套利、无套利原理和公司理财学的发展

《理财者》2004年六期套利、无套利原理和公司理财学的发展魏峰【Abstract】Noarbitrageprincipleisabasicresearchmethodofmoderncorporatefinance.Itputcorporatefinancemakegreatadvance.ThedevelopmentofMMTheory,OptionPricingTheory(OPT),ArbitragePricingTheory(APT)ect.wasallbasedonnoarbitrageprinciple.Thisarticlegivessomeintroductiontonoarbitrageprincipleanditsapplicationincorporatefinance.【KeyWords】ArbitrageNoarbitrageprincipleCorporatefinance一、无套利原理概述1、套利简单的讲套利是指一个从市场上获得无风险利润的机会。我们可以考虑一个公司同时在两个股票交易市场交易。如果交易市场1中该公司股票的报价高于交易市场2中的报价（在考虑了交易成本和汇率差异之后），那么投资者就可以通过买入交易市场2中的股票并在交易市场1中出售来锁定一个无风险收益。菲利普·H·戴布维格和斯蒂芬·A·罗斯给出了一个关于套利的学术性的权威定义:套利是这样一个投资策略，即保证在某些偶然情况下获取正报酬而没有负报酬的可能性，也无需有净投资。换句话讲套利是一个可以以零成本建立投资组合并能够保证要么组合的价值增加或者保持为零的一个机会。从数学的角度看，它包含了这样的意思：并且，其中是指投资组合在时点t的价值，表示的是括号中事件出现的概率。这样套利也可以被理解为在没有可能出现损失（）和没有承担任何风险（）的情况下，获得报酬的可能性。有时套利也被描述成不需要任何投入就获得收益的机会（就像免费午餐一样）。学术意义上的套利有两个核心特征：第一，存在一个无风险的收益，即所谓“保证获取正报酬而没有负报酬”（）。第二，存在一个自融资策略，即所谓的“无需有净投资”（），或者如美国著名金融工程学家约翰·马歇尔所言，是指“头寸”完全可以用贷款来融资(即无资本)。例如，假定无风险债券的年收益率为2%，银行一年期借款利率为1%(不考虑利息税)。如果一个投资者将从银行借入的10万元用于投资无风险债券，就可以多获得1%（1000元）的价差收入。这实际上就是一个套利行为。因为，储户获得了无风险债券高于银行贷款的无风险的利差收益，但他并没有增加投入的资金，而只是改变了金融头寸的持有方式。在一个完全竞争的市场体系中，套利机会一旦被发现，投资者马上就会利用这种无风险的套利机会来赚取利润。随着套利者的参与，市场的供求状况将随之而改变，套利空间也将逐渐减少直至消失，结果就形成了各种资产的均衡价格。

2、无套利和无套利原理现代金融理论对套利的研究就是对不能获得套利机会这一假定的含义的研究。这是因为在金融市场上,套利的出现是与均衡相矛盾的。我们知道，经济学的一个基本假定是，竞争经济主体都在一定约束条件下追求利益最大化。例如，当国债的年收益率为2%、银行一年期存款利率为1%时，意味着存在套利的机会。如果一个投资者追求利益最大化,那么他会不断地追求“更多”从而实现“最优”，也就是将存款转换为国债来进行套利。在完全市场的条件下，套利活动必然会降低国债收益率，提高银行借款收益率，直到两者的收益率相等为止。当两者的收益率相等时，套利机会消失,市场达到了均衡状态。在“无套利均衡”状态下,金融资产的价格等于其价值，这是套利活动的必然结果。无套利原理是指具有相同价值的金融产品在同一个竞争的市场应当具有相同的价格。无套利原理假设金融市场不存在套利机会。套利是在不花费成本的情况下，通过一些金融资产的买进和卖出，以获得可能的正的报酬的交易活动。更一般的说，套利是一种投资策略或金融资产的交易策略。这种策略可以在零净投资之下，获得非负的报酬。从理论上讲，由于实现这种策略的规模可以是任意的，因此只要存在套利机会，就意味着存在一个财富泵。存在套利机会的一个简单例子是：如果两个资本市场存在利率差，则可以从低利率市场上借入资金，在高的货币市场上借出，这样无需成本就可以获得收益。当然，这种利率差是不能保持下去的，因为套利活动会使两个市场的利率趋于相同。如果投资者是理性的，投资者对财富的偏好随着财富的增加而增加，那么存在套利机会与市场均衡相矛盾。均衡要求交易价格使金融资产的供需相等。对于理性的投资者来说，其金融资产的需求或供给都是由其自身利益所决定的。在均衡的状态下，金融资产的需求等于供给，投资者的自身利益都没有得到满足，因为理性的人都想利用套利机会获利。更基本的，存在套利机会与投资者存在最优资产组合需求相矛盾。因为任何一个投资者想利用套利机会的规模是无限的。因此，存在套利机会与经济主体优化的理性相矛盾。所以如果存在套利机会，意味着供求不平衡。一旦出现套利机会，市场马上就会调整要价和出价，使供求得以平衡。所以均衡时，一定不存在套利机会，也就是说在无套利原理的存在是金融市场均衡的必然结果。

