静态误差理论及数据处理综合应用报告V10

静态误差理论及数据处理综合应用报告V1.0误差理论——静态误差理论及数据处理综合应用报告V1.0

静态误差理论及数据处理综合应用报告V1.0摘要：通过观察物理现象，定量测量，并对测量结果进行分析，从而实现对物理规律的认识和证实。在进行实验测量时，产生误差是不可避免的。因此，必须借助于误差理论，研究、估计和评判测量的数据和测量结果是否准确可靠，并应采取正确的数据处理方法，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。本课题主要分为，测量与误差、误差的合成与分配、测量的不确定度评定、数据处理方法几部分。在误差的合成与分配中，分析了多个测量量误差与总体误差之间的关系。在测量的不确定度评定中，进行了误差与不确定度之间的区别与联系的探讨，以便对误差与不确定度有更好的理解。在数据处理方法中，对经常使用的最小二乘法直线拟合进行了不确定度计算的深入探讨，分析了多元线性回归的数据处理方法。关键词：误差理论；不确定度；最小二乘；线性回归

目录引言 1第一章、测量与误差 11.1测量与误差的基本概念 21.2随机误差 21.2.1随机误差来源及对测量结果的影响 21.2.2等精度测量 31.2.3不等精度测量 41.3系统误差 51.3.1系统误差来源及对测量结果的影响 51.3.2系统误差的发现 51.4粗大误差 61.4.1粗大误差的产生原因 61.4.2粗大误差的判别方法 7第二章、误差的合成与分配 92.1函数误差 92.2随机误差的合成 102.3系统误差的合成 102.4系统误差与随机误差的合成 112.5误差分配 11第三章、测量的不确定度评定 123.1测量不确定度 123.1.1不确定度的定义与分类 123.1.2测量不确定度与误差 133.1.3测量不确定度的来源 133.2标准不确定度的评定 133.3测量不确定度的合成 14第四章、实验数据处理方法 144.1最小二乘法处理数据 154.2回归分析 164.2.1直线拟合最小二乘法 164.2.2一元线性回归 184.2.3多元线性回归 19第五章、结论 19引言在自然科学中，人们通过实验得到对事物的认识，实验离不开测量。测量是人类认识自然和改造自然的重要手段，但是我们对物理量进行实验和测量时，由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及受人们认识能力所限等，总存在测量误差，测量结果与真实值之间总是有一差异。测量误差大小的评估或不确定度的评估，正是误差理论与数据处理的主要内容。确定测量不确定度是整个测量过程中不可缺少的必要环节。随着科学技术的发展，对测量的精度要求越来越高。可以说，在一定程度上，测量技术的水平反映了科学技术水平，而测量精度就是测量技术的主要标志之一。但是，无论采取何种措施，测量误差总是不可避免，精度的提高总是受到限制。很多时候，我们需要设法减小测量误差，提高测量精度。这就需要对误差产生原因，误差的分类，误差的特性进行全面，系统的研究与分析，从而找到减弱或消除测量误差对测量结果的影响的方法。20世纪80年代以来，不确定度的表示体系经历了建立、完善和不断推广的过程。关于实验不确定度的表示的建议《RecollunendationINC-1（1980）》发表后，冲击了以往的误差理论表示体系。1992年《测量不确定度表示法指南》的发表，使不确定度表示体系进入了一个日臻完善、全面推广的新阶段，使得测量结果得到了进一步的提高。在数据处理过程中，只有保证建立的数学模型和数据处理方法正确，才能保证数据处理结果的精度及可靠性。本文对误差的来源、误差分类、误差合成、不确定度、数据处理做了详细的阐述，这样有利于得到更精确的测量结果表示。第一章、测量与误差随着科学技术的日益发展和人们认识水平的不断提高，虽然可将误差控制得愈来愈小，但终究不能完全消除误差。误差存在的必然性和普遍性，已为大量实验所证明。为了充分认识并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中始终存在着的误差进行研究。1.1测量与误差的基本概念测量是为了确定被测量值而进行的实验过程。借助设备，把被测对象直接或间接的与同类比较，取得的数值和单位共同表示测量结果。按实验数据处理的方式，测量可分为直接测量、间接测量和组合测量。