湖北省武汉某学校2021年高考复习数学模拟试卷(理科)课件

2021

年湖北省武汉外国语学校高考数学模拟试卷（理科）（3

月份）一、选择题：本题共

12

小题，每小题

5

分，共

60

分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合

A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y

=

1‒

푥，x∈R}，则

A∩B＝（）A．{1}B．（0，+∞）C．（0，1）D．（0，1]2．（5分）若复数

z

满足

2+zi＝z﹣2i（i

为虚数单位），z为

z

的共轭复数，则|z

+1|＝（）A．

5B．2C．

3D．33．（5分）在矩形

ABCD

中，AB＝4，AD＝3，若向该矩形内随机投一点

P，那么使得△ABP

与△ADP

的面积都不小于

2的概率为（）14134749A．B．C．D．4．（5分）已知函数

f（x）＝（x﹣1）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则

f（3﹣x）＜0的解集为（）A．（2，4）B．（﹣∞，2）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）2푎

‒푦2푥5．（5分）已知双曲线=1的离心率为

2，则

a

的值为（）2‒

푎2A．1B．﹣2C．1或﹣2D．﹣16．（5分）等比数列的前

n

项和，前

2n

项和，前

3n

项的和分别为

A，B，C，则（）A．A+B＝CB．B2＝ACC．（A+B）﹣C＝B2D．A2+B2＝A（B+C）12021年湖北省武汉外国语学校高考数学模拟试卷（理科）（312021

年7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入

m＝0，n＝2，输出的

x＝1.75，则空白判断框内应填的条件可能是（）A．|m﹣n|＜1B．|m﹣n|＜0.5C．|m﹣n|＜0.2D．|m﹣n|＜0.1휋8．（5分）将函数f(x)

=

2sin(2푥

+3)图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将휋所得图象向左平移

个单位得到函数

g（x）的图象，在

g（x）图象的所有对称轴中，离原点最近的对12称轴方程为（）휋휋5휋휋A．x

=-B．x

=

4C．x

=

24D．x

=24129．（5分）在（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9的展开式中，含

x2项的系数是（）A．119B．120C．121D．72010．（5分）我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为（）试卷22021年7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入m2160A．

3256C．

3B．160D．642푥2푦11．（5分）已知椭圆

C：4

+

3

=1，直线

l：x＝4与

x

轴相交于点

E，过椭圆右焦点

F

的直线与椭圆相交于

A，B

两点，点

C

在直线

l

上，则“BC∥x

轴”是“直线

AC

过线段

EF

中点”的（）A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）下列命题为真命题的个数是（）휋③2

15＜15；

④3eln2＜4

2C．3①ln3＜

3푙푛2；②lnπ＜

푒；A．1B．2D．4二、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分．→→→→→→13．（5分）平面向量a与b的夹角为

45°，a

=（1，﹣1），|b|＝1，则|a

+2b|＝

．x

-

y

+

2

≥

0푥

+푦

+푘

≥

0푥

≤

1{14．（

5分

）

已

知

实

数

x，

y

满

足

约

束

条

件，

且

z＝

x+2y

的

最

小

值

为

3，

则

常

数

k＝

．푒215．（5分）考虑函数

y＝ex

与函数

y＝lnx

的图象关系，计算：

1

lnxdx＝

∫

．试卷16．（5分）如图所示，在平面四边形

ABCD

中，若

AD＝2，CD＝4，△ABC

为正三角形，则△BCD

面积的最大值为

．3160256B．160D．642211．（5分）已知椭圆3三、解答题：共

70

分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第

17～21

题为必考题，每个试题考生都必须作答．第

22、23

题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共

60

分．217．（12分）若数列{a

}的前

n

项和为

S

，首项

a

＞0且

2S

=

푎

+a

（n∈N*）．nn1n푛n（1）求数列{a

}的通项公式；n1（2）若

a

＞0（n∈N*），令

b

=，求数列{b

}的前

n

项和

T

．n

nnn푎

(푎

+2)푛푛18．（12分）如图，四边形

ABCD

与

BDEF

均为菱形，FA＝FC，且∠DAB＝∠DBF＝60°．（1）求证：AC⊥平面

BDEF；（2）求直线

AD

与平面

ABF

所成角的正弦值．19．（12分）某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准

a，用电量不超过

a

的部分按平价收费，超出

a

的部分按议价收费．为此，政府调查了

100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260.280），[280，300）分组的频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图的数据，求直方图中

