注重解题规范 提升解题能力

PAGEPAGE9（卷19）．在△ABC中，若AB＝1，，则eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(BC,\s\up6(→))|)))＝______．若将两边平方，则误入了岐途，可能走不出来。本题应抓住的几何特征，得出四边形ABDC是矩形，这样解的思路就明朗了。解析如图eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，依题意，得|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以四边形ABDC是矩形，∠BAC＝90°．因为AB＝1，AC＝eq\r(3)，所以BC＝2．cos∠ABC＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(1,2)，eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(BC,\s\up6(→))|)))＝eq\f(|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|cos∠ABC,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|cos∠ABC＝eq\f(1,2)．（卷110）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a＝8，b＝10，△ABC的面积为20eq\r(3)，则△ABC的最大角的正切值是________．解析由题意可以求出sinC，得到∠C有两解，借助余弦定理分别求出三角形中最大角的正切值．由S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，代入数据解得sinC＝eq\f(\r(3),2)，又∠C为三角形的内角，所以C＝60°或120°．①若C＝60°，则在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝84，此时，最大边是b，故最大角为∠B，其余弦值cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(3,2\r(21))，正弦值sinB＝eq\f(5\r(3),2\r(21))，正切值tanB＝eq\f(5\r(3),3)；②若C＝120°，此时，C为最大角，其正切值为tan120°＝－eq\r(3)．可能存在的问题：当求得C＝60°或120°后，有的考生以为最大角仅有C＝120°，于是只填上－eq\r(3).考虑问题过于简单，思维层次太浅。（卷212）设平面点集A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,x)))))≥0))，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为________．分析：本题从表面上看，归结为计算图形的面积，但真要走这条路，似乎走不通，只能从图形的特征进行分析，利用对称性，及曲线y＝eq\f(1,x)与直线y＝x的交点恰好是圆心这一条件即可求得。解析由题意知A∩B所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y＝eq\f(1,x)与直线y＝x，将圆(x－1)2＋(y－1)2＝1分成S1，S2，S3，S4四部分．∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与y＝eq\f(1,x)的图象都关于直线y＝x对称，从而S1＝S2，S3＝S4，而S1＋S2＋S3＋S4＝π，∴S阴影＝S2＋S4＝eq\f(π,2)．（3）第三层次填空题的应对策略这一层次的考题在难度上要明显高于前的几个题目，主要是起到提高区分度的作用。值得一提的是，去年的填空题表面上看上去比较简单，但实际考下来，均分和2012年相差无几，在一个理想范围内，从这一信息可以看出，今年填空题的难度不会象想象中的那样，会很难的填空题，综观前几年的高考卷，最后两个填空题一般有种两种类型：一是学生易上手去解，但该小题往往是由大题改造而来，综合性强，解题层次多，有半数左右的考生解不到底而失分。另一类是在问题的设计和解答方面有所创新，但不会太偏和怪，解答时需要一定创新思维和较强的解题能力。（卷2—13）设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为．若存在，使得，则实数的取值范围是．解析，，由得到在处的导数乘积为1，即，那么.求导得，可知当时，，，得到[].（卷1—14）已知A，B，C是平面上任意三点，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则y＝eq\f(c,a＋b)＋eq\f(b,c)的最小值是________．解析相对固定b,c，即把b,c视为常数，代数式y＝eq\f(c,a＋b)＋eq\f(b,c)随着正数a的变大而变小，要使y最小，只要a最大，因为A，B，C是平面上任意三点，且BC＝a，CA＝b，AB＝c，故a的最大值是b＋c，所以y＝eq\f(c,a＋b)＋eq\f(b,c)≥eq\f(c,2b＋c)＋eq\f(b,c)＝eq\f(1,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)＋\f(1,2))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)＋\f(1,2)))－eq\f(1,2)≥eq\r(2)－eq\f(1,2)，即最小值是eq\r(2)－eq\f(1,2)．2、解答题的应试策略与答题规范这几年来，解答题的布局相对稳定，难度方面把握得不是太好，有些波动。