计算方法课件-第四章

1第4章数值积分和数值微分§4.1数值积分概论§4.2牛顿-柯特斯公式§4.3复合求积公式§4.4龙贝格求积公式§4.5自适应积分方法§4.6高斯求积公式§4.7多重积分§4.8数值微分2§4.1数值积分概论

我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式求得定积分求定积分的值,Newton-Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：3

(1)被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x)，例如：

Newton-Leibnitz公式就无能为力了。无法用初等函数表示4(2)还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂，例如函数并不复杂，但积分后其表达式却很复杂，积分后其原函数F(x)为：表达式太复杂5(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数关系由表格或图形表示。

无解析表达式6对于这些情况,要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见,通过原函数来计算积分有它的局限性,因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题,这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。

数值积分将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。

7

数值微分同样对于函数f(x)的求导问题，因为在微分学中，函数f(x)的导数是通过极限定义的。若函数是以表格形式给出，或函数的表达式过于复杂时，也需要研究其数值计算方法。这是本章介绍的另一个内容—数值微分。8

数值积分的基本思想

积分值在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积。如图1所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)。建立数值积分公式的途径比较多,其中最常用的有两种：图1数值积分的几何意义

9

（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间[a,b]内存在一点，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为的矩形面积。但是点的具体位置一般是未知的,因而的值也是未知的,称为f(x)在区间[a,b]上的平均高度。那么只要对平均高度提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法。基于积分中值定理10中矩形公式按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。取,得到中矩形公式①中矩形公式y=f(x)ab中矩形公式把[a,b]

的中点处函数值作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分方法。图2中矩形公式11梯形公式取,则得到梯形公式②梯形公式xaby=f(x)ab梯形公式是把f(a),f(b)的加权平均值作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分方法。图3梯形公式12y③Simpson公式by=f(x)a(a+b)/2a(a+b)/2Simpson公式Simpson公式是以函数f(x)在a,b,(a+b)/2这三点的函数值f(a),f(b),的加权平均值作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分方法。图4Simpson公式13（2）先用某个简单函数近似逼近f(x),用代替原被积函数f(x)，即

基于逼近思想以此构造数值算法。14多项式逼近从数值计算的角度考虑,函数应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积分,因此将选取为插值多项式,这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替。15设已知f(x)在节点有函数值,作n次拉格朗日插值多项式式中这里插值求积公式16其中

称为求积系数。插值求积公式多项式P(x)易于求积,所以可取作为的近似值，即17定义1求积公式其系数时，则称求积公式为插值求积公式。插值求积公式18设插值求积公式的余项为,由插值余项定理得其中

当f(x)是次数不高于n的多项式时，有,求积公式才能成为准确的等式。插值求积公式19§4.2牛顿-柯特斯公式

在插值求积公式中,当所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式其中插值多项式求积系数这里是插值基函数。即有20将积分区间[a,b]

划分为n等分,步长求积节点为为了计算系数Ak,由于,所以区间n等分21求积系数作变量代换当时,有,于是可得

22

(k=0,1…,n)

代入插值求积公式,有

称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck

称为柯特斯系数。引进记号

(k=0,1…,n)

则柯特斯系数23容易验证

∵

∴

柯特斯系数性质24显然,Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数f(x)的常数,只要给出n,就可以算出柯特斯系数。当n=1时低阶柯特斯系数当n=2时

25表1给出了n从1～8的柯特斯系数。

当n=8时，从表中可以看出出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。柯特斯系数26

表1柯特斯系数表27梯形公式

在牛顿-柯特斯求积公式中n=1,2,4时，就分别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。(1)

梯形公式当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式定理

（梯形公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为28证:由插值型求积公式的余项其中可知梯形公式的误差为

由于(x-a)(x-b)在[a,b]中不变号,在[a,b]上连续,根据高等数学中的积分中值定理,在[a,b]上存在一点η，使因此

梯形公式2329（2）辛卜生公式当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生公式（或称抛物线公式）定理（辛卜生公式的误差）设在[a,b]上具有连续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为定理证明从略。

辛卜生公式30（3）柯特斯公式当n=4时，牛顿-柯特斯公式为

定理（柯特斯公式的误差）设在[a,b]上具有连续的6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为

定理的证明从略。

柯特斯公式31例1分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分的近似值(计算结果取5位有效数字)(1)用梯形公式计算(2)用辛卜生公式例题32(3)用柯特斯公式计算，系数为