x

的值并估计该市每户居民月平均用电量

μ

的值；（2）用频率估计概率，利用（1）的结果，假设该市每户居民月平均用电量

X

服从正态分布

N（μ，σ2）（ⅰ）估计该市居民月平均用电量介于

μ～240度之间的概率；（ⅱ）利用（ⅰ）的结论，从该市所有居民中随机抽取

3户，记月平均用电量介于

μ～240度之间的户4三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算42021数为

ξ，求

ξ

的分布列及数学期望

E（ξ）．高考复习20．（12分）如图，圆

O：x2+y2＝4，A（2，0），B（﹣2，0），D

为圆

O

上任意一点，过

D

作圆

O

的切线分别交直线

x＝2和

x＝﹣2于

E，F

两点，连

AF，BE

交于点

G，若点

G

形成的轨迹为曲线

C．（1）记

AF，BE

斜率分别为

k

，k

，求

k

•k

的值并求曲线

C

的方程；1212（2）设直线

l：y＝x+m（m≠0）与曲线

C

有两个不同的交点

P，Q，与直线

x＝2交于点

S，与直线

y＝﹣1交于点

T，求△OPQ

的面积与△OST

面积的比值

λ

的最大值及取得最大值时

m

的值．试卷21．（12分）已知函数

f（x）＝（1+ax2）ex﹣1．（1）当

a≥0时，讨论函数

f（x）的单调性；（2）求函数

f（x）在区间[0，1]上零点的个数．（二）选考题：共

10

分．请考生在第

22、23

题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修

4-4：坐标系与参数方程]（10

分）52021数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．高考5222．（10分）已知直线

l

的参数方程为{x

=-

2푡（t

为参数，a∈R），曲线

C

的极坐标方程为

ρsin2θ＝2푦

=푎

+

2푡4cosθ．（1）分别将直线

l

的参数方程和曲线

C

的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线

l

经过点（0，1），求直线

l

被曲线

C

截得线段的长．[选修

4-5：不等式选讲]（10

分）23．已知函数

f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．（1）解不等式

f（x）≤9；[0

2]（2）若方程

f（x）＝﹣x2+a

在区间

，

有解，求实数a

的取值范围．6222．（10分）已知直线l的参数方程为{x=-262021

年湖北省武汉外国语学校高考数学模拟试卷（理科）（3

月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共

12

小题，每小题

5

分，共

60

分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2021•汉阳区校级模拟）设集合

A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y

=

1‒

푥，x∈R}，则

A∩B＝（）A．{1}B．（0，+∞）C．（0，1）D．（0，1]【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】可解出集合

A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{y|y＞0}，B＝{x|x≤1}；∴A∩B＝（0，1]．故选：D．【点评】考查描述法、区间的定义，指数函数的值域，以及交集的运算．2．（5分）（2021•汉阳区校级模拟）若复数

z

满足

2+zi＝z﹣2i（i

为虚数单位），z为

z

的共轭复数，则|z+1|＝（）A．

5B．2C．

3D．3【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的公式求解．72021年湖北省武汉外国语学校高考数学模拟试卷（理科）（372+2푖1‒

푖2(1+푖)2【解答】解：由

2+zi＝z﹣2i，得（1﹣i）z＝2+2i，则

z

=∴z

+1=1‒

2푖，则|z

+1|

=

5．故选：A．==2푖，(1‒

푖)(1

+푖)【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．（5分）（2021•让胡路区校级三模）在矩形

ABCD

中，AB＝4，AD＝3，若向该矩形内随机投一点

P，那么使得△ABP

与△ADP

的面积都不小于

2的概率为（）14134749A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】本题是一个几何概型的概率，以

AB

为底边，要使面积不小于

2，则三角形的高要

h≥1，得到两个三角形的高即为

P

点到

AB

和

AD

的距离，得到对应区域，利用面积比求概率．【解答】，解：由题意知本题是一个几何概型的概率，以

AB

为底边，要使面积不小于

2，1由于

S△ABP=AB×h＝2h，24则三角形的高要

h≥1，同样，P

点到

AD

的距离要不小于

，满足条件的

P

的区域如图，34163

，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是整个矩形面积的（4

-

3）（3﹣1）

=1643∴使得△ABP

与△ADP

的面积都不小于

2的概率为：4×3=

；9故选：D．82+2푖2(1+푖)2【解答】解：由2+zi＝z﹣8【点评】本题给出几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．4．（5分）（2021•汉阳区校级模拟）已知函数

f（x）＝（x﹣1）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则

f（3﹣x）＜0的解集为（）A．（2，4）B．（﹣∞，2）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；65：数学运算．【分析】根据

f（x）为偶函数，可得

b＝a；根据

f（x）在（0，+∞）上递减得

a＜0；然后解一元二次不等式可得．【解答】解：∵f（x）＝ax

（

﹣

）

﹣

为偶函数，所以

﹣

＝

，即

＝

，∴

（

）＝

﹣

，2+baxbba0bafxax2a由

f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以

a＜0，∴f（3﹣x）＝a（3﹣x）

﹣

＜

，可化为（

﹣

）

﹣

＞

，即

x2﹣6x+8＞

，2a03x2100解得

x＜2或

x＞4故选：B．【点评】本题考查了奇偶性与单调性得综合，属中档题．2푎

‒푦2푥5．（5分）（2021•让胡路区校级三模）已知双曲线=1的离心率为

2，则

a

的值为（）2‒

푎29【点评】本题给出几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概9A．1B．﹣2C．1或﹣2D．﹣1【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用双曲线的标准方程以及离心率转化求解即可．2푎