直接测量:可以用测量仪表直接读出测量值的测量。间接测量:有些物理量无法直接测得，需要依据待测物理量与若干直接测量量的函数关系求出。组合测量:如有若干个待求量，把这些待求量用不同方法组合起来进行测量，并把测量结果与待求量之间的函数关系列成方程组，用最小二乘法求出这个待求量的数值，即为组合测量。计量是一种特殊的测量，它把被测量与国家计量部作为基准或标准的同类单位量进行比较，以确定合格与否，并给出具有法律效力的检定证书。计量是利用技术与法制手段实现单位统一和量值准确可靠测量。其特点是统一、准确、法制、溯源性。计量是测量的基础与依据。误差是评定测量精度的尺度，误差越小表示精度越高。在测量中，误差就是测量值与真值之差。测量误差为测得值与真值之差。虽然真值是客观存在的，但实际应用时它一般无从得知。按照误差的性质，可分为随机误差，系统误差和粗大误差三类。随机误差:是同一测量条件下，重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。系统误差:是同一测量条件下，重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。粗大误差：指超出在规定条件下预期的误差。1.2随机误差1.2.1随机误差来源及对测量结果的影响当对同一测量量进行多次等精度重复测量时，得到一系列不同的测量值，每个测量值都含有误差，这些误差出现没有确定的规律。随机误差的来源主要有测量装置方面的因素、环境方面的因素、人员方面的因素。随机误差的大小及方向在测量中均不能确定，以致测量结果在某一范围内波动。评定随机误差大小的方法是计算测量结果的标准差。1.2.2等精度测量所谓等精度测量指对某一测量在同一环境下使用同一仪器而进行的多次测量。以全部测量的值得平均值作为最后测量结果。设为n次测量所得的值，则其算术平均值为：（1-1）算术平均值与被测量的真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增大，则算术平均值必然趋近于真值。每次测得值与平均之差称为残余误差，简称残差。其表达式为：（1-2）（1-3）测量的标准偏差简称为标准差，也称为方均根误差。对于测量列中单次测量的标准差公式如下。用绝对误差表示时：（1-4）其中，，n为测量次数。用残余误差表示时：（1-5）上述公式称为贝塞尔（Bessel）公式。对于测量列算术平均值的标准差为：（1-6）测量的极限误差是极端误差，测量结果的误差不超过该极端误差的概率为P，并使差值（1-P）可忽略。测量列单次测量的极限误差为：（1-7）（1-8）其中，t为置信系数，它由给定的置信概率和自由度来确定。1.2.3不等精度测量为了得到更精确的测量，在科学研究或高度测量中，往往在不同的实验条件下、用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称之为不等精度测量。在不等精度测量中每组测量对测量结果的贡献都是不一样的，各个测量结果的可靠程度不一样。基于此，引入权的概念，以衡量各组测量所占的比重。对于测量条件和测量者水平皆相同的重复测量，其权值可由测量的次数来决定，此时：（1-9）对于有m组的不等精度测量，其权值为：（1-10）因此，对于同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果，设相应的测量次数为，则其算术平均值为：（1-11）此时的算术平均值标准差为：（1-12）1.3系统误差通常，测量结果中除随机误差外，还包含一定的系统误差，有时甚至系统误差占据主要地位，因此应对系统误差给与足够的重视。目前，对于系统误差的研究，虽然己引起人们的重视，但是由于系统误差的特殊性，在处理方法上与随机误差完全不同，它涉及对测量仪器和测量对象的全面分析，并与测量人的经验、水平有密切的关系。因此，对系统误差的研究较为复杂和困难，研究系统误差的发现方法，设法减小和消除系统误差己成为重要的课题。1.3.1系统误差来源及对测量结果的影响系统误差是由固定不变的或按某种规律变化的因素造成的，这些误差因素可能是由于测量装置方面的原因:仪器设计上的缺欠，仪器零件制造和安装的不正确，仪器附件的制造偏差。测量环境的原因:测量过程中温度、湿度等按一定的规律变化。测量方法的原因:采用近似的测量方法或近似的计算公式引起的误差。测量人员的原因:由于测量人的个人特点导致的测量误差。