积分的准确值为

可见，三个求积公式的精度逐渐提高。

例题33例2用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数)解:辛卜生公式由于由辛卜生公式余项例题34柯特斯公式

知其误差为例题知其误差为

35

该定积分的准确值,这个例子告诉我们，对于同一个积分，当n≥2时，公式却是精确的，这是由于辛卜生公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。例题36§4.3复合求积公式由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但由于n≥8时的牛顿-柯特斯求积公式开始出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析研究，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。37复合求积公式在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复合求积公式的基本思想。常用的复合求积公式有复合梯形公式和复合辛卜生公式。

381复合梯形公式及其误差将积分区间[a,b]划分为n等分,步长求积节点为在每个小区间上应用梯形公式

求出积分值Ik,然后将它们累加求和,用作为所求积分I的近似值。复合梯形公式及其误差39记

上式称为复合梯形公式。复合梯形公式及其误差40当f(x)在[a,b]上有连续的二阶导数,在子区间上梯形公式的余项已知为复合梯形公式及其误差在[a,b]上的余项41设在[a,b]上连续，根据连续函数的中值定理知，存在，使

因此,余项

复合梯形公式及其误差422

复合辛卜生公式及其误差将积分区间[a,b]划分为n等分,记子区间

的中点为在每个小区间上应用辛卜生公式，则有复合辛卜生公式及其误差43记

称为复合辛卜生公式复合辛卜生公式及其误差

类似于复合梯形公式余项的讨论，复合辛卜生公式

的求积余项为

44如果把每个子区间四等分,内分点依次记同理可得复合柯特斯公式求积余项为

复合柯特斯公式及其误差45复合求积公式的余项表明，只要被积函数发f(x)所涉及的各阶导数在[a,b]上连续，那么复合梯形公式、复合辛卜生公式与复合柯特斯公式所得近似值的余项和步长的关系依次为。因此当h→0(即n→∞)时,都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个快。复合辛卜生公式及其误差46例3依次用n=8的复合梯形公式、n=4的复合辛卜生公式计算定积分解:首先计算出所需各节点的函数值,n=8时，

由复合梯形公式可得如下计算公式：例题47由复合辛卜生公式可得如下计算公式（积分准确值I=0.9460831）

这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复合梯形法只有两位有效数字(T8=0.9456909),而复合辛卜生法却有六位有效数字。例题48例4用复合梯形公式计算定积分,问区间才能使误差不超过解:取,则,又区间长度b-a=1，对复合梯形公式有余项即,n≥212.85，取n=213，即将区间[0,1]分为213等份时，用复合梯形公式计算误差不超过。[0,1]应分多少等份例题49§4.4龙贝格求积公式

复合求积方法对于提高计算精度是行之有效的方法，但复合公式的一个主要缺点在于要先估计出步长。若步长太大，则难以保证计算精度，若步长太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半，直至达到某种精度为止。50变步长的梯形公式1变步长的梯形公式变步长复合求积法的基本思想是在求积过程中，通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长（逐次分半），直至满足精度要求为止。即按照给定的精度实现步长的自动选取。

51变步长的梯形公式设将积分区间[a,b]n等分，即分成n个子区间，一共有n+1个节点，即x=a+kh,k=0,1,…，n，步长。对于某个子区间,利用梯形公式计算积分近似值有

对整个区间[a,b]有52变步长的梯形公式将子区间再二等份,取其中点作新节点,此时区间数增加了一倍为2n,对某个子区间,利用复合梯形公式计算其积分近似值。对整个区间[a,b]有53比较和有变步长的梯形公式当把积分区间分成n等份，用复合梯形公式计算积分I的近似值时，截断误差为

若把区间再分半为2n等份，计算出定积分的近似值

，则截断误差为54

当在区间[a,b]上变化不大时,有所以变步长的梯形公式

可见,当步长二分后误差将减至,将上式移项整理，可得事后误差估计式上式说明，只要二等份前后两个积分值和相当接近，就可以保证计算结果的误差很小，使接近于积分值I。55例5用变步长梯形求积法计算定积分解:先对整个区间0,1用梯形公式,对于

