2023学年人教A版高中数学选修同步常用逻辑用语

常用逻辑用语第一章1.1集合1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课前教材预案课堂深度拓展课末随堂演练课后限时作业课前教材预案要点一四种命题的概念及表示形式结论

条件

逆命题

若q，则p条件的否定

结论的否定

否命题

若¬p，则¬q结论的否定

条件的否定

逆否命题

若¬q，则¬p 思考：在四种命题中，原命题是固定的吗？提示

不是．原命题是指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他命题形式．要点二四种命题的相互关系 思考：命题a的否命题是b，命题b的逆否命题是c，命题c的逆命题是d，则命题a与命题d的关系是怎样的？提示

由四种命题间的关系可知a与d是同一个命题．1．四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况要点三四种命题的真假性2．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有____________的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性____________.相同

没有关系

思考：在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示

因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0,2,4.由原命题写出其他三种命题的注意点(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．课堂深度拓展考点一四种命题的概念【例题1】写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等．思维导引：(1)(2)的条件和结论不太明显，因此应首先将命题改写成“若p，则q”的形式，然后写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．解析

(1)原命题可以改写成：若一个数为负数，则它的平方是正数．逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2)原命题可以改写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．【变式1】把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)若xy＝0，则x＝0或y＝0；(2)对顶角相等．解析

(1)逆命题：若x＝0或y＝0，则xy＝0.否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.逆否命题：若x≠0且y≠0，则xy≠0.(2)原命题：若两个角是对顶角，则这两个角相等．逆命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．逆否命题：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．判断一个命题是真命题还是假命题，关键是看能否由命题的条件推出命题的结论，若能推出，则是真命题，否则是假命题．此外，还可根据命题的四种形式之间的真假关系进行转换来判断，如果判断一个命题的原命题不易时，可以判断其逆否命题．考点二四种命题真假的判断【例题2】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若x＝2，则x2＋x－6＝0；(2)若k>0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0有两个相异实根；(3)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧．思维导引：首先确定原命题的条件和结论，最好写成“若p，则q”的形式，然后根据四种命题的概念按照要求分别写出，并且结合我们已有的知识判断其真假．解析

(1)逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.是假命题．否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.是假命题．逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.是真命题．(2)逆命题：若方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0有两个相异实根，则k>0.是假命题．否命题：若k≤0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0没有两个相异实根．是假命题．逆否命题：若方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0没有两个相异实根，则k≤0.是真命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．是真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．是真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．是真命题．【变式2】若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确的个数是____________.解析

若a≤b，则ac2≤bc2，为真命题；逆命题为“若ac2≤bc2，则a≤b”，为假命题；否命题为“若a>b，则ac2>bc2”，为假命题；逆否命题为“若ac2>bc2，则a>b”，为真命题．故正确命题的个数为2.2我们知道原命题与其逆否命题是等价的，因此当我们证明原命题成立感到困难时，可考虑证明它的逆否命题成立，这样也能达到证明原命题成立的目的，这种证法叫做逆否证法．考点三逆否命题的应用【例题3】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.证明：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明

原命题的逆否命题为“若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题成立．∴原命题成立．【变式3】证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.数学来源于生活，又应用于生活，即数学对生活有很大的指导意义．数学中命题真假的判断是生活中逻辑推理的重要依据．考点四数学中命题真假的判断与实际生活中的逻辑推理【例题4】同住一个房间的四名女生，她们在某天下午课外活动时间中，有一人在看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲．有以下五个命题：(1)A不在修剪指甲，也不在看书；(2)B不在听音乐，也不在修剪指甲；(3)若C在修剪指甲，则A在听音乐；(4)D不在看书，也不在修剪指甲；(5)C不在看书，也不在听音乐．若上面的命题都是真命题，问：她们各自在干什么？思维导引：本题条件较多且错综复杂，我们可以借助表格来理出其中的关系，再作出判断．【变式4】小红、小芳、小新三名同学中有一名帮助生病的小青补好了笔记．当小青问起是谁做的好事时，小红说：“小芳帮你完成的．”小芳说：“不是我做的．”小新说：“也不是我做的．”如果知道三个人中有两个人说假话，只有一个人说真话，请你判断是谁做的好事．解析

由题意可知，结论有三种可能