系统误差具有确定的规律性，这与随机误差有根本区别。有些系统误差的规律是并未掌握。因而没有一个规则化的处理方法，这给处理系统误差带来困难。系统误差按其表现的规律特征，可分为恒定系统误差和变值系统误差。恒定系统误差:多次测量时，条件完全不变，或条件改变并不影响测量结果，因而各次测量的结果中该误差恒定不变。恒定系统误差以大小和符号固定的形式存在于每个测量值和算术平均值之中。它仅影响测量的算术平均值，并不影响其随机误差的分布规律及分布范围。变值系统误差:指在整个测量过程中，误差的大小和符号按某一确定规律变化的误差。它不仅影响测量的算术平均值，而且改变其随机误差的分布规律和分布范围。1.3.2系统误差的发现只有发现系统误差，才能减小或消除系统误差对测量结果带来的影响。发现系统误差的方法根据测量形式可以分为两类：组间和组内。1.实验对比法改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差，这种方法只适用于发现不变的系统误差。2.残余误差观察法残余误差观察法是根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无误差，这种方法主要适用于发现有规律变化的系统误差。3.残余误差校核法根据测量次数，将残余误差对半分为两部分，若前一部分与后一部分之差显著不为零，则认为测量列存在线性系统误差。4.不同公式计算标准差比较法对测量结果，用不同公式计算其标准差，然后通过比较可发现系统误差。用贝赛尔公式：（1-13）按别捷尔斯公式：（1-14）若：（1-15）则怀疑测量列中存在系统误差。5.计算数据比较法对同一量进行多组测量，得到很多数据，通过多组计算数据比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误差条件。1.4粗大误差1.4.1粗大误差的产生原因测量数据中包含随机误差和系统误差是正常的，只要测量误差在一定的范围内，测量结果就是正确的。但当测量者在测量时由于疏忽造成错误读取示值，错误纪录测量值，错误操作以及使用有缺欠的计量器具时，会出现粗大误差，此数据的误差分量明显偏大，即明显歪曲测量结果。任意测量数据都含有测量误差，并服从某一分布，它使测量结果具有一定的分散性。因此，任凭直观判断，难于区分含有粗大误差的异常数据和正常数据。1.4.2粗大误差的判别方法1.3准则（莱以特准则）若对某一物理量等精度重复测量n次，得测量值为。如果某测得值的残差大于3倍的标准差，即时，该数据为异常数据，应剔除。莱以特准则的合理性是显然的，对服从正态分布的随机误差，其残差落在以外的概率仅为0.27%当在有限次测量中发生的可能性很小，认为是不可能发生的。2.罗曼诺夫斯基准则当测量次数较少时，按t分布的实际误差分布范围来判别粗大误差较为合理。设对某量作多次等精度独立测量，得。若认为测量值为可怀疑数据，将其剔除后计算平均值为：（1-16）并求得测量列的标准差：（1-17）根据测量次数n和选取的显著度a，若：（1-18）认为含有粗大误差。3.格罗布斯准则若对某一物理量等精度重复测量n次，得测量值。为判别测得值中是否含有异常数据，将测得值由小到大排列成统计量。，若认为是可疑的，则有统计量：（1-19）若认为是可疑的，则有统计量：（1-20）当，认为测得值是异常数据，应剔除。当，认为测得值是异常数据，应剔除。为测量次数为n显著度为a。时的统计量临界值，可从附录中查取。4.狄克松准则若对某一物理量等精度重复测量n次，得测量值。为判别测得值中是否含有异常数据，将测得值由小到大排列成统计量。，若认为是可疑的，则有统计量：（1-21）（1-22）（1-23）（1-24）若，则认为为异常数据，应剔除。为测量次数为n显著度为a时的统计量临界值，可从附录中查取。若认为是可疑的，则有统计量：（1-25）（1-26）（1-27）（1-28）若，则认为为异常数据，应剔除。为测量次数为n显著度为a时的统计量临界值，可从附录中查取。第二章、误差的合成与分配任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差共同因素作用的结果。如何正确地分析和综合这些误差因素，并正确地表述这些误差的综合影响，就是误差的合成。2.1函数误差前面所讨论的误差都是直接测量量，而实际生活中，很多量是无法直接测量的，但可通过直接测量量与某种函数关系计算求出。