‒푦2푥【解答】解：双曲线=1的离心率为

2，实轴在

x

轴上，2‒

푎222‒

푎

+푎可得

e

=2=2，解得

a＝1或﹣2（舍去）．푎푥2푦2푎2

‒

2‒

푎当双曲线

푎‒=1的实轴在

y

轴上时，e2

==2，解得

a＝﹣2，或

a＝1（舍去）2‒

푎2푎2

‒

2综上

a＝﹣1或

a＝﹣2．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6．（5分）（2021•汉阳区校级模拟）等比数列的前

n

项和，前

2n

项和，前

3n

项的和分别为

A，B，C，则（）A．A+B＝CB．B2＝ACC．（A+B）﹣C＝B2D．A2+B2＝A（B+C）【考点】87：等比数列的性质．【专题】11：计算题．푆

‒

푆푆

‒

푆2푛=푞

，所以퐵

‒

퐴

퐶

‒

퐵퐵

‒

퐴，进行整理可得答2푛푛3푛푛푛【分析】利用等比数列的性质可得案．=푞

，=푆푛푆

‒

푆퐴2푛푛【解答】解：由题意可得：S

＝A，S

＝B，S

＝C．n2n3n10A．1B．﹣2C．1或﹣2D．﹣1【考点】KC：双曲线的性10푆

‒

푆푆

‒

푆3푛

2푛2푛푛푛푛=푞

，푆

‒

푆푛由等比数列的性质可得：=푞

，푆푛2푛퐵

‒

퐴

퐶

‒

퐵=퐵

‒

퐴，퐴所以所以整理可得：A2+B2＝

（B+C）．A故选：D．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质，并且进行正确的运算，一般以选择题的形式出现．7．（5分）（2021•上高县校级模拟）执行如图所示的程序框图，若输入

m＝0，n＝2，输出的

x＝1.75，则空白判断框内应填的条件可能是（）练习D．|m﹣n|＜0.1A．|m﹣n|＜1B．|m﹣n|＜0.5C．|m﹣n|＜0.2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行如图所示的程序框图，即可得出空白判断框内应填的条件是什么．【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知，输入

m＝0，n＝2，x＝1，满足

12﹣3＜0，m＝1，不满足判断框内的条件，x＝1.5，满足

1.5

﹣

＜

，

＝1.5，230m不满足判断框内的条件，x＝1.75，不满足

1.75

﹣

＜

，

＝1.75，230n11푆‒푆푆‒푆2푛푛푛푛由等比数列的性质可得：=푞11由题意，应该满足判断框内的条件，输出

x＝1.75，此时，m＝1.5，n＝1.75，则空白判断框内应填的条件为|m﹣n|＜0.5．故选：B．【点评】本题考查了算法与程序语言的应用问题，是基础题．휋8．（5分）（2021•河南模拟）将函数f(x)

=

2sin(2푥

+3)图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，휋纵坐标不变，再将所得图象向左平移12个单位得到函数

g（x）的图象，在

g（x）图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（）휋휋5휋휋A．x

=-B．x

=

4C．x

=

24D．x

=2412【考点】HJ：函数

y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】34：方程思想；4O：定义法；57：三角函数的图象与性质．【分析】根据三角函数的图象关系求出

g（x）的解析式，结合对称轴方程进行求解即可．휋【解答】解：将函数f(x)

=

2sin(2푥

+3)图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，휋휋得到

y＝2sin（4x

+

3），再将所得图象向左平移

个单位得到函数

g（x）的图象，12휋휋2휋得到

g（x）＝2sin[4（x

+

12）

+

3]＝2sin（4x

+

3

），2휋휋+kπ，k∈Z，由

4x

+3

=

21휋得

x

=

kπ

-，k∈Z，424휋当

k＝0时，离原点最近的对称轴方程为

x

=-

24，故选：A．12由题意，应该满足判断框内的条件，输出x＝1.75，此时，m12【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出

g（x）的解析式，结合对称轴方程是解决本题的关键．9．（5分）（2021•汉阳区校级模拟）在（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9的展开式中，含

x2项的系数是（）A．119B．120C．121D．720【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求得含

x

项的系数，再利用二项式系数的性质化简得到结果．2【解答】解：在（1+x）

（2+

1+x

3+）

…+（）

的展开式中，含

项的系数为C22

+

2

+

2

+⋯

+21+x

C

C

C3

4

99x23=C

=120，10故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10．（5分）（2021•汉阳区校级模拟）我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三试卷角形．则它的体积为（）13【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出g（13160A．

