3.3 抛物线（精讲）（解析版）

12/123.3抛物线思维导图思维导图常见考法常见考法考点一抛物线的定义【例1】（2020·天津河西.高二期末）已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】抛物线的准线方程为，∵，∴到准线的距离为，故点纵坐标为，把代入抛物线方程可得．不妨设在第一象限，则，点关于准线的对称点为，连接，则，于是故的最小值为．故选B．抛物线的定义，在求解抛物线上的点到焦点的距离，通常将其转化为该点到抛物线准线的距离求解;在求解抛物线上的点到准线的距离，通常将其转化为该点到抛物线焦点的距离求解;抛物线的定义，在求解抛物线上的点到焦点的距离，通常将其转化为该点到抛物线准线的距离求解;在求解抛物线上的点到准线的距离，通常将其转化为该点到抛物线焦点的距离求解;【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（）A．4 B．2 C．1 D．8【答案】C【解析】点A到抛物线的准线：的距离为：，利用抛物线的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.本题选择C选项.2．（2020·全国高二课时练习）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义知，抛物线上一点到焦点的距离为，，解得，故选D.3．（2020·全国高二课时练习）已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】如图所示，利用抛物线的定义知：当三点共线时，的值最小，且最小值为抛物线的准线方程：，本题正确选项：考点二抛物线的标准方程【例2】（2020·全国高二课时练习）设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为（）A．或B．或C．或D．或【答案】C【解析】∵抛物线方程为,∴焦点，设,由抛物线性质,可得，因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即,代入抛物线方程得，所以p=2或p=8.所以抛物线C的方程为或.故答案C.【一隅三反】1．（2020·内蒙古青山。北重三中高二期中（理））抛物线的焦点是直线与坐标轴交点，则抛物线准线方程是()A． B．C． D．【答案】D【解析】抛物线开口向上或者向下，焦点在轴上，直线与轴交点为，故，即抛物线的方程为，故准线方程为，故选D.2．（2020·四川射洪中学高二期中（文））位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为，跨径为，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A． B． C． D．【答案】D【解析】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为.故选D3．（2020·江西高二期末（理））抛物线的焦点为，点是上一点，,则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据抛物线焦半径公式可得：所以本题正确选项：考点三直线与抛物线的位置关系【例3】（2020·安徽高二期末（文））已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=()A． B． C． D．【答案】D【解析】将y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.设交点的横坐标分别为xA,xB,则xA+xB=-4,①xA·xB=4.又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,|FA|=2|FB|,∴2xB+4=xA+2.∴xA=2xB+2.②∴将②代入①得xB=-2,xA=-4+2=-2.故xA·xB==4.解之得k2=.而k>0,∴k=,满足Δ>0.故选D.【一隅三反】1．（2019·四川阆中中学高二月考（文））已知直线与抛物线相切，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，直线与抛物线相切，，双曲线方程为，可得，所以离心率，故选B.2．（2019·辽宁鞍山.高二期中（理））若直线是抛物线的一条切线，则__________．【答案】-4【解析】联立直线和抛物线得到故答案为-4.3．（2020·上海市东昌中学北校高二期末）“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要【答案】A【解析】“直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出“直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：，直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A．考点四弦长【例3】（1）（2019·伊美区第二中学高二期末（理））设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则（）A． B． C． D．（2）（2019·四川省绵阳南山中学高二期中（文））设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）D【解析】由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，，选C．（2）由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D.直线直线的方程然后和抛物线方程联立,再由直线与圆锥曲线的交点弦弦长公式【一隅三反】1．（2020·四川双流.棠湖中学（文））已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（）A． B． C．4 D．1【答案】B【解析】因为抛物线的焦点为，所以代入直线方程得，即，所以直线方程为，与抛物线方程联立得，所以弦长，又点到直线的距离为，所以的面积为,故选B.2．（2020·江西赣州.高二月考（理））抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，过且倾斜角为的直线交于，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由抛物线C:()可知焦点F(0,),由双曲线的上焦点坐标为(0,1),且抛物线的焦点F(0,)是双曲线的一个焦点,可得,得,得抛物线方程为，由题意得直线的方程为,设A,B联立消化简得,则有:,,所以由弦长公式.故选:D.3．（2019·陕西汉台。高二期末（理））已知点，是抛物线：上的两点，且线段过抛物线的焦点，若的中点到轴的距离为2，则（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】设，，则，而的中点的横坐标为，所以.故选C.考点五定点定值【例5】（2019·临泽县第一中学高二期末（文））已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.（1）求抛物线的标准方程；（2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，两点的坐标分别为，，则，，两式相减得.即，又线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，∴，∴.即抛物线的标准方程为.（2）设直线：与抛物线：交于点，，则，，∴，∴，，由得，即，，直线为，∴过定点.【一隅三反】1．（2020·广西崇左.高二期末（理））如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.（1）求抛物线C的方程.（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称【解析】（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，，的方程为.由得.设，，则，∴，，∴抛物线C的方程为.（2）假设满足条件的点P存在，设，由（1）知，①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），由得，，，.∵直线PM，PN关于x轴对称，∴，，.∴，∴时，此时.②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称.2．（2019·陕西新城.西安中学高二月考（文））已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直