3、无套利原理发生作用的机制无套利原理在以下情形不成立时，将发生作用：（1）

相同的资产在所有市场上的价格相同。相同资产的价格不同时，套利者将①从价格较低市场上购入该资产，然后在价格较高的市场上出售该资产，从而获得正的收益；②借入该资产，出售给价格较高市场上的购买者，然后再到价格较低的市场上买入相同的资产归还出借人，并保留所获差价；③在价格较高的市场上买空该资产，用所获得的资金到价格较低的市场上买入该资产平仓。（2）

具有相同现金流量的资产的价格相同。具有相同现金流量的资产的价格不同时，套利者①卖出价格较高的资产同时买入价格较低的资产；②使用出售价格较高的资产所获资金来买入价格较低的资产，同时获取部分差价；③使用价格较低资产的现金流入来清洁套利者对于价格较高资产的付款义务。（3）

未来价格确定的资产，其日前的交易价格等于未来价格的现值未来价格确定的资产，其日前的交易价格与未来价格的现值不同时，如果当日价格低于未来价格的现值，套利者卖出一个远期合约，同时借款来买入该资产；在到期日套利者交割资产并收到约定的价款；套利者归还借款、支付借款利息并获取收益。未来价格确定的资产，其日前的交易价格高于未来价格的现值，套利者将买入一个远期合约，同时卖出基础资产并将多出部分借出；到期日套利者收回投资，完成交割，从而获取收益。总之，一旦出现上述三种情形，套利者都将通过一定的交易来进行套利，套利者套利的结果，会使被交易的资产供需得到调整，从失衡从新回到均衡，套利机会最终消失。二、无套利原理的起源无套利原理在MM理论使用以前就已经存在。早在1923年凯恩斯提出解释远期汇率的“利率平价说”中就引入了无套利原理。1931年，英国学者爱因齐格出版的《远期外汇理论》对此做了进一步的总结，阐述了远期差价与利率之间的关系。汇率与利率之间的关系是及其紧密的，这种关系是通过国际间的套利性资金流动而产生的。在两国存在利率差异的情况下，资金将从利率低的市场流向利率高的市场以牟取利润。但是，套利者在比较金融资产的收益率时，不仅考虑两种资产的利率所提供的收益，还要考虑其汇率变动所产生的成本。因此套利者往往将套利与掉期业务结合，以避免汇率风险。套利活动和掉期交易使低利率货币的现汇汇率下降，期汇汇率的上升；而高利率货币的现汇汇率上升，期汇汇率下降。于是，远期差价不断加大，直到两种资产的收益率相同，抵补套利的活动停止，这是远期差价正好等于两种货币的利差，利率平价成立。因此远期差价（期汇汇率与现汇汇率的差额）是由两国间的利率差异决定的，利率高的货币在期汇市场上贴水，利率低的货币在期汇市场上升水。这就是利率平价理论。下面我们利用无套利原理给出利率平价理论的证明。假设本国的利率水平为i，同期外国的利率水平为i*，即期汇率为S（直接标价法），远期汇率为F。若投资者用1单位本国货币在国内投资，到期的收益是（1+i）；若投资者选在国外投资，则必须先将1单位的本币兑换为1/S的外币，再进行投资，到期的收益是（1+i*）/S；按照约定的远期汇率F兑换，则可以收回本币（1+i*）F/S。投资者比较在两国的投资收益，以确定投资方向。若（1+i）>（1+i*）F/S，资本将从国外转移至国内，于是本币的即期汇率上升而远期汇率下降，外币汇率变化相反。若（1+i）<（1+i*）F/S，资本将从国内转移至国外，于是外币的即期汇率上升而远期汇率下降，本币汇率变化相反。套利性资金流动最终使得在两国的投资收益相等，即：（1+i）＝（1+i*）F/S1或者F/S=(1+i)/（1+i*）2给等式2两边减去1，可得：F-S/S=(i-i*)/（1+i*）3公式3表明；当I>i*时，则F>S，即远期外汇出现升水；当I<i*时，则F<S，即远期外汇出现贴水。公司3可以写成：4由于是两个百分比的乘积，通常较小，可以忽略不计。所以：5公式5就是利率平价方程式。它表明：如果国内利率高于国外利率，远期外汇必然升水；如果国外利率高于国内利率，远期外汇必然贴水，并且升（贴）水率大致等于两国的利率差。利率平价理论得证。