3256C．

3B．160D．64【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】作出几何体的直观图，将几何体分解成两个四棱锥和一个三棱柱计算体积．高考复习【解答】解：作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和

1个直三棱柱，1则三棱柱的体积

V

=

×4×4×4＝32，121323

，四棱锥的体积

V

=

×2×4×4×1

=23由三视图可知两个四棱锥大小相等，1603

．∴V＝V

+2V

=12故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中分析出几何体的形状是解答的关键．2푥2푦11．（5分）（2021•汉阳区校级模拟）已知椭圆

C：4

+

3

=1，直线

l：x＝4与

x

轴相交于点

E，过椭圆右焦点

F

的直线与椭圆相交于

A，B

两点，点

C

在直线

l

上，则“BC∥x

轴”是“直线

AC

过线段

EF中点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件14160256B．160D．64【考点】L!：由三视图求面积、14C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合直线和椭圆的位置关系进行判断即可．【解答】解：设直线

AC

与

x

轴的交点为点

N，过点

A

作

AD⊥l，点

D

是垂足．因为点

F

是椭圆的右焦点，直线

l

是右准线，BC∥x

轴，即

BC⊥l，퐴퐹

퐵퐹根据椭圆几何性质，得퐴퐷

=퐵퐶═e（e

是椭圆的离心率）．∵AD∥FE∥BC．퐸푁

퐶푁

퐵퐹

퐹푁

퐴퐹，퐶퐴

퐴퐵

퐵퐶

퐴퐵∴퐴퐷=═，=퐴퐷

⋅

퐵퐹퐴퐵퐴퐷

⋅

퐵퐶

퐴퐹

⋅

퐵퐶即

EN═=e•==FN．퐴퐵퐴퐵∴N

为

EF

的中点，即直线

AC

经过线段

EF

的中点

N，即充分性成立，当直线

AB

斜率为

0时，则

BC

与

x

轴重合，此时

BC∥x

轴不成立，则“BC∥x

轴”是“直线

AC

过线段

EF

中点”的充分不必要条件，A．试卷故选：【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和椭圆的位置关系，综合性较强，有一定的难度．15C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、1512．（5分）（2021•汉阳区校级模拟）下列命题为真命题的个数是（）휋③2

15＜15；

④3eln2＜4

2C．3①ln3＜

3푙푛2；②lnπ＜

푒；A．1B．2D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．푙푛푥【分析】构造函数

f（x）

=푥

，求得导数，以及单调性和最值，作出图象，对照选项一一判断即可得到所求答案．푙푛푥1‒

푙푛푥【解答】解：构造函数

f（x）

=푥

，导数为

f′（x）

=，푥2当

0＜x＜e

时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＞e

时，f′（x）＜0，f（x）递减，1可得

x＝e

处

f（x）取得最大值

，푒푙푛

3

푙푛2ln3＜

3푙푛2⇔2ln

3＜

3ln2⇔3

＜

2

，由

3＜2＜e

可得

f（

3）＜f（2），故①正确；휋

푙푛

휋

푙푛

푒lnπ＜

푒⇔휋

＜

푒

，由

e＜

π＜e，可得

f（

e）＜f（

π），故②错误；푙푛2

푙푛

15＜2

15＜15⇔

215

，由

e﹣2＜

15‒2，可得

f（2）＜f（

15），故③正确；푙푛82113eln2＜4

2⇔

8＜＜

，由

f（x）的最大值为

，故④正确．2푒

푒푒故选：C．1612．（5分）（2021•汉阳区校级模拟）下列命题为真命题1620高考运算能力，属于中档题．【点评】本题考查数的大小比较，注意运用构造函数，以及导数的运用：求单调性和最值，考查化简二、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分．→→→→→→13．（5分）（2021•汉阳区校级模拟）平面向量a与b的夹角为

45°，a

=（1，﹣1），|b|＝1，则|a

+2b|＝

10

．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．→→→→→→的值，进而得出|【分析】根据a，푏的夹角为

45°，|푏|=1，并求得|푎|=

2，从而可求出(푎

+2푏)2→→푎

+2푏|的值．→→→→【解答】解：∵a与b的夹角为

45°，且|푎|=

2，|푏|=1；22→→→→→→2∴(푎

+2푏)

=

푎

+4푎

⋅

푏

+4푏

=2+4+4=10；→→∴|푎

+2푏|=

10．故答案为：

10．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，根据向量坐标可求向量长度．1720高考【点评】本题考查数的大小比较，注意运用构造函数，以及17x