所以有然后将区间二等份,由于,故有

进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值

例题56有

这样不断二分下去。积分的准确值为0.9460831。xif(xi)011/80.99739782/80.98961583/80.97672674/80.95885105/80.93615566/80.90885167/80.877192510.8414709例题572龙贝格求积公式

变步长梯形求积法算法简单，但精度较差，收敛速度较慢，但可以利用梯形法算法简单的优点，形成一个新算法，这就是龙贝格求积公式。龙贝格公式又称逐次分半加速法。根据积分区间分成n等份和2n等份时的误差估计式，可得龙贝格求积公式58龙贝格求积公式由于积分值的误差大致等于,如果用对进行修正时，与之和比更接近积分真值,所以可以将看成是对误差的一种补偿,因此可得到具有更好效果的式子。59考察与n等份辛卜生公式之间的关系。将复合梯形公式

梯形变步长公式龙贝格求积公式代入60故龙贝格求积公式这就是说，用梯形法二分前后两个积分值和作线性组合，结果却得到复合辛卜生公式计算得到的积分值。61再考察辛卜生法。其截断误差与成正比，因此，如果将步长折半，则误差减至，即有

由此可得

可以验证,上式右端的值其实等于Cn，就是说，用辛卜生公式二等份前后的两个积分值Sn和S2n

作线性组合后，可得到柯特斯公式求得的积分值Cn，即有龙贝格求积公式62用同样的方法，根据柯特斯公式的误差公式，可进一步导出龙贝格公式

龙贝格求积公式63在变步长的过程中运用龙贝格求积公式就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛卜生值Sn、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn。64龙贝格求积公式或者说，将收敛缓慢的梯形值序列Tn加工成收敛迅速的龙贝格值序列Rn，这种加速方法称为龙贝格算法（龙贝格公式）。65例6用龙贝格算法计算定积分要求相邻两次龙贝格值的偏差不超过例题解:由题意

66例题67例题68例题69由于，于是有

例题70（1）龙贝格求积法计算步骤用梯形公式计算积分近似值按变步长梯形公式计算积分近似值将区间逐次分半,令区间长度

计算龙贝格求积算法实现3龙贝格求积算法实现71③按加速公式求加速值梯形加速公式：龙贝格求积算法实现龙贝格求积公式：辛卜生加速公式：

72龙贝格求积算法实现④精度控制；直到相邻两次积分值

（其中ε为允许的误差限）则终止计算并取Rn作为积分的近似值，否则将区间再对分，重复②，③，④的计算，直到满足精度要求为止。73§4.5自适应积分方法

略74§4.6高斯求积公式1求积公式代数精度

定义（代数精度）设求积公式对于一切次数小于等于m的多项式或是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数精度。75代数精度由定义可知，若求积公式的代数精度为n，则求积系数应满足线性方程组：76这是关于的线性方程组，其系数矩阵是梵得蒙矩阵,当互异时非奇异,故有唯一解。代数精度77定理n+1个节点的求积公式为插值型求积公式的充要条件是公式至少具有n次代数精度。插值型求积公式78证:充分性设n+1个节点的求积公式为插值型求积公式,求积系数为又

当f(x)为不高于n次的多项式时,f(x)=P(x),其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少具有n次代数精度。插值型求积公式79必要性若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次多项式精确成立,即而取时所以有,即求积公式为插值型求积公式插值型求积公式80例7

设积分区间[a,b]为[0,2]，取时,

分别用梯形和辛卜生公式

计算其积分结果并与准确值进行比较例题81解:梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比较如下表所示例题

f(x)1xx2x3x4ex

准确值222.6746.406.389

梯形公式计算值2248168.389

辛卜生公式计算值222.6746.676.42182从表中可以看出,当f(x)是时,辛卜生公式比梯形公式更精确。

一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。梯形公式和中矩形公式具有1次代数精度，辛卜生公式有3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证例题83取f(x)=1时，