三、无套利原理与公司理财学1、无套利原理与MM定理无套利均衡分析在财务领域的运用最早体现在莫迪格莱尼和米勒（1958）研究企业资本结构与企业价值之间关系的MM理论中。他们的理论使公司财务从此具有了严格的分析方法和数理理论基础，可以说是为公司财务这门学科奠定了基础。两位作者分别于1958年和1990年获得诺贝尔经济学奖。MM理论的基本假设包括：（1）无税环境；（2）无交易成本；（3）内部人和外部人具有相同信息，无信息不对称；（4）利益相关者可以无成本地解决利益冲突问题，无代理成本；（5）企业发行的负债无风险；（6）个人可以以无风险利率借贷。上述假设实际上是构造一个无摩擦的市场环境。在这一理论条件下，市场均衡要求对投资者而言不存在套利机会，从而可以推导出企业的资本结构与企业的价值无关。MM（1958）的命题Ⅰ及其证明如下：命题Ⅰ：假定任何公司j,用表示公司所有资产的期望收益（即减去利息之前的期望利润），表示公司债务的市场价值，表示普通股票的市场价值，用=+表示所有证券的市场价值，或者说公司的市场价值。因此，我们的命题Ⅰ宣称在均衡时，对于k类中的任何公司j公司，我们一定有：＝+＝6也就是说任何公司的市场价值独立于资本结构之外，并且其价值等于其期望收益按照它的风险类别的资本成本资本化。我们将证明只要6在一类中任何一对公司之间不成立，那么套利就将发生并回复这种相等关系。在证明中我们经过深思熟虑采用了“套利”这个术语。因为如果命题Ⅰ不成立，一个投资者在买卖股票和债券时，可以将一个收入流与另外一个相交换，在其它条件相同的情况下，其中的一个收入流可以用更低的价格买入。这种交换对投资者是有利的，不管它对风险的态度如何。当投资者利用这种套利机会时，价格被高估的股票的价格就会下降，而被低估的股票的价格则会上升，从而消除了公司市场价值之间的不一致。假设有相同风险类别的两家公司，他们的期望收益率是相同的。公司1完全通过普通股来融资，而公司2的资本结构中有一些债务。首先假定杠杆公司的价值V2大于非杠杆公司1的价值V1，投资者持有公司2的价值S2的股票，占全部在外发行股票的a比例。用Y2来表示这一证券组合的收益，它将是公司2的持股者获得收入的a部分，其价值等于全部收益X2减去利息费用rD2。因为在我们同质性的假设前提下，公司2的全部期望收益X2在任何情况下和公司1的全部期望收益X1相同。因此，后面我们将引用一个共同的符号X来代替X1和X2。那么，最初投资组合的收益可以表示为：Y2=a（X-rD2）6假设投资者卖出公司2的价值为aS2的股票，以便获得公司1的数量为s1＝a（S2+D2）的股票。他可以通过出售最初持有的aS2、以他个人信用借入另外的aD2,和用他在公司1中新持有股票作为抵押来实现这一点。因此他可以获得公司1的股票及盈利的s1/S1＝a（S2+D2）/S1部分。考虑到支付他个人债务aD2的利息，新的债券组合的收益Y1为：7比较6式和7式，我们可以看到只要V2>V1，则有Y1>Y2，以便能支付公司2股票的所有者去售出他们所持有的股票，由此降低S2和V2；并获得公司1的股票，相应增加S1和V1。因此我们可以总结处杠杆公司并不能比无杠杆公司获得更多的好处，因为投资者可以直接通过个人账户的借贷来将等量的杠杆输入到他们的证券投资组合中去。现在考虑另一种可能，也就是说杠杆公司的市场价值V2比V1小。假设投资者最初持有公司1数量为s1的股票，占全部发行股票S1的a部分。它在这些股票上的收益为：8假设他将这些最初持有的股票换为另一种投资组合，价值也为s1，但是有公司2的s2的股票和d的债券组成，s2和d分别表示为：，9换句话说，新的投资组合石油比例分别为S2/V2和D2/V2的公司2的股票和债券组成。在新的证券投资组合中，股票的收益为公司2持股者总收益的s2/S2部分，即（X-rD2），债券的收益为rd。通过式8，从证券投资组合中得到的总收益Y2表达如下：比较Y2和Y1可知，如果V2<S1=V1，那么Y2就大于Y1。由此它支付了公司1的股票持有者去卖出他们持有的股票，并且以含有公司2相应比例的股份的混合证券投资组合来代替他们持有的公司1的股票。有比例分别为Sj/Vj和Dj/Vj的杠杆公司j的股票和债券组成的混合证券投资组合的取得，可以看作是消除杠杆经营的一种操作，以便获得部分非杠杆经营的收益Xj。正是这种消除杠杆经营的可能性阻止了杠杆公司的价值驰誉低于无杠杆公司,或者在更一般意义上阻止了杠杆公司的平均资本成本系统性的高于同类公司中的无杠杆公司。由于我们已经证实了这种套利回阻止V2大于V1，我们可以概括为在均衡状态下一定有V2＝V1。这样，我们就证明了MM的假说Ⅰ。MM（1963）对MM（1958）做了一些修正，因为他们意识到在公司税存在的情况下，利息支出是可以抵减所得税的。MM（1963）表明在考虑公司税时，杠杆公司的价值等于无杠杆公司的价值加上债务的税盾的现值：VL=VU+tcD，其中tc是公司所得税的税率。这样最大化公司价值的资本结构含有100％的债务。在MM（1963）中使用的仍然是套利证明。证明过程概括如下：X是给定风险级别的公司所用有的的资产所产生的息税前盈余，t是公司所得税的边际税率，Xt是税后收益，R是利息支出，等于rD，并且特定风险级别的无杠杆公司税后利润的资本化率。于是有Xt=(1-t)(X-R)+R=(1-t)X+tR。这意味着税后收益包含了两部分内容：（1）一个不确定的现金流量(1-t)X；和(2)一个确定的现金流量tR。于是，组合后的现金流的均衡市场价值可以通过分别资本化两个现金流量来计算。更准确的来说，用表示表示给定风险级别的无杠杆公司的税后利润的市场资本化率，即r=(1-t)X/Vu或

