第06课时-一元二次方程及其应用课件

第6课时一元二次方程及其应用第二单元方程(组)与不等式(组)第6课时第二单元方程(组)与不等式(组)1考点一一元二次方程及其解法考点聚焦1.一般形式图6-1考点一一元二次方程及其解法考点聚焦1.一般形式图6-122.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①

(其中ac<0);

(2)a(x+n)2=b⇒x=②

(其中ab>0)

开方后取正负两个值配方法

配方过程中,注意加上一个数的同时要减去这个数2.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)3(续表)方法解题流程注意事项公式法

当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③

前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法

ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值

当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解(续表)方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由4考点二一元二次方程的根与系数的关系两个不相等1.判别式与根的关系(1)b2-4ac>0⇔方程有④

的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤

的实数根;

(3)b2-4ac<0⇔方程⑥

实数根.

2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦

,x1x2=⑧

.

两个相等没有考点二一元二次方程的根与系数的关系两个不相等1.判别式与根5考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(16(续表)应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨

S阴影=⑩

S阴影=

⑪

(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)(续表)应用类型等量关系面积问题S阴影=⑨7题组一教材题对点演练525636题组一教材题对点演练52563682.[九上P21习题21.3第1(1)(3)(4)题改编](1)方程x2+10x+21=0的解是

;

(2)方程3x2+6x-4=0的解是

;

(3)方程3x(x+1)=3x+3的解是

.

x1=-3,x2=-7x1=-1,x2=12.[九上P21习题21.3第1(1)(3)(4)题改编]93.[九上P22习题21.3第6题改编]参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛90场,共有

个队参加比赛.

[答案]10

[解析]设参加比赛的球队共有x个.由题意得x(x-1)=90,(x-10)(x+9)=0,解得x1=10,x2=-9(不合题意,舍去).所以参加比赛的球队共有10个.3.[九上P22习题21.3第6题改编]参加足球联赛的每两104.[九上P26复习题21第10题改编]向阳村2010年的人均收入为12000元,2012年的人均收入为14520元,则人均收入的年平均增长率是

.

[答案]10%

[解析]设年平均增长率为x,由题意得12000(1+x)2=14520,解得x1=-2.1(不合题意,舍去),x2=0.1=10%.所以年平均增长率为10%.4.[九上P26复习题21第10题改编]向阳村2010年的115.[九上P25复习题21第4题改编]写出下列方程两个根的和与积:(1)x2-5x-10=0,x1+x2=

,x1x2=

;

(2)2x2+7x+1=0,x1+x2=

,x1x2=

;

(3)3x2-1=2x+5,x1+x2=

,x1x2=

;

(4)x(x-1)=3x+7,x1+x2=

,x1x2=

.

-25-104-75.[九上P25复习题21第4题改编]写出下列方程两个根的12题组二易错题【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,导致漏解;在运用根的判别式或者根与系数的关系时,忽视二次项系数不能等于0这一条件.x=1或x=26.一元二次方程x(x-1)=2(x-1)2的根是

.

题组二易错题【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以137.[2019·枣庄]已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是

.

7.[2019·枣庄]已知关于x的方程ax2+2x-3=014考向一一元二次方程的有关概念[答案]1考向一一元二次方程的有关概念[答案]115|考向精练|1.[2019·济宁]已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根,则方程的另一个根是

.

[答案]-2

[解析]方法1:把x=1代入x2+bx-2=0,得1+b-2=0,解得b=1,∴方程是x2+x-2=0,解得x1=1,x2=-2.方法2:设方程的另一个根为t,由根与系数的关系知1·t=-2,∴t=-2.|考向精练|1.[2019·济宁]已知x=1是方程x2162.[原创]关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一个根为0,求出a的值和方程的另一个根.2.[原创]关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-17考向二一元二次方程的解法例2用指定方法解方程x2-12x+27=0.(1)公式法:

(2)配方法:

(3)因式分解法:考向二一元二次方程的解法例2用指定方法解方程x2-1218第06课时-一元二次方程及其应用课件19|考向精练|解:(1)∵(x-1)2=4,∴x-1=2或x-1=-2,∴x1=3,x2=-1.解下列方程:(1)[2019·安徽](x-1)2=4;(2)[2019·齐齐哈尔]x2+6x=-7;(3)[2019·常德]x2-3x-2=0.|考向精练|解:(1)∵(x-1)2=4,∴x-1=2或20考向三一元二次方程根的判别式例3