在间接测量中，函数的主要形式为初等函数，且一般为多元函数，其表达式为：。式中，为各个直接测量值；y为间接测量值。对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示，则上式的函数增量为：（2-1）若已知各个直接测量值的系统误差，近似得到函数的系统误差为：（2-2）上式称为函数误差公式。函数随机误差的标准差为：（2-3）2.2随机误差的合成随机误差具有随机性，其取值不可预测，并用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。标准差的合成：（2-4）其中，为q个单项随机误差，其相应的误差传递系数为。极限误差的合成：（2-5）其中是相关系数，是第i个极限差的置信系数。2.3系统误差的合成系统误差的大小评定测量准确度的高低，系统误差大，准确度越低；反之，准确度越高。系统误差的合成分为两类：即已定系统误差的合成与未知系统误差的合成。已定系统误差的合成：若有r个单项已定系统误差，其误差值分别为，相应的误差传递系数为，则已定系统的总误差为：（2-6）未定系统误差的合成分为标准差合成与极限误差合成，标准差合成。若测量过程中有s个单项未定系统误差，其分别为，相应的误差传递系数为，则合成后的未定系统总误差为：（2-7）极限误差的合成：（2-8）其中是相关系数，是第i个极限差的置信系数。2.4系统误差与随机误差的合成测量过程中误差往往不是单独存在的，影响测量结果的误差是所有误差的综合，这就需要考虑系统误差与随机误差的综合。若测量过程中有r个单项已定系统误差，s个单项未定系统误差，q个单项随机误差，其测量误差值或极限误差分别为：，，。则测量结果的总误差为：（2-9）式中，R为各个协方差之和。2.5误差分配有时在进行测量之前，测量结果的总误差的允差已经知道，要求确定各个单项误差。在误差分配中应用的最多的是按误差的等作用原则进行测量总误差的分配。设系统的总误差为，此误差由n个测量量的误差引起。此时，按照误差的等作用原则有：（2-10）由此可得：（2-11）第三章、测量的不确定度评定测量数据或经数据处理给出的最终结果都不可能是客观真值，只是被测量的近似值（或估计量）。因此，只给出被测量的估计值是不够的，还必须对估计值做出精度估计。测量或结果的精度估计用“不确定度”这一参数表征。它表征被测量的真值所处的量值散布范围的评定，反映了由于误差存在而对被测量值不能确定的程度。测量不确定度涉及到测量误差的性质、分布及测量方法等。不确定度的表述是数据处理的基本要求。3.1测量不确定度1927年海森堡仔细分析了微观物理体系的实际行为，提出了指定和测量这类变量所能达到的准确度存在一个基本极限，称之为不确定度关系。经过修正的测量结果仍然有一定的误差，它们的具体数值是未知的，因此无法以其误差的具体数值评定测量结果的好坏、优劣。测量误差或大或小、或正或负，其取值有一定的分散性，在多次测量中，可看出测量结果将在一定范围内波动，即不确定性。为反映测量误差对结果的影响，引入不确定度。3.1.1不确定度的定义与分类测量的不确定度表示由于存在测量误差而使被测量不能确定的程度。它的大小表征测量结果的可信程度，与测量结果相联系。一个完整的测量结果应包含被测量的最佳值和测量不确定度两部分。不确定度可以是标准差或说明了置信概率的区间的半宽度，其值恒为正值。不确定度从评定方法上可以分为两类：A类不确定度和B类不确定度。A类不确定度用统计方法来评定，当测量误差服从正态分布时，还可以用标准差的倍数来表示不确定度，这种不确定度成为扩展不确定度，用符号表示。不能由统计方法评定的不确定度称为B类不确定度评定，A类以外的不确定度均属B类不确定度，B类不确定度基于经验或其他信息所认定的概率来评定。3.1.2测量不确定度与误差不确定度与误差均作为评定测量精度的参数，但其存在本质上的差别。误差是测量结果与真值之差，它以真值或约定真值为中心；而测量不确定度是以被测量的估计值为中心，因此误差是一个理想的概念，一般不能准确知道，难以定量；而测量不确定度是反映人们对测量认识不足的程度，是可以定量评定的。3.1.3测量不确定度的来源1.被测量的定义不完整及取样代表性不够引起的。被测量在不同条件下时值是不一样的，因此，在定义时，必须考虑具体的环境因素，否则会由于定义不完整引入不确定度。另外，测量中只能对部分样品进行测量，如果样品的均匀性不好，则选取的样品没有代表性，会引入不确定度。