Vu=(1-t)X/由于r是市场资本化确定现金流量的资本化率，r就是税盾rD的折现率。我们预期资本结构中永久债务水平为D的杠杆公司的价值为：VL=(1–t)X/rt+tR/r=VU+tD(3)MM证明如果（3）不成立的话，投资者可以通过从相对高估的公司转到相对低估的公司来获得更为有利的证券投资组合。首先假设无杠杆公司被高估，则有：VL-tD<VU投资者持有m元的无杠杆公司股票，他有权获得最后收益中的m/VU部分，即有不确定收入：YU=(m/VU)(1-t)X现在假设通过投资m元得到的另一证券投资组合如下：第一部分投资到杠杆公司的股票SL{SL/(SL+(1-t)D)}·m第二部分投资到债券里：{(1-t)D/(SL+(1-t)D)}·m股票部分的投资使得投资者可以获得杠杆公司净利润的{SL/(SL+(1-t)D)}·m，它等于{m/SL+(1-t)D}}·{(1-t)(X-R)。债券部分的投资产生的收益为{m/(SL+(1-t)D)}·{(1-t)R}。这样整个收益：YL={m/(SL+(1-t)D)}·{(1-t)X}当且仅当SL+(1-t)DSL+D-tDVL-tD<VU时，YL会高出不确定收入YU。因此，在均衡状态下，VU不能超过VL-tD，否则投资者就会卖掉无杠杆公司的股票而去购买杠杆公司的股票和债券。同理，可以假设杠杆公司被高估，则有；VL-tD>VU采用相同的论证可知在均衡时，VL-tD>VU也不成立。所以公式（3）成立。MM(1963)仍然具有不现实的地方，因为现实世界中没有那家公司使用100％的债务融资。因此莫迪格莱尼和米勒以及后来的财务理论家不断的放宽MM(1958)的假设条件，来寻找企业的最有资本结构。但是MM（1958，1963）的论证方法却得到了财务研究人员的接受，并在后续的研究中获得了广泛的使用，成为了金融经济学研究的一种基本方法。