[原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根,并求出根;(3)方程没有实数根.考向三一元二次方程根的判别式例3[原创]已知关于x的一21例3

[原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(2)方程有两个相等的实数根,并求出根;例3[原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(222例3

[原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(3)方程没有实数根.例3[原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(223【方法点析】对于一元二次方程:(1)时刻牢记隐含条件:二次项系数不为0.(2)在计算前应先将方程化为一般式,再利用“b2-4ac”

判断根的情况.【方法点析】对于一元二次方程:24|考向精练|1.[2018·成都]若关于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,求a的取值范围.|考向精练|1.[2018·成都]若关于x的一元二次方252.[2019·北京]关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.2.[2019·北京]关于x的方程x2-2x26考向四一元二次方程根与系数的关系(选讲)考向四一元二次方程根与系数的关系(选讲)27【方法点析】(1)用根与系数的关系求字母的值时,要代入Δ检验.(2)一元二次方程根与系数的关系常用于求有关根的代数式的值,体现了整体思想.【方法点析】(1)用根与系数的关系求字母的值时,要代入Δ检验28|考向精练|[答案]0

[解析]∵x1,x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根,∴x1+x2=1,x1x2=-1,∴x1+x2+x1x2=1+(-1)=0.1.[2019·江西]设x1,x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根,则x1+x2+x1x2=

.

|考向精练|[答案]01.[2019·江西]设x1,29第06课时-一元二次方程及其应用课件30考向五一元二次方程的实际应用解:(1)设增长率为x,根据题意,得:2(1+x)2=2.42,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:增长率为10%.例5

[2019·长沙]近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?考向五一元二次方程的实际应用解:(1)设增长率为x,例531例5

[2019·长沙]近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?(2)2.42×(1+0.1)=2.662(万人次).答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.例5[2019·长沙]近日,长沙市教育局出台《长沙市中32【方法点析】变化率问题牢记公式a(1+x)n=b,其中a表示增长(或降低)前的数据,x表示增长率(或降低率),n表示增长(或降低)的次数,b表示增长(或降低)后的数据.【方法点析】变化率问题牢记公式a(1+x)n=b,其中a表示33|考向精练|1.

[2019·东营]为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,则每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?|考向精练|1.[2019·东营]为加快新旧动能转换,34解:设降价后的销售单价为x元,根据题意得:(x-100)[300+5(200-x)]=32000.整理得:(x-100)(1300-5x)=32000,即x2-360x+32400=0,解得x1=x2=180,x=180<200,符合题意.答:这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元.解:设降价后的销售单价为x元,352.[2019·南京]某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图6-1,原广场长50m,宽40m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用为每平方米100元.如果计划总费用为642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?解:设扩充后广场的长为3xm,宽为2xm,依题意得:3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642000,解得x1=30,x2=-30(舍去).所以3x=90,2x=60.答:扩充后广场的长为90m,宽为60m.图6-12.[2019·南京]某地计划对矩形广场进行扩建改造.如36第6课时一元二次方程及其应用第二单元方程(组)与不等式(组)第6课时第二单元方程(组)与不等式(组)37考点一一元二次方程及其解法考点聚焦1.一般形式图6-1考点一一元二次方程及其解法考点聚焦1.一般形式图6-1382.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①

(其中ac<0);

(2)a(x+n)2=b⇒x=②

(其中ab>0)

开方后取正负两个值配方法

配方过程中,注意加上一个数的同时要减去这个数2.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)39(续表)方法解题流程注意事项公式法

当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③

前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法

ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值

当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解(续表)方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由40考点二一元二次方程的根与系数的关系两个不相等1.判别式与根的关系(1)b2-4ac>0⇔方程有④

的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤

的实数根;

(3)b2-4ac<0⇔方程⑥

实数根.

2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦

,x1x2=⑧

.

两个相等没有考点二一元二次方程的根与系数的关系两个不相等1.判别式与根41考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(142(续表)应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨

S阴影=⑩

S阴影=

⑪

(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)(续表)应用类型等量关系面积问题S阴影=⑨43题组一教材题对点演练525636题组一教材题对点演练525636442.[九上P21习题21.3第1(1)(3)(4)题改编](1)方程x2+10x+21=0的解是

;

(2)方程3x2+6x-4=0的解是

;

(3)方程3x(x+1)=3x+3的解是

.

x1=-3,x2=-7x1=-1,x2=12.[九上P21习题21.3第1(1)(3)(4)题改编]453.[九上P22习题21.3第6题改编]参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛90场,共有

个队参加比赛.

