2023学年人教A版数学选修数系的扩充与复数的引入 市赛获奖

数学选修1-2·人教A版新课标导学第三章数系的扩充与复数的引入我们知道，在实数范围内，解方程x2＋1＝0是无能为力的，只有把实数集扩充到复数集上才能解决，可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集可不是件容易的事．同学们，你想了解复数的初步知识吗？那就让我们步入本章的学习吧！随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且在系统分析、信号分析、量子力学、电工学、应用数学、流体力学、振动理论、机翼理论等方面得到了广泛应用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据．3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案2018年8月，希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛．一天，张明与王华面对着广阔的大海，有一番耐人寻味的对话．张明：海纳百川，心阔容海．海、心孰大？王华：夸张的手法，不可比较．张明：那么数m，n可否比较大小？王华：未必．同学们，你能准确回答张明的问题吗？1．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝________.全体复数构成的集合叫做__________.2．复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的________与________.3．复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔__________________.4．复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是__________________，a＝0是z为纯虚数的______________条件．－1

复数集实部虚部a＝c且b＝d

a＝0且b＝0

必要不充分1．复数2－3i的虚部是(

)A．3

B．－3

C．3i

D．－3i[解析]

复数2－3i的虚部为－3，故选B．B

2．(2019·山师附中高二期末测试)设m∈R，复数z＝m2－1＋(m－1)i表示纯虚数，则m的值为(

)A．1

B．－1C．±1

D．0B

3．若复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是纯虚数，则实数m的值是(

)A．2

B．3C．2或3

D．－1或6A

4．若a－2i＝bi＋1，a、b∈R，则a2＋b2＝______.5

5．实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？互动探究学案

(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(

)A．0

B．1 C．2

D．3命题方向1

⇨复数的概念B

典例1(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是____________.(3)判断下列命题的真假．①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；③实数集的补集是虚数集．[解析]

(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．(2)由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．③由复数集的分类知，③正确，是真命题．『规律方法』判断与复数有关的命题是否正确的方法1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．特别提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．〔跟踪练习1〕给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m,2n；③在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数；④若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数．其中正确的说法的序号是______.③

[解析]

①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数．②错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m,2n.③正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数．④错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数．命题方向2

⇨复数的分类典例2『规律方法』1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使虚数表达式有意义，其次要注意复数代数形式的条件，另外对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，解答后进行验算是很必要的．2．形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R

且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数．〔跟踪练习2〕

实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？[解析]

设z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i.(1)要使z为实数，必须有m2－3m＝0，得m＝0或m＝3，故m＝0或m＝3时，z为实数．(2)要使z为虚数，必须有m2－3m≠0，得m≠0且m≠3，故m≠0且m≠3时，z为虚数．

已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，集合P＝{－1,3}，若M∩P＝{3}，求实数m的值．[思路分析]

由集合的运算列出等式关系，再根据复数相等的定义求m的值即可．命题方向3

⇨复数相等典例3『规律方法』复数相等的充要条件是“化复为实”的主要依据，多用来求解参数的值．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与虚部分别相等列方程组求解．〔跟踪练习3〕已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x、y的值．

在下列命题中，正确命题的个数是(

)①两个复数不能比较大小；②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；③若a、b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数．A．0

B．1C．2

D．3准确掌握概念典例4[错解]

两个复数不能比较大小，故①正确；设z1＝mi(m∈R)，z2＝ni(n∈R)∵z1与z2的虚部相等，∴m＝n，∴z1＝z2，故②正确．若a、b是两个相等的实数，则a－b＝0，所以(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，故③正确．综上可知：①②③都正确，故选D．[辨析]

两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解①中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解②将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为bi(b∈R且b≠0)虚数为a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．③中要保证a＋b≠0才可能是纯虚数．[正解]

A

两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①是不正确的；设z1＝a＋bi(a、b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c、d∈R且d≠0)，∵b＝d，∴z2＝c＋bi.当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②是错误的，③当a＝b≠0时，a－b＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，a－b＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误，因此选A．〔跟踪练习4〕

实数m取什么值时，复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分别是(1)纯虚数？(2)实数？两个复数能比较大小时，这两个复数必为实数，从而这两个复数的虚部为0.根据复数的大小求参数的值典例5『规律方法』已知两个复数的大小求参数值时，一般先由复数的虚部为0求得参数的值，再进一步检验复数的大小关系即可．C

2．以3i－1的虚部为实部，以－2＋i的实部为虚部的复数是(

)A．－2＋3i

B．－2i＋3C．－3＋i

D．1－3i[解析]

3i－1的虚部为3，－2＋i的实部为－