2、无套利与期权的买卖平权理论在stroll（1969）中应用无套利原理得到了买卖平权公式。期权买卖平权是指具有相同执行价格K和相同到期日T且基于同一只不支付股利的股票St的欧式看涨期权和欧式看跌期权的差价等于基础资产的价格与期权的执行价格的现值之差。其公式的表现形式为。该命题证明如下：a)

假设，则有当前到期日

买入看涨期权－C0卖出看跌期权+P0出售股票+S借出资金+K+K现金流合计>000由上表我们可知这样的一个投资组合可以获得无风险的投资收益，也就是存在套利机会，而均衡情况下是不存在套利机会的，由此我们可知是不成立的。2．假设，则有当前到期日

卖出看涨期权＋C0买入看跌期权－P0买入股票－S借入资金－K－K现金流合计>000从表格中我们可以知道，表格中投资组合同样没有达到均衡，因此也不成立。由此，我们得到。买卖平权定理有很多含义，最为明显的就是它可以通过变形来显示如何用一个看涨期权来制造一个看跌期权：。在1976年第一个看跌期权被交易之前，看跌期权就是用该种方法来创造的。买卖平权理论同样也提供了一个间接从期权市场借贷的方法。我们只需将买卖平权等式做一调整，即可以得到。这意味着我们只需要卖出一个看跌期权、买入一个看涨期权并卖空一个单位的基础资产，就实现了借款的目的。简单的，我们也可以通过买入一个看跌期权、卖出一个看涨期权并借入执行价格现值的资金，构造出卖空。这对于那些不能利用卖空的收入来获取得利息收入得投资者尤为有用。同样，我们也可以利用买卖平权公式来确定无风险利率。买卖平权定理最有价值的应用在于它为期权定价指明了方向。我们从利率平价定理可知，于是我们可以知道至少有四个要素影响着期权的价格，它们分别是股票的价格（S）、执行价格（K）、到期的时间（T）和无风险利率（r）。虽然可能还有其它的因素影响着期权的价值，但是从买卖平权定理中我们找到了部分决定期权价值的因素，这为后来的期权定价的研究起了重要的指导作用。

