定理3.3—定理3.5说明：（1）共线四点的排列虽有4!=24个，但其互异之值只有6个，若记(AB,CD)=α，则6个互异交比值为

：1.交比的组合性质定理3.5.交换中间两点，则交比值转化为1与原值之差:(A16（2）不考虑复点及四点重合的情况，当且仅当（AB,CD）=-1时，交比值为：-1,½,2.定义：若（AB,CD）=-1，则称C、D调和分割线段AB，或称C、D对线段AB成调和共轭点偶。注意：①在调和分割中，两对点的关系是完全对等的。②C、D调和分割线段AB时，一为内分点，另一为外分点。③调和分割是交比研究的一个重要特例，由此，可引出交比的几何性质。

173.2

点列的交比二、交比的性质1.交比的组合性质（2）不考虑复点及四点重合的情况，当且仅当（AB,CD）=-17（1）三角形中一个角的内角和外角平分线和对边的交点，调和分割对边。（2）一线段被它的中点和这直线上的无穷远点所调和分割。（详见教材P·37）183.2

点列的交比二、交比的性质2.交比的几何性质（1）三角形中一个角的内角和外角平分线和对边的交点，调和分割18193.2

点列的交比二、交比的性质2.交比的几何性质证明定理3.6：（必要性）193.2点列的交比二、交比的性质19203.2

点列的交比二、交比的性质2.交比的几何性质证明定理3.6：（充分性）203.2点列的交比二、交比的性质20例3213.2

点列的交比三、有关交比的例题例3213.2点列的交比三、有关交比的例题2122

第三章一维射影几何学3.1点列和线束3.2点列的交比122本章教材分析3.1点列和线束一、一维基本图形二、一维基本图形示例3.2点列的交比一、点列中四点的交比二、交比的性质三、有关交比的例题23本章教材分析22324第三章一维射影几何学本章地位平面射影几何的核心内容之一本章内容重点介绍一维射影几何学，讨论的是一维几何图形，即用一个独立参数描写的几何图形（即点列和线束）；引进射影不变量—交比；讨论两个基本图形间的关系—一维射影几何基本定理。此外，还要讨论两个特殊的一维射影对应：透视对应、对合对应。本章教材分析3第三章一维射影几何学本章地位平面射影几何的核心内容之一24253.1点列和线束一、一维基本图形(1)点列(同一直线上点的集合)记号l(A,B,C,…)或l(P)底元素(1)'线束(平面上过同一点的直线的集合)记号L(a,b,c,…)或L(p)束心元素43.1点列和线束一、一维基本图形(1)25（2）点列和线束统称为一维几何图形（流形），它们互为对偶图形。26（4）设有两线l(a)、m(b)，它们确定一个交点L，通过L的任意一条直线u可表为：（3）取定直线l上的两点A(a)、B(b)[a=b=],则l上任一点M（x）可表为：3.1点列和线束一、一维基本图形（2）点列和线束统称为一维几何图形（流形），它们互为对偶图形26273.1点列和线束(5)在一维几何基本图形中，a,b称为基底元素，为简便起见，参数就用λ表示，λ=0时表示基底元素a，规定λ=∞时表示基底元素b.一、一维基本图形63.1点列和线束(5)在一维几何基本图形中，a,b称为27例：28二、一维基本图形示例3.1点列和线束设有共线三点x=(-1,-1,1),y=(1,0,-2),z=(1,-2,-4),试将z表为x,y的线性组合。例：7二、一维基本图形示例3.1点列和线束设有共线三点x28293.2

点列的交比一、点列中四点的交比1.概念交比—

最根本的射影不变量

定义.设A,B,C,D为点列l(P)中四点,且A

≠

B.把(AB,CD)表示为这共线四点构成的一个交比.定义为(3.1)易见，交比是简比的比：83.2点列的交比一、点列中四点的交比1.概念交比—29证明思路分析：由于交比是简比的比，而简比又是分割比的相反数，可以先将这四点的齐次坐标化为非齐次坐标，再用A,B的非齐次坐标线性表示C,D的非齐次坐标，利用定比分割公式，易求点C、D分割A、B的分割比分别是：303.2

点列的交比一、点列中四点的交比(3.2)

定理3.1.设取A,B为基底，将这四点的齐次坐标顺次表为a,b,则证明思路分析：由于交比是简比的比，而简比又是分割比的相反数，30313.2

点列的交比

定理3.2

设点列l(P)中四点A、B、C、D的齐次坐标为p+μiq(i=1,2,3,4).则(3.3)一、点列中四点的交比103.2点列的交比定理3.2设点列l(P3132

证明定理3.2.重新选择A,B,为基点，参数表示C,D.设从中解出p,q,得于是，A,B,C,D的坐标可表示为p+μ1q=r,p+μ2q=s.由定理3.1，有3.2

点列的交比11证明定理3.2.重新选择A,B,为基32推论：设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为333.2

点列的交比一、点列中四点的交比推论：设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为123.233例1（习题3.4）：求四点(2,1,-1),(1,-1,1),(1,0,0),(1,5,-5)顺这次序的交比。343.2

点列的交比一、点列中四点的交比解：取(2,1,-1),(1,-1,1)为基点，将其余两点表为它们的线性组合。易求

(1,0,0)∝(2,1,-1)+(1,-1,1)，

(1,5,-5)∝(2,1,-1)-3/2(1,-1,1)，故所求交比为：例1（习题3.4）：求四点(2,1,-1),(1,-1,1)34例2：已知A、B分别是y轴、x轴上的无穷远点，C是斜率为1的直线上的无穷远点，且（AB,CD）=3,求D的坐标。353.2

点列的交比一、点列中四点的交比解：按题设条件，点A,B,C的坐标分别为：

A(0,1,0),B(1,0,0),C(1,1,0).取A、B为基底，则由(1,1,0)∝(0,1,0)+(1,0,0)得出

λ=1.设D∝A+μB，于是

3=(AB,CD)=λ/μ=1/μ得μ=1/3，故D点的坐标为（1/3，1，0）或(1，3，0).例2：已知A、B分别是y轴、x轴上的无穷远点，C是斜率为1的35361.交比的组合性质显然，共线四点的交比值与这四点在交比记号中的次序有关.改变次序一般会改变交比值.因此，依次序不同，共线四点可以构成4!=24个交比.下面来探讨这24个交比的规律.3.2

点列的交比二、交比的性质定理3.3.将某两点互换，同时互换其余两点，则交比不变。

定理3.4.只限于一对点之间的交换，则交比值转变为其倒数。即151.交比的组合性质3.2点列的交比二、交比的性36定理3.5.交换中间两点，则交比值转化为1与原值之差:(AC,BD)=1-(AB,CD)373.2

点列的交比二、交比的性质

定理3.3—定理3.5说明：