-

y

+

2

≥

0푥

+푦

+푘

≥

0푥

≤

1{14．（5分）（2021•宁城县模拟）已知实数

x，y

满足约束条件，且

z＝x+2y

的最小值为3，则常数

k＝﹣2

．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求

z

的最大值．x

-

y

+

2

≥

0푥

+푦

+푘

≥

0푥

≤

1{【解答】解：作出实数

x，y

满足足约束条件对应的平面区域，z＝x+2y

的最小值为3，{x

+

2y

=

3平移直线

z＝x+2y，由图象可知当直线

z＝x+2y，经过点

A，可得

A（1，1），A（1，1）代푥

=1入

x+y+k＝0，可得

k＝﹣2．故答案为：﹣2．练试卷【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15．（5分）（2021•汉阳区校级模拟）考虑函数

y＝ex

与函数

y＝lnx

的图象关系，计算：∫푒2lnxdx＝118x-y+2≥0{14．（5分）（2021•宁城18e2+1

．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【专题】11：计算题；21：阅读型；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】作出函数

y＝lnx、y＝e

以及直线

＝

的图象，利用函数

＝lnx

与函数

＝

的图象关于直线xyxyyex푒22∫푙푛푥푑푥

=∫

(푒2

‒

푒푥)푑푥，利用定积分公式进行计算可得出答案．高考复1

0y＝x

对称，利用对称性得出【解答】解：如下图所示，练由于函数

y＝lnx

与函数

y＝e

互为反函数，两个函数的图象关于直线

＝

对称，xy

x结合图象可知，图中两个阴影部分区域的面积相等，푒2푙푛푥푑푥

=∫20

(푒2

‒

푒푥)푑푥

=(푒2푥

‒

푒푥)|2

=푒2

+1所以，∫．01答案为：e2+1．【点评】本题考查定积分的计算，解决本题的关键在于利用函数图象的对称性进行转化，考查计算能力与推理能力，属于中等题．16．（5分）（2021•汉阳区校级模拟）如图所示，在平面四边形

ABCD

中，若

AD＝2，CD＝4，△ABC

为正三角形，则△BCD

面积的最大值为

4+4

3

．19e2+1．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【专题】1192【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】运用余弦定理，表示出

AC，进而用三角函数表示出

S△BCD．【解答】解：设∠ADC＝α，∠ACD＝β，由余弦定理得：AC

＝242+22﹣

×

×2cosα＝20﹣16cosα24，2퐴퐶

+12∴cosβ

=，8퐴퐶퐴퐷퐴퐶2푠푖푛훼，则

sinβ

=퐴퐶

，又由正弦定理可得=푠푖푛훽

푠푖푛훼21휋131

2푠푖푛훼3

퐴퐶

+12）＝∴S△BCD=BC•CD•sin（β

+

3）＝2BC（

sinβ

+cosβ）＝2BC•（2•

퐴퐶

+

2•2228퐴퐶휋4sin（α

-

3）+4

3，故△BCD

面积的最大值为

4+4

3，故答案为：4+4

3【点评】本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用正弦定理，余弦定理和面积公式，属于中档题．三、解答题：共

70

分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第

17～21

题为必考题，每个试题考生都必须作答．第

22、23

题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共

60

分．217．（

12分

）（

2021•

西

城

区

校

级

模

拟

）

若

数

列

{a

}的

前

n

项

和

为

S

，

首

项

a

＞

0且

2S

=

푎

+ann1n푛n（n∈N*）．202【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题；38：对应思20（1）求数列{a

}的通项公式；n1（2）若

a

＞0（n∈N*），令

b

=，求数列{b

}的前

n

项和

T

．n

nnn푎

(푎

+2)푛푛【考点】8E：数列的求和．【专题】34：方程思想；4H：作差法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由数列的递推式：当

n＝1时，a

＝S

；当

n≥2时，a

＝S

﹣Sn﹣1，化简计算可得所求通11nn项公式；11111），再由数列的裂项相消求和，化简可得所求（2）求得

b

===

（

‒n푎

(푎

+2)

푛(푛

+2)2푛

푛

+2푛푛和．【解答】解：（1）当

n＝1时，2a

＝2S

＝a2+a，则

a

＝1；11111푎푛2+푎푛

푎푛

‒

12

+푎푛

‒

1当

n≥2时，a

＝S

﹣S

=n﹣1‒，nn22即（a

+a）（a

﹣a﹣1）＝0，可得

a

＝﹣a或

a

﹣an﹣1＝1，nn﹣1nn﹣1nn﹣1n可得

a

＝（﹣1）n﹣1或

a

＝n；nn11111），（2）由

a

＞0，则

a

＝n，b

===

（

‒nnn푎

(푎

+2)

푛(푛

+2)