4、无套利原理与期权定价理论

行使或不行使的权利给予了期权与它所基于的基础资产的不同收益特征，这一事实也使得期权的定价变得非常困难。考虑A股票的执行价格为50元的看涨期权，行使日期为1年。如果你拥有该期权，一年后你的收益状况如何呢？很明显，如果A股票的价格一年后低于50元，你当然不会选择行使期权因为那样你将为价值低于50元的股票支付50元，因此在这种情形下你的收益将为0。如果一年后股票的价格高于50元，你将会行使期权，你的收益将是股票价格和50元之间的差额。计算期权的收益结构看起来并不难。但是如何来计算期权的价值或价格呢？一个标准的方法是首先明确资产在未来预期产生的收益，然后合理将这些收益进行折现，最后在对这些现值求和。这些现值之后就是该资产的价值，并且资产的价格应该等于该资产的价值。对金融资产的未来收益进行折现主要是基于两个原因：一个是未来的一元钱的价值低于当前的一元钱的价值，因此要将未来的货币折现，从而可以与当前的货币进行比较；另一个原因在于如果一种资产的收益现金流的风险高于另一种资产的话，在其它的条件相同的情况下，前者的价值将高于后者，因此风险较高的收益现金流折现的幅度也要高于风险较低的收益现金流。表面上看起来好像可以很直接的计算出期权的价值，因为我们知道期权收益的时间和数值，我们只需折现这些预期的未来收益就可以计算期权的价值。但是问题在于我们使用什么数值来作为折现因子呢？折现因子应当反映资产的潜在风险。既然期权的价值取决于A公司股票价格的变化，似乎应当使用A公司的折现因子来折现期权的未来预期收益。问题是当股票的价格高于50元的时候，期权收益的变动状况确实与股票价格的变动同步，但当股票的价格低于50元时，期权的收益与股票价格的变动完全不相关。这就说明期权的风险特征与其基础资产有着很大的区别。于是这里就出现了阻碍了几代学者解决期权定价问题的障碍：没有合适的折现因子。当两位经济学家发现套利是解决期权定价的秘密时，期权定价的研究才有了巨大的进展。1973年，经济学家费雪·布莱克和麦容·舒尔茨表明套利概念可以用来为期权定价。他们发现期权的收益结构可以用市场交易的资产的组合进行复制。如果组合的现金收益与期权的现金收益完全相同，那么期权的价格就一定等于那个组合的价格，否则将有套利机会存在。下面的例子可以解释他们的方法。假设A股票今天的价格为40元。一段时间之后，A股票的价格可能会升至60元，也可能降至20元。有一个A股票的欧式期权，执行价格为50元，到期日为一段时间之后。借贷的年利率为25％。上面就是我们为期权定价所需要的全部信息。注意期权的收益可能为10元（股票价格上升），也可能为0（股票价格下降）。布莱克和舒尔茨建立了一个现有资产的组合来复制期权的收益状况。在该例中，该投资组合应当包含0.25份A股票和4元钱借入款。但前该投资组合的价值为6元－股票的价值为10元（0.25×40），而借款4元是要偿还的。该组合在一段时间之后的收益状况与期权相同：如果股票的价格上升，你所持有的A股票的价值将变成15元，你需要偿还借款和利息共计5元，这样组合在一段时间之后的价值为10元；如果股票价格下降，你所持有的A股票的价值将变成5元，你需要偿还借款和利息共计5元，这样组合在一段时间之后的价值为0。总之，组合在股票价格上升的时候，收益为10元；股票价格下降时，收益为0。既然组合的收益状况和期权相同，那么这就意味着期权的价格应当为6元，也就是投资组合今天的价值。套利原理证明如此。假设该期权目前的售价为7元。就像前面提到的苹果的例子，投资者可以通过卖出贵的商品（期权）、买入便宜的商品（投资组合），来得到一个无穷大的收益率。如果你卖出期权，你会得到7元，但是如果股票价格升高，你将要在一段时间之后支付10元。在卖出期权之后，你可以以6元买入一个上面所讲的投资组合。如果股票价格上升，一段时间之后你的收益将为10元，它将抵消掉你出售期权所承担的付款义务。这样，你可以在不动用自己财富的情况下，获得确定的1元钱的收益。而且只要获利机会存在，你将不断的交易，最终供给和需求的力量将会使组合的价值和期权的价格相等。到目前为止，一切都看起来很简单，这是因为前面的例子比较简单。在现实中，投资者购买的期权，其到期日在未来的很长时间并且股票的价格有机会涨涨跌跌反复多次。因此相关的问题是当基础资产的价格在到期日前不断变动的时候，如何为期权定价。布莱克和舒尔茨意识到套利－上述组合复制证明方法需要多次重复使用。为方便说明，我们继续讨论前面那个简单的例子。假设A股票的期权，其执行价格为50元，到期日为三个时段之后。当前，也就是0时点，A股票的价格为40元，在每个时点股票的价格都会上升或下降20元。但是如果股票的价格已经为0，那么它将永远为0。图1是股票的价格树，它描述了A股票在未来三个时段内股票价格的可能集。我们将使用它来计算期权在今天，也就是0时点的价格。