两端相等取f(x)=x时,取f(x)=x2时,两端不相等所以梯形公式只有1次代数精度。两端相等例题84例8试确定一个至少具有2次代数精度的公式

例题85解:要使公式具有2次代数精度,则对f(x)=1,x,x2

求积公式准确成立，即得如下方程组。

解之得，所求公式为：例题86例9试确定求积系数A,B,C使具有最高的代数精度。例题87解:分别取f(x)=1,x,x2

使求积公式准确成立,即得如下方程组所得求积公式为：对于f(x)=1,x,x2,x3都准确成立,对于f(x)=x4

就不准确了，所以此求积公式3次代数精度。例题88由于n+1节点的插值求积公式至少有n次代数精度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式的代数精度。例如插值求积公式

有三个节点至少有2次代数精度，是否有3次代数精度呢？将f(x)=x3代入公式两端，左端和右端都等于(b4-a4)/4,公式两端严格相等，再将f(x)=x4代入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有3次代数精度。验算求积公式的代数精度89

的代数精度。例10考察求积公式例题90解：可以验证,对于f(x)=1,x时公式两端相等,再将f(x)=x2代入公式左端两端不相等,所以该求积公式具有1次代数精度.三个节点却不具有2次代数精度，因为不是插值型的。右端例题91例11给定求积公式如下：

试证此求积公式是插值型的求积公式。例题92证:设,则以这三点为插值节点的

Lagrange插值基函数为例题93例题94由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。插值型求积公式为例题95

例12求证不是插值型的。例题96例题证：设

x0=-1,x1=0,x2=1,

A0=1/2,A1=1,A2=1/2

则以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为97例题积分，得98例题∴插值型求积系数为与原求积公式系数不一致（原求积公式系数若与原求积系数一致，则是插值型的）∴原公式不是插值型的。证毕。99例13给定求积公式试确定求积系数A-1,A0,A1,使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。例题100解：令求积公式对f(x)=1,x,x2准确成立，则有例题解之得101其代数精度至少为2,将f(x)=x3代入求积公式两端相等,而将将f(x)=x4代入求积公式两端不相等,所以其代数精度为3次。例题102例14确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度。例题103解：不妨设a=0,b=h,b-a=h,设所求公式的代数精度为2,则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式,即例题解之得：其中h=b-a,令f(x)=x3代入上式,两端不等,说明求积公式只有2次代数精度。104构造插值求积公式有如下特点：复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被积函数f(x)无关，可以不管f(x)如何，预先算出Ak的值

n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度求积系数之和可用此检验计算求积系数的正确性

插值求积公式的特点105例15求证当节点为n+1个时,插值求积系数之和为例题106

例题证：当节点为n+1个时，插值求积公式有n次代数精度，对于

，上式严格相等，所以取f(x)=1时，上式也严格相等，因此有即107

(1)在积分区间[a,b]上选取节点xk(2)求出f(xk)及利用或解关于Ak的线性方程组求出Ak，这样就得到了(3)利用f(x)=xn,…验算代数精度

构造插值求积公式的步骤构造插值求积公式的步骤1082高斯求积公式的构造与应用在构造形如

的两点公式时,如果限定求积节点,那么所得插值求积公式高斯求积公式的构造与应用的代数精度仅为1。109高斯求积公式的构造与应用但是,如果对式中的系数和节点都不加限制，那么就可适当选取和,使所得公式的代数精度。事实上，若要使求积公式对函数都准确成立，只要和满足方程组110高斯求积公式的构造与应用这个例子告诉我们，只要适当选择求积节点，可使插值型求积公式的代数精度达到最高。这就是本节要介绍的高斯求积公式。可以验证，所得公式是具有3次代数精度的插值型求积公式。代入即得

解之得

111定义：若一组节点x0…xn

∈[a,b],是使插值型求积公式具有2n+1次代数精度。这样的节点称为Gauss点，Ak称为Gauss系数，求积公式称为Gauss型求积公式。高斯求积公式的定义112节点x0…xn

以及系数A0…An

都作为待定系数。是上的权函数。当有限，时即为普通积分。高斯求积公式的定义113

可以证明，n+1个节点的高斯求积公式具有最高不超过2n+1次的代数精度，这就是我们所要讨论的具有最高代数精度的插值型求积公式。高斯求积公式的构造与应用要使求积公式具有2n+1

次代数精度，令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1

代入求积公式精确成立，解出xk和

Ak.114高斯求积公式的构造与应用像构造两点高斯求积公式一样,对于插值型求积公式分别取用待定系数法来确定参数xk和从而构造n+1个点高斯求积公式。但是，这种做法要解一个包含2n+2个未知数的非线性方程组，其计算工作量是相当大的。一个较简单的方法是：115先利用区间a,b上的n+1次正交多项式确定高斯点