但总的来说，在知识点考查、设问方式等方面还是有一定的规律可循，给高考复习指明了方向。近几年高考卷上的解答题，层次非常分明。估计今年也不会出现太大的变化。为此，建议在最后阶段的复习中，要有针对性，要重视回归课本，在提高学生的熟练程度和正确率方面下功夫，同时也要注重答题规范的指导，不要出现“会而不对，对而不全”的局面。解答题的前两题，复习策略是“稳”，即确保稳得高分。前两题的特点重基础，考查学生的最基本的运算的推理能力。这两题的均分每年在11分到12分之间，送分比较到位，有利于稳定考生的心态和情绪。因而后阶段的复习，不宜加大难度。不出意外，第一题仍了以考查三角函数、三角变换（包括解三角形）和平面向量的运算为主，难度不会太大。整个解题过程是由运用若干公式和重要性质组成的解题链，抓住解题的关键结点，便可以得满分。评分的依据是公式的运用是否正确，每个公式或重要结论的运用必须在解答过程中完整呈现出来，但也在做到简洁明了。CBDA（卷215）如图，在△中，，为中点，．记锐角．且满足．CBDA（1）求；（2）求边上高的值．分析：由已知得，故第（1）题实际上求的值，为求的值，须从中求出的值。因而，本题的解题链便是：。第（2）题中，易得，由此可知，只须在中运用正弦定理求出，于是易得第（2）题和解题链如下：。高考卷上的立体几何题，近几年的命题是最为稳定的，估计这种风格今年还将继续保持，若有变化，可能在设问方式方面，如将“两证”改为“一证一算”。近两年的立几证明题是阅卷过程中尺度最难把握、评判要求较为严谨的一个题。因而，在指导学生规范书写显得十分重要。对于数学证明题的评判，在定标准时，十分讲究“证据链”的完整，若遇到整体试卷较为容易时，不允许出现中间“掉链”，后面仍给分的情况。若遇到计算题，必的证明过程也不能少，而且占的比重也不少，也要引起足够的重视。中间两道解答题的复习策略是“争”，即力争多得分从以往几年的高考阅卷来看，中间两题是区分度最高的两题，这两题一般是由应用题和解几题组成，不同于前两题的是，它不仅考查学生的“双基”，而且还重点考查学生的阅读理解能力、实际应用能力、数学运算能力等，这些能力是将来进入高校所必须具备的基本能力，从这一点上说，这样布局是有一定道理的。先说说应用题，考虑到知识点的覆盖面，一般不会考查“纯数列”和“纯解几”型的应用题，主要还是下列三种类型为主：函数与方程型、函数与不等式型、三角函数与解三角形型，值得一提的是，高考卷上的应用题不会单考一种类型，往是是几种类型综合起来考。所以在考前的复习中，要多关注这几种类型的应用题的求解要点。（卷117）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（1）若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝eq\f(x,150)＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用模型函数y＝eq\f(10x－3a,x＋2)作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．分析：本题是函数与不等式型应用题。要明确两个小题分别要求解决什么问题？如何运用数学知识加以说明或证明。解析：设奖励函数模型为y＝f(x)，按公司对函数模型的基本要求，函数y＝f(x)满足：当x∈[10,1000]时，①f(x)在定义域[10,1000]上是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤eq\f(x,5)恒成立．(1)对于函数模型f(x)＝eq\f(x,150)＋2，当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，故f(x)满足要求①；由于x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，故f(x)max＝f(1000)＝eq\f(1000,150)＋2＝eq\f(20,3)＋2＜9，所以f(x)≤9恒成立，故f(x)满足要求②；但x＝10时，f(10)＝eq\f(1,15)＋2＞eq\f(10,5)，即f(x)≤eq\f(x,5)不恒成立，故该函数模型不符合公司要求．(2)对于函数模型f(x)＝eq\f(10x－3a,x＋2)，即f(x)＝10－eq\f(3a＋20,x＋2)，当3a＋20＞0，即a＞－eq\f(20,3)时递增；要使f(x)≤9对x∈[10,1000]恒成立，即f(1000)≤9,3a＋18≥1000，a≥eq\f(982,3)；要使f(x)≤eq\f(x,5)对x∈[10,1000]恒成立，即eq\f(10x－3a,x＋2)≤eq\f(x,5)，x2－48x＋15a≥0恒成立，所以a≥eq\f(192,5)．综上所述，a≥eq\f(982,3)，所以满足条件的最小的正整数a的值为328．关于应用题解答的解题规范的几点说明：由于应用题比较特别，因而首先要体现学生的建模能力，因而分值的分布主要有建模、解模、结论三部分组成。具体分值的多少视题目而定。若是函数与方程或函数与不等式模型，要求正确选对变量，要使模型完整（如定义域）。从阅卷情况来看，应用题失分的原因主要在于解模以及最后的结论处理。解几题，不管是考直线与圆，还是椭圆，其目的是考查解几的本质，即用代数方法研究有关图形的几何特征，因而在复习中，一是要重视抓“图形中已知和要解决的的几何特证”，二是要“合理的运用代数运算去解决相关的几何问题”。去年考查了直线与圆，大家普遍认为今年会考椭圆，本人认为，这个不是根本，因为即使考查椭圆，最后解决问题的重点知识还是直线与圆，因而在复习中，切不可轻视直线与圆中的知识与方法的复习。重点复习代数式的变换能力的提高，有些问题可以总结一些常见题型的解题套路。解几题的解答依靠代数式的变形达到目的，评分标准就取决于在解题过程中起重要作用的几个方程（等式）或点的坐标等。