[答案]10

[解析]设参加比赛的球队共有x个.由题意得x(x-1)=90,(x-10)(x+9)=0,解得x1=10,x2=-9(不合题意,舍去).所以参加比赛的球队共有10个.3.[九上P22习题21.3第6题改编]参加足球联赛的每两464.[九上P26复习题21第10题改编]向阳村2010年的人均收入为12000元,2012年的人均收入为14520元,则人均收入的年平均增长率是

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[答案]10%

[解析]设年平均增长率为x,由题意得12000(1+x)2=14520,解得x1=-2.1(不合题意,舍去),x2=0.1=10%.所以年平均增长率为10%.4.[九上P26复习题21第10题改编]向阳村2010年的475.[九上P25复习题21第4题改编]写出下列方程两个根的和与积:(1)x2-5x-10=0,x1+x2=

,x1x2=

;

(2)2x2+7x+1=0,x1+x2=

,x1x2=

;

(3)3x2-1=2x+5,x1+x2=

,x1x2=

;

(4)x(x-1)=3x+7,x1+x2=

,x1x2=

.

-25-104-75.[九上P25复习题21第4题改编]写出下列方程两个根的48题组二易错题【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,导致漏解;在运用根的判别式或者根与系数的关系时,忽视二次项系数不能等于0这一条件.x=1或x=26.一元二次方程x(x-1)=2(x-1)2的根是

.

题组二易错题【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以497.[2019·枣庄]已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是

.

7.[2019·枣庄]已知关于x的方程ax2+2x-3=050考向一一元二次方程的有关概念[答案]1考向一一元二次方程的有关概念[答案]151|考向精练|1.[2019·济宁]已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根,则方程的另一个根是

.

[答案]-2

[解析]方法1:把x=1代入x2+bx-2=0,得1+b-2=0,解得b=1,∴方程是x2+x-2=0,解得x1=1,x2=-2.方法2:设方程的另一个根为t,由根与系数的关系知1·t=-2,∴t=-2.|考向精练|1.[2019·济宁]已知x=1是方程x2522.[原创]关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一个根为0,求出a的值和方程的另一个根.2.[原创]关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-53考向二一元二次方程的解法例2用指定方法解方程x2-12x+27=0.(1)公式法:

(2)配方法:

(3)因式分解法:考向二一元二次方程的解法例2用指定方法解方程x2-1254第06课时-一元二次方程及其应用课件55|考向精练|解:(1)∵(x-1)2=4,∴x-1=2或x-1=-2,∴x1=3,x2=-1.解下列方程:(1)[2019·安徽](x-1)2=4;(2)[2019·齐齐哈尔]x2+6x=-7;(3)[2019·常德]x2-3x-2=0.|考向精练|解:(1)∵(x-1)2=4,∴x-1=2或56考向三一元二次方程根的判别式例3

[原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根,并求出根;(3)方程没有实数根.考向三一元二次方程根的判别式例3[原创]已知关于x的一57例3

[原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(2)方程有两个相等的实数根,并求出根;例3[原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(258例3

[原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(3)方程没有实数根.例3[原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(259【方法点析】对于一元二次方程:(1)时刻牢记隐含条件:二次项系数不为0.(2)在计算前应先将方程化为一般式,再利用“b2-4ac”

判断根的情况.【方法点析】对于一元二次方程:60|考向精练|1.[2018·成都]若关于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,求a的取值范围.|考向精练|1.[2018·成都]若关于x的一元二次方612.[2019·北京]关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.2.[2019·北京]关于x的方程x2-2x62考向四一元二次方程根与系数的关系(选讲)考向四一元二次方程根与系数的关系(选讲)63【方法点析】(1)用根与系数的关系求字母的值时,要代入Δ检验.(2)一元二次方程根与系数的关系常用于求有关根的代数式的值,体现了整体思想.【方法点析】(1)用根与系数的关系求字母的值时,要代入Δ检验64|考向精练|[答案]0

[解析]∵x1,x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根,∴x1+x2=1,x1x2=-1,∴x1+x2+x1x2=1+(-1)=0.1.[2019·江西]设x1,x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根,则x1+x2+x1x2=

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|考向精练|[答案]01.[2019·江西]设x1,65第06课时-一元二次方程及其应用课件66考向五一元二次方程的实际应用解:(1)设增长率为x,根据题意,得:2(1+x)2=2.42,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:增长率为10%.例5

[2019·长沙]近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?考向五一元二次方程的实际应用解:(1)设增长率为x,例567例5

[201