(2)然后利用高斯点确定求积系数正交多项式与高斯点求积系数可由Gauss点为节点的n次插值基函数确定显然，Gauss点的设置成为构造Gauss求积公式的关键。116待定系数法（1）待定系数法设被积函数f（x）是任一2n＋1次代数多项式则Gauss型求积公式精确成立，即于是117待定系数法注意到的任意性，则得方程组即118例题例16求Gauss型求积公式的节点及系数。119例题解这里二个节点和二个系数待定，故以上求积公式具有最高3次代数精度。因此对于上式精确成立，从而得到关于和的方程组120例题解出节点及系数所以求积公式为121最高代数精度有而对任意的求积系数证明：对任意选择的n＋1个节点可构造2n+2次代数多项式定理Gauss型求积公式是具有最高代数精度的求积公式122最高代数精度可见插值求积公式不精确成立。123正交多项式（2）利用正交多项式确定求积节点及系数

则称多项式序列{Sn(x)}为在[a,b]上带权w(x)的正交，称Sn(x)为[a,b]上带权w(x)的n次正交多项式.

定义

设Sn(x)是[a,b]上首项系数an≠0的n次多项式，w(x)为[a,b]上权函数，如果多项式序列{Sn(x)}满足关系式124正交多项式

正交多项式可由下面的递推公式生成，即式中125勒让德(Legendre)多项式

当区间[-1,1],权函数w(x)≡1时,由{1,x,…,xn,…}正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式,并用P0(x),P1(x),…,Pn(x),…表示.这是勒让德于1785年引进的.1814年罗德利克(Rodrigul)给出了简单的表达式为递推关系126勒让德(Legendre)多项式由P0(x)=1,P1(x)=x，利用递推关系就可推出127第一类切比雪夫多项式区间为[-1,1]时,取权函数由序列{1,x,…,xn,…}正交化得到的多项式就是切比雪夫多项式，它可表示为若令x=cos，则Tn(x)=cosn，0≤≤π.

Tn(x)=cos(narccosx),

|x|

≤1.

128第一类切比雪夫多项式递推关系可以推出于是得Tn(x)的首项系数为

an=2n-1(n1).129第一类切比雪夫多项式切比雪夫多项式的零点和极值点

切比雪夫多项式Tn(x)在区间[-1,1]上有n个零点.和n+1个极值点(包括端点).这两组点称为切比雪夫点。130第二类切比雪夫多项式区间为[-1,1]时,取权函数由序列{1,x,…,xn,…}正交化得到的多项式就称为第二类切比雪夫多项式，其表达式为递推关系131拉盖尔多项式区间为[0,+∞)时,取权函数由序列{1,x,…,xn,…}正交化得到的多项式就称为拉盖尔(Laguerre)多项式，其表达式为递推关系132埃尔米特多项式区间为(-∞,+∞)时,取权函数由序列{1,x,…,xn,…}正交化得到的多项式就称为埃尔米特(Hermite)多项式，其表达式为递推关系133定理求积公式的节点为Gauss点的充要条件是这些节点为上带权w(x)的n＋1次正交多项式的零点。Gauss点的充要条件134证明必要性。设是Gauss点，于是求积公式具有2n＋1次代数精度。若记则对任何不高于n次的有于是是上带权正交多项式，Gauss点是正交多项式的零点。Gauss点的充要条件多项式135又设f(x)是任意的不高于2n＋1次的多项式，用充分性设是上带权的n＋1次正交多项式的零点，则去除f(x)，其商式记为余式记为于是Gauss点的充要条件136Gauss点的充要条件显然均为不高于n次的多项式。对上式的两边作上带权的积分，即由的正交性得知等式右端第一项积分为零，故有137Gauss点的充要条件

若令其中是关于零点为节点的n＋1次插值基函数。由于是不高于n次的多项式，根据Lagrange插值公式，有等式于是求积公式138Gauss点的充要条件精确成立。又因所以139为节点作被积函数的Hermite插值多项式以n＋1个Gauss点Gauss型求积公式的截断误差截断误差140截断误差141截断误差于是，Gauss型求积公式的截断误差为可以证明，当时，即Gauss型求积公式收敛于连续函数的积分。142常用的Gauss型求积公式（1）高斯-勒让德（Gauss-Legendre）公式积分区间权函数