2

푛

푛

+2푛푛1111111111）即有前

n

项和

T

=

（1

-

+

‒

+

‒

+⋯

+‒+

‒n232435푛

‒

1

푛

+1

푛

푛

+21211132푛

+3=（1

+‒‒）

=‒．2

푛

+1

푛

+24

2(푛

+1)(푛

+2)【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．18．（12分）（2021•汉阳区校级模拟）如图，四边形

ABCD

与

BDEF

均为菱形，FA＝FC，且∠DAB＝∠DBF＝60°．21（1）求数列{a}的通项公式；n1（2）若a＞0（n∈2120（1）求证：AC⊥平面

BDEF；（2）求直线

AD

与平面

ABF

所成角的正弦值．高考【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）设

AC

与

BD

相交于点

O，连接

FO，推导出

AC⊥BD，AC⊥FO，由此能证明

AC⊥平面BDEF．（2）连接

DF，推导出△DBF

为等边三角形，从而

FO⊥BD，AC⊥FO，进而

FO⊥平面

ABCD．由OA，OB，OF

两两垂直，建立空间直角坐标系

O﹣xyz，利用向量法能求出直线

AD

与平面

ABF

所成角的正弦值．【解答】证明：（1）设

AC

与

BD

相交于点

O，连接

FO，∵四边形

ABCD

为菱形，∴AC⊥BD，且

O

为

AC

中点，∵FA＝FC，∴AC⊥FO，又

FO∩BD＝O，∴AC⊥平面

BDEF．…（5分）解：（2）连接

DF，∵四边形

BDEF

为菱形，且∠DBF＝60°，∴△DBF

为等边三角形，∵O

为

BD

中点，∴FO⊥BD，又

AC⊥FO，∴FO⊥平面

ABCD．∵OA，OB，OF

两两垂直，∴建立空间直角坐标系

O﹣xyz，如图所示，………（7分）2220（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求直线AD与22设

AB＝2，∵四边形

ABCD

为菱形，∠DAB＝60°，∴BD＝2，AC＝2

3．∵△DBF

为等边三角形，∴OF

=

3．∴A（

3，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），F（0，0，

3），→→→∴AD

=（

-

3，

‒

1，0），AF=（

-3，0，

3），AB=（

-3，1，0）．→设平面

ABF

的法向量为n

=（x，y，z），→AF→{⋅

푛

=‒

3푥

+

3푧

=0→则，取

x＝1，得n

=（1，

3，1）．→→퐴퐵

⋅

푛

=‒

3푥

+푦

=0设直线

AD

与平面

ABF

所成角为

θ，………（10分）则直线

AD

与平面

ABF

所成角的正弦值为：练→→|퐴퐷

⋅

푛|155→→sinθ＝|cos＜퐴퐷，푛＞|

==．…（12分）→→|퐴퐷|⋅

|푛|试卷【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19．（12分）（2021•宁城县模拟）某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准

a，用电量不超过

a

的部分按平价收费，超出

a

的部分按议价收费．为23设AB＝2，∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，23此，政府调查了

100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260.280），[280，300）分组的频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图的数据，求直方图中

x

的值并估计该市每户居民月平均用电量

μ

的值；（2）用频率估计概率，利用（1）的结果，假设该市每户居民月平均用电量

X

服从正态分布

N（μ，σ2）高考复习（ⅰ）估计该市居民月平均用电量介于

μ～240度之间的概率；（ⅱ）利用（ⅰ）的结论，从该市所有居民中随机抽取

3户，记月平均用电量介于

μ～240度之间的户数为

ξ，求

ξ

的分布列及数学期望

E（ξ）．练习【考点】B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．【分析】（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，求出

x＝0.0075，由此能估计该市每户居民月平均用电量

μ

的值．1（2）（ⅰ）P（225.6＜X＜240）

=

[1﹣2P（X＞240）]，由此能求出结果．2114푖5（ⅱ）∵ξ～B（3，

），∴P（Y＝i）

=

퐶

(

)

(

)3

‒

푖，i＝0，1，2，3，由此能求出

ξ

的分布列及数学푖355期望

E（ξ）．【解答】解：（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，24此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以24得

x＝0.0075，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴

μ＝

170×

0.04+190×

0.19+210×

0.22+230×

0.25+250×

0.15+270×

0.1+290×

0.05＝225.6．…（4分）11（2）（ⅰ）P（225.6＜X＜240）

=

[1﹣2P（X＞240）]

=

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣25（6分）114푖5（ⅱ）∵ξ～B（3，

），∴P（Y＝i）

=

퐶

(

)

(

)3

‒

푖，i＝0，1，2，3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）푖355∴ξ

的分布列为：ξ01236448121P125125125125﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）13∴E（Y）＝3

×

=

．…………（12分）55【点评】本题考查频率、平均数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）（2021•汉阳区校级模拟）如图，圆