必须要交代这些方程（等式）或点坐标的源，可以省去繁锁的运算过程。哪些没有技术含量的变形与结果是不会给分的。（卷1—18）椭圆C:的左、右焦点分别是，离心率为eq\f(\r(3),2)，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴、短轴端点外的任一点，过点P作直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设l与y轴的交点为A，过点P作与l垂直的直线m，设m与y轴的交点为B，求证：△PAB的外接圆经过定点．解(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程，得y＝±．由题意知2＝1，即a＝2b2，又e＝＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝2，b＝1．所以椭圆C的方程为．(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．联立整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(yeq\o\al(2,0)－2kx0y0＋k2xeq\o\al(2,0)－1)＝0．由题意Δ＝0，即(4－xeq\o\al(2,0))k2＋2x0y0k＋1－yeq\o\al(2,0)＝0．又，所以16yeq\o\al(2,0)k2＋8x0y0k＋xeq\o\al(2,0)＝0，故k＝－．所以直线l方程为，令x=0，解得点A,又直线m方程为,令x=0，解得点B,△PAB的外接圆方程为以AB为直径的圆方程，即．整理得：，分别令解得圆过定点．最后两个解答题（压轴题）的应对策略是“抢”，即尽可能多抢分去年最后两题不够理想，主要体现在区分度不够，估计今年的试卷在这方面会有所调整,真正起到提高区分度的作用.回顾11年和12年的数列题，虽然较难，但不失为好题，因为它考查是数列最本质的内容，即等差与等比数列的判断和通项公式的应用。从思想方法来看，主要考查了数列中常用的归纳推理及化归思想。能力要求较高，遇到障碍走不下去，考生人心服口服。对于数列题上的“抢”，可以从两个方面下手，一是可以安排一定的时间抢得第（1）题的分数，二是运用从特殊到一般的归纳思想方法，从探索规律入手，由条件出发去不断推出有用的结论或者将问题化归为特殊数列问题再加以解决，同时在解数列题的时候，要注意灵活应用特殊数列的表示方式和有关性质，简化运算。（卷1—20）已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和．（1）若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有成立，求数列{an}的通项公式；（2）对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合．(ⅰ)求a1，a2的值；(ⅱ)求数列{an}的通项公式．解析(1)设无穷等差数列{an}的公差为d，因为对任意正整数n都成立，所以分别取n＝1，n＝2时，则有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝a\o\al(3,1)，,8a1＋28d＝2a1＋d3.))（特殊化思想）因为数列{an}的各项均为正整数，所以d≥0．可得a1＝1，d＝0或d＝2．当a1＝1，d＝0时，an＝1，成立；当a1＝1，d＝2时，Sn＝n2，所以．因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an＝1或an＝2n－1．(2)(ⅰ)记An＝{1,2，…，Sn}，显然a1＝S1＝1．对于S2＝a1＋a2＝1＋a2，有A2＝{1,2，…，Sn}＝{1，a2，1＋a2，|1－a2|}＝{1,2,3,4}，故1＋a2＝4，所以a2＝3．(ⅱ)由题意可知，集合{a1，a2，…，an}按上述规则，共产生Sn个正整数．（明确Sn的意义很重要）而集合{a1，a2，…，an，an＋1}按上述规则产生的Sn＋1个正整数中，除1,2，…，Sn这Sn个正整数外，还有an＋1，an＋1＋i，|an＋1－i|(i＝1,2，…，Sn)，共2Sn＋1个数．所以，Sn＋1＝Sn＋(2Sn＋1)＝3Sn＋1．（转化思想！！！）又Sn＋1＋eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,2)))，所以Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S1＋\f(1,2)))·3n－1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)·3n－eq\f(1,2)．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,2)·3n－eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·3n－1－\f(1,2)))＝3n－1，而a1＝1也满足an＝3n－1．所以，数列{an}的通项公式是an＝3n－1．最后两题中的一题一般是函数与导数、不等式有关的综合题，这一题的“抢”上一题相仿，从前几年的合题来看，命题者一般会从多参数函数入手，编制出一个全新（引入新概念、定义新函数等）的试题，重点考查学生的分类讨论和数形结合的思想方法运用的能力。对于今年会编出什么样具有新意的函数，这个无法预测，但最终要解决的问题一般是平时经常遇到，所以当下的复习只能以不变应万变，回顾一下函数中一些常见问题（函数的单调性、最值、零点问题等）的解题通法，这是解决有新意的函数问题的前提。在阅卷评分方面，特别容易失分的是：有些结论不经过证明或推算便直接写出；有些结论的得到模棱两可，