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文档简介

冲刺练(二)1.(2022·四川泸州三模)已知函数f(x)=-13x3(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若g(x)=f(x)·ex有且只有一个极值点,求a的取值范围.解:(1)由题意知,f′(x)=-x2+a,当a≤0时,因为-x2≤0,所以f′(x)=-x2+a≤0在R上恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减;当a>0时,由f′(x)=-x2+a>0得x2-a<0,所以-a<x<a,所以f(x)在(-a,a)上单调递增,在(-∞,-a),(a,+∞)上单调递减.(2)g(x)=f(x)·ex=(-13x3+ax)·ex,g′(x)=(-13x3-x2+ax+a)·ex,因为g(x)有且只有一个极值点,即(x)=-13x3-x2+ax+a的图象只穿过x轴一次,即(x)为减函数或者(x)的极值同号.①当(x)为减函数时,′(x)=-x2-2x+a≤0在R上恒成立,则Δ=4+4a≤0,解得a≤-1;②当(x)的极值同号时,设x1,x2为极值点,则(x1)(x2)>0,′(x)=-x2-2x+a=0有两个不同的解x1,x2,则a>-1,且有x1+x2=-2,x1·x2=-a,所以(x1)=-13x13-x12+ax1+a=23[(a+1)x1+a],同理(x2所以(x1)(x2)>0,化简得(a+1)2x1x2+a(a+1)(x1+x2)+a2>0,即-1<a<0;当(x1)(x2)=0时,a=0,g′(x)=-x2(13x+1)·ex,g(x)有且只有一个极值点.综上,a的取值范围是(-∞,0].2.(2022·江苏徐州新沂模拟预测)已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的标准方程;(2)经过点F和T(7,0)的圆与直线l交于P,Q两点,AP,AQ分别与椭圆C交于点M,N.证明:直线MN经过定点.(1)解:由题意知,a=2,设椭圆的焦距为2c,则a2c-c=3,解得c=1,所以b=a2-c2=(2)证明:设直线MN的方程为x=my+n.由x24+y23=1,x=my+n,得(3m则y1+y2=-6mn3m2+4,y1所以x1+x2=m(y1+y2)+2n=8nx1x2=(my1+n)(my2+n)=-12因为直线MA的方程为y=y1令x=4,得yP=2y1x1-2,所以P(4,2y以PQ为直径的圆的方程为(x-4)2+(y-2y1x1-即(x-4)2+y2-(2y1x

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