O：x2+y2＝4，A（2，0），B（﹣2，0），D

为圆

O

上任意一点，过

D

作圆

O

的切线分别交直线

x＝2和

x＝﹣2于

E，F

两点，连

AF，BE

交于点

G，若点

G

形成的轨迹为曲线

C．（1）记

AF，BE

斜率分别为

k

，k

，求

k

•k

的值并求曲线

C

的方程；1212（2）设直线

l：y＝x+m（m≠0）与曲线

C

有两个不同的交点

P，Q，与直线

x＝2交于点

S，与直线

y＝﹣1交于点

T，求△OPQ

的面积与△OST

面积的比值

λ

的最大值及取得最大值时

m

的值．25得x＝0.0075，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴252高考【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设

D（x

，y

），（y

≠0），易知过

D

点的切线方程为

x

x+y

y＝4，根据斜率公式，即可得00000出．（2）直线方程与椭圆方程联立化为：5x2+8mx+4m2﹣

＝

，设

（

，

），

（

，

），由△＞

可40Px1y1Qx2y20得

m

的范围，再求得|ST|，通过换元利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：（1）设

D（x

，y

），（y

≠0），000易知过

D

点的切线方程为

x

x+y

y＝4，其中

x2+y

2＝4，00004‒

2푥04+2푥0则

E（2，），F（﹣2，），푦0푦04

‒

2푥0

4

+

2푥02‒

4푦2푦0푦016‒

4푥1400∴k

k

=•===‒1

24‒

42020‒

16푦16푦1设

G（x，y），由

k

k

=-，1

24푦푦1∴•=‒

，푥

‒

2

푥

+24푥2∴

4

y

＝

，（

≠

）+21y

0262高考【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；26푥2故曲线

C

的方程为

4

y

＝

（

≠

）+21y

0y

=

x

+

m2（2）{，消

y

可得

5x2+8mx+4m2﹣

＝

，402푥

+4푦

=4284푚

‒

4设

P（x

，y

），Q（x

，y

），则

x

+x

=-

m，x

x

=1122121

255由△＝64m

﹣220（4m2﹣

）＞

得﹣

＜

＜

且

≠

且

≠±2405m5m0m24

2=

5

5

-

푚

，84푚

‒

42푥

+푥

)2

‒

4푥

푥=

2•

(

-

푚)

‒

4×1

222∴|PQ|

=

1+푘

•

(1255∵与直线

x＝2交于点

S，与直线

y＝﹣1交于点

T，∴S（2，2+m），T（﹣m﹣1，﹣1）22∴|ST|

=

(3+푚)

+(3+푚)

=

2（3+m），푆푂푃푄∴λ

=

푆5‒

푚22，令

3+m＝t，t∈（3

-

5，3

+

5）且

t≠1，3，5|푃푄|4==|푆푇|

5

(3+푚)△

푂푆푇2464

‒

푡

+6푡

‒

4则

λ

=

545451-

(푡354=-+

‒

1=‒

)2

+，푡4푡2푡213452

5当

=

，即

t

=

，m

=-

时，λ

取得最大值

5．푡433【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）（2021•汉阳区校级模拟）已知函数

f（x）＝（1+ax2）ex﹣1．（1）当

a≥0时，讨论函数

f（x）的单调性；（2）求函数

f（x）在区间[0，1]上零点的个数．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．27푥2故曲线C的方程为4y＝（≠）+21y027【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论

a

的范围，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论

a

的范围，求出函数

f（x）在[0，1]的单调性，从而判断函数的零点个数．【解答】解：（1）f′（x）＝（ax2+2ax+1）ex……………（1分）当

a＝0时，f′（x）＝e

≥

，此时

（

）在x0fxR

单调递增；……………（2分）当

a＞0时，△＝4a

﹣4a，2①当

0＜a≤1时，△≤0，ax2+2ax+1≥0恒成立，∴f′（x）≥0，此时

f（x）在

R

单调递增；……（3分）11②当

a＞1时，令

f′（x）＝0，解得：x

＝﹣1

-

1‒

，x

＝﹣1

+

1‒

，12푎푎x，f′（x），f（x）的变化如下：x（﹣∞，x

）x1（x

，x

）x2（x

，+∞）1122f′（x）f（x）+0﹣0+递增递减递增111即

f（x）在（﹣∞，﹣1

-

1‒

）和（﹣1

+

1‒

，+∞）上单调递增；在（﹣1

-

1‒

，﹣1푎푎푎1+1‒

）上单调递减；……（5分）푎综上：当

0≤a≤1时，f（x）在

R

单调递增；11当

a＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣1

-

1‒

）和（﹣1

+

1‒

，+∞）上单调递增；在（﹣1

-푎푎111‒

，﹣1

+

1‒

）上单调递减；…（6分）푎푎（2）由（1）知，28【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．28当