2.测量方法不理想。按照定义中的要求，在实际测量中某些条件达不到，只能采用近似或假定，这时就会引入不确定度。3.测量设备不完善，有局限性。测量使用中的仪器其灵敏度稳定度等方面有欠缺，测量过程中同样会引入不确定度。4.测量环境不理想，测量人员的技术不熟练等3.2标准不确定度的评定用标准差表征的不确定度，称为标准不确定度，用u表示，标准不确定度分为标准不确定度A类和标准不确定度B类评定。A类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度u等同于由系列观测值获得的标准差，即。B类评定不用统计方法，而是基于其他方法估计概率分布或分布假设来评定标准差并得到标准不确定度。B类评定借助于以前的测量数据、经验或资料；有关仪器和装置的一般知识、制造说明书和检定证书或其他报告所提供的数据；由手册提供的参考数据等。测量系列的标准差的可信赖程度与自由度有着密切的关系，自由度愈大，标准差愈可信赖。每个不确定度都对应着一个自由度，该自由度为计算表达式中总和所包含的项数减去各项之间存在的约束条件数。标准不确定度A类评定的自由度为，其中n为测量次数。标准不确定度B类评定的自由度为：（3-1）3.3测量不确定度的合成当测量结果受多种因素影响形成了若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度用各标准不确定度分量合成后所得的合成不确定度表示。如在间接测量中Y的估计值y是由N个其他量的测得值的函数求得，即（3-2）各直接测得值的测量不确定度为，传递系数为，则由引起被测量y的标准不确定度分量为：（3-3）测量结果y的不确定度应是所有不确定度分量的合成，用标准不确定度来表征，计算公式如下：（3-4）展申不确定度U为标准不确定度与包含因子k乘积。第四章、实验数据处理方法要想得到理想的测量结果，不仅对实验过程有严格的要求，而且对测得实验数据，必须进行一系列的加工和运算，这就是数据处理过程。常用的数据处理方法有数据列表的方法、作图法、最小二乘法、逐差法、直线拟和方法和多元线性回归方法。再此，重点介绍最小二乘法和多源线性回归方法。4.1最小二乘法处理数据最小二乘法原理可以表述为：最小的前提下求得的未知量值，是未知量的最佳值。下面给出一般情况的证明，为了求得t个不可直接测量的未知量。可利用直接测量量，与未知测量量的函数关系：（4-1）通过对直接测量量进行测量，得到测量数据，若，则可由上式直接解方程组得未知量。由于测量数据不可避免地包含测量误差，所以所得结果，也包含测量误差。为了提高测量结果的精度，应增加测量次数，以便利用随机误差的抵偿性减小误差对测量结果的影响。故可能有n>t，当等精度测量时，测量数据与直接测量量的最佳估值，的残差应满足最小，即：（4-2）1.当直接测量量与未知测量量的函数为线性时，函数关系式可写成：（4-2）要想此函数的残差平方和最小，就应有其一阶导数等于零，二阶导数大于零。则对一阶导数整理后有:（4-3）解以上正规方程可求出未知量。其中（4-4）2.当直接测量量与未知测量量的函数为非线性时:将非线性函数在未知量近似值附近按级数展开，然后按线性函数的最小二乘法进行计算。4.2回归分析在科学实验中，常常需要寻求相互关联的两个或多个变量之间的内在联系。根据测量得到的若干组两个或多个变量的对应数据，求表示这些变量间关系的解析式的过程称为回归。最简单的回归分析就是线性回归，又以两个变量的线性回归最简单，实验中只考虑两个变量的线性回归问题。4.2.1直线拟合最小二乘法MLS直线拟合是物理实验中的常用数据处理方法。MLS直线拟合处理数据的优点在于理论上比较严格，在函数形式确定后，结果是唯一的，不会因人而异。1.MLS直线拟合原理概述假定所研究的变量x和y之间存在线性关系，则函数形式可写成，由于自变量只有一个，故称为一元线性回归。利用测量的一组数据（i=1，2，…n）来确定系数a和b。由于测得的不可能完全落在同一直线上，因此，对应于每个，观测值和最佳经验公式的y之间存在一个偏差，我们称它为观测值的残差e。残差的正负和大小表示了实验观测点在回归法求得的直线两侧的分散程度。为了使残差的正负不抵消，且考虑所有实验值的影响，我们计算残差的平方和RSS。如果a和b的取值使残差的平方和RSS最小，a和b即为所求值。为使残差平方和最小，则其对a和b的一阶偏导等于零，二阶偏导大于零，即：，，导出：（4-5）（4-6）其