a

40

50

610

b

000

时点0123图2期权的价格树

60

8010040

4060

20

0200时点0123图1股票的价格树

假设在时点2，股票的价格是40元。在这种情况下，期权在时点3的收益为10元或0。从前面的例子我们可知，该期权的价格为6元，并且包含0.25份A股票和4元借入款的组合可以复制期权的收益状况。相似的，如果股票价格在时点2为80元，那么期权在时点3的收益将为50或10，这取决于股票价格上涨还是下降。含有40元借入款和1份A股票的组合可以复制期权的收益状况。这样投资组合和期权的价格均为40元。如果在时点2，股票的价格为0，那么期权在时点3的收益也将为0，并且一个成本为0的空组合就可以复制期权的收益状况。这样我们已经计算出了在时点2期权价格的各种可能。通过使用相同的推理方法，我们可以计算出期权在时点1和时点0的价格。图2是期权的价格树，它描述了各种股票价格下期权的价格。在时点1，如果股票价格为60元，那么期权的持有者在时点2将拥有价值40元或者6元的资产。含有22.40元借入款和0.85份A股票的组合可以复制期权时点2的收益。该组合的价值为28.60元，于是当股票价格为60元时期权在时点1的价格也等于28.60元。相似的，如果股票在时点1的价格为20元，含有0.15份A股票的组合可以复制期权的收益状况，从而我们可知该期权的价值为3元。布莱克和舒尔茨使用重复的（或者说是动态的）组合复制，同时运用套利证明，计算出了期权的价格。在每一时点，投资组合的价格都刚好等于为了复制下一时点的收益状况所购买的新的投资组合的价格。在我们的例子当中，如果期权的价格不等于17.76元，例如说20元，投资者就可以得到一个无穷大的收益率：卖出期权，然后买入0时点的投资组合。动态复制的投资组合的收益抵掉消期权空头的偿付义务后，投资者可以获利2.24元，并且获取更多收益的愿望和行为将导致需求和供给产生作用使得复制的投资组合和期权的价值相同。布莱克和舒尔茨运用套利思想，最终总结出了期权定价公式：不支付股利的欧式或美式看涨期权的价值为。期权定价理论的提出，是现代财务理论发展史上继MM理论之后的又一个里程碑。它解决了长期以来投资者对期权的价值难以计算的难题，也为许多具有期权性质的其它金融工具（如可转换债券、抵押贷款等）价值的衡量提供了参考。在现代财务理论中，期权定价理论还可以应用到企业的投资和融资的决策中。此外，期权定价理论的提出早于期权市场的建立，这是经济学产生以来唯一一次理论领先于实践。

四、总结无套利原理是现代金融理论的精髓。无套利原理作为现代公司理财学研究的基本方法，促成了财务理论的突破。“无套利”研究方法的出现，标志着现代公司理财学从传统经济学的研究中独立出来，而且成为取得后续一系列金融研究成果的基本分析手段。现代公司理财学的主要的基本理论都与无套利原理有着