0≤a≤1时，f（x）在[0，1]单调递增，f（0）＝0，此时

f（x）在区间[0，1]上有一个零点；11当

a＞1时，﹣1

-

1‒

＜0且﹣1

+

1‒

＜0，푎푎∴f（x）在[0，1]单调递增；f（0）＝0，此时

f（x）在区间[0，1]上有一个零点；1当

a＜0时，令

f′（x）＝0，故

x＝﹣1

+

1‒

＞0（负值舍去）푎11①当﹣1

+

1‒

≥

1即

-

≤

a＜0时，f（x）在[0，1]单调递增，푎3f（0）＝0，此时

f（x）在区间[0，1]上有一个零点；11②当﹣1

+

1‒

＜1即

a＜

-

时，푎31111若

f（1）＞0即

‒

1＜a＜

-

时，f（x）在[0，﹣1

+

1‒

）单调递增，在[﹣1

+

1‒

，1]单调递푒3푎푎减，f（0）＝0，此时

f（x）在区间[0，1]上有一个零点；111若

f（1）≤0即

a

≤

푒

‒

1时，f（x）在[0，﹣1

+

1‒

）单调递增，在[﹣1

+

1‒

，1]单调递푎푎减，1f（0）＝0，此时

f（x）在区间[0，1]上有零点

x＝0和在区间[﹣1

+

1‒

，1]有一个零点共两个零푎点；1综上：当

a

≤

푒

‒

1时，f（x）在区间[0，1]上有

2个零点；1当

a＞

‒

1时，f（x）在区间[0，1]上有

1个零点．…（12分）푒【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（二）选考题：共

10

分．请考生在第

22、23

题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计29当0≤a≤1时，f（x）在[0，1]单调递增，f（0）＝29分．[选修

4-4：坐标系与参数方程]（10

分）222．（10分）（2021•汉阳区校级模拟）已知直线

l

的参数方程为{x

=-

2

푡（t

为参数，a∈R），曲线

C

的2푦

=푎

+

2푡极坐标方程为

ρsin

＝4cosθ．2θ（1）分别将直线

l

的参数方程和曲线

C

的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线

l

经过点（0，1），求直线

l

被曲线

C

截得线段的长．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）直线

l

的参数方程消去参数，能求出直线

l

的直角坐标方程；曲线

C

的极坐标方程化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，由此能求出曲线

C

的直角坐标方程．（2）由直线

l

的参数方程过（0，1），得到

a＝1，将直线

l

的参数方程代入

y

＝

，得

t2+6

2푡

+2＝24x0，由此能求出|AB|．2【解答】解：（1）∵直线

l

的参数方程为{x

=-

2

푡（t

为参数，a∈R），2푦

=푎

+

2푡∴直线

l

的方程为

y＝﹣x+a，即

x+y﹣a＝0，…（2分）∵曲线

C

的极坐标方程为

ρsin

＝4cosθ，∴ρ2sin2θ＝4ρcosθ2θ，∴曲线

C

的直角坐标方程为

y

＝

．……………（

分）24x52x

=-

2푡（2）∵直线

l

的参数方程{（t

为参数，a∈R）

过（0，1），2푦

=푎

+

2푡∴a＝1，30分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）222．（302x

=-

2푡将直线

l

的参数方程{（t

为参数，a∈R）代入

y

＝4x，22푦

=푎

+

2푡得

t2+6

2푡

+2＝

，0t

+t

＝﹣6

2，t

t

＝2，121

2由直线参数方程的几何意义可知，2(푡

+푡

)

‒

4푡

푡

=72

-

8

=8．…（10分）|AB|＝|t

﹣t

|

=12121

2【点评】本题考查直线和曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．[选修

4-5：不等式选讲]（10

分）23．（2021•广元模拟）已知函数

f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．（1）解不等式

f（x）≤9；（2）若方程

f（x）＝﹣x2+a

在区间

，

有解，求实数a

的取值范围．[0

2]【考点】R4：绝对值三角不等式．【专题】35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）通过讨论

x

的范围得到关于

x

的不等式组，解出即可；（2）根据题意，原问题可以等价函数

y＝a

和函数

y＝x

﹣x+5图象在区间[0，2]上有交点，结合二次2函数的性质分析函数

y＝x

﹣2x+5的值域，即可得答案．【解答】解：（1）f（x）≤9可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9，{

-

1

≤

x

≤

2{

x＞23푥

‒

3≤

9{

x＜

-

1；…（2分）‒

3푥

+3≤

9故，或，或5‒

푥

≤

9解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1；

…（4分）312x=-2푡将直线l的参数方程{（t为参数，a∈R31不等式的解集为[﹣2，4]；…（5分）x22]（2）由题意：f（x）＝﹣x2+a⇔a＝

﹣x+5，x∈[0，

．故方程

f（x）＝﹣x2+a

在区间

，

有解

函数

＝

和函数

＝x2﹣x+5，图象在区间[0，2]上