相应的正交多项式为Legendre多项式。求积系数143高斯-勒让德求积公式截断误差

144中矩形公式n＝0时，节点x0是一次正交多项式的零点，即求积系数求积公式这就是中矩形公式，其截断误差为可知该求积公式具有1次代数精度。145两点高斯-勒让德公式n＝1时，节点是二次正交多项式的零点，求积系数即146两点高斯-勒让德公式113求积公式称为两点Gauss－Legendre公式，其截断误差为因此该求积公式具有3次代数精度。147三点高斯-勒让德公式n＝2时，得到三点Gauss－Legendre公式它具有2n＋1＝5次代数精度。148一般区间的高斯-勒让德公式对于一般区间[a,b]上的积分，总能通过积分变量的代换化为[-1,1]上的积分，即从而能够应用Gauss－Legendre公式。149nxkAk00.00000002.00000001±0.57735031.00000002±0.77459670.00000000.55555560.88888893±0.8611363±0.33998100.34785480.65214524±0.9061798±0.53846930.00000000.23692690.47862870.5688889高斯-勒让德求积公式的节点和系数150例题例17应用Gauss-Legendre公式计算积分解先作变量代换化积分区间[0,]为[-1,1]，令则精确值为-12.0703463151例题应用两点Gauss－Legendre公式，得应用五点Gauss－Legendre公式的计算结果为152例18利用三点高斯-勒让德求积公式计算的近似值。精确值为2.399529

解:由表可知，得到三点高斯型求积公式为由所求公式得例题153常用的Gauss型求积公式（2）高斯-切比雪夫公式积分区间权函数

相应的正交多项式为第一类切比雪夫多项式。求积系数Tn(x)在区间[-1,1]上有n个零点154例19利用两点高斯-切比雪夫求积公式计算的近似值。精确值为解:两点高斯-切比雪夫求积公式的零点为例题求积系数为155常用的Gauss型求积公式（3）高斯-拉盖尔公式积分区间权函数

相应的正交多项式为拉盖尔多项式。求积系数156nxkAk01.1.10.58578643763.0.0.146446609420.2.29428036036.28994508290.71109300990.27851773360.30.32254768961.74576110124.53662029699.39507091230.60315410430.35741869240.0.高斯-拉盖尔求积公式的节点和系数157例20利用三点高斯-拉盖尔求积公式计算的近似值。准确值为0.00980757解:由表可知，得到三点高斯-拉盖尔求积公式为例题158例题由所求公式得159常用的Gauss型求积公式（4）高斯-埃尔米特公式积分区间权函数

相应的正交多项式为埃尔米特多项式。求积系数160nxkAk00.0000000001.77245385091±0.70710678120.2±1.22474487140.00000000.29540897521.1816359006

3±1.6506801239±0.52464762330.0.4±2.±0.95857246460.0000000000.0.39361932320.9453087205高斯-埃尔米特求积公式的节点和系数161例21计算积分。准确值为解:运用高斯-埃尔米特求积公式例题Ak及xk见表。现在f(x)=cosx,表中取节点数目n=4,则有162高斯求积公式是高精度求积公式，其求积系数

,求积公式也是数值稳定的。但它明显的缺点是当n改变时，系数和节点几乎都在改变，因而应用起来十分不便。同时其余项涉及高阶导数，要利用它们来控制精度也十分困难，因此在实际计算中较多采用复合求积的方法。高斯求积的优缺点163譬如，先把积分区间a,b分成m个等长的小区间

然后在每个小区间上使用同一低阶（如两点的、三点的…）高斯型求积公式算出积分的近似值，将它们相加即得积分的近似值。复合高斯求积164§4.7多重积分略165§4.8

数值微分

在微分学中，求函数f(x)的导数通常是可以求得的，但有的比f(x)复杂的多。另外，有时f(x)仅由表格形式给出，则求也不容易。根据函数在若干个点处的函数值去求该函数的导数的近似值称为数值微分。求数值导数也是实际问题经常遇到的，特别当该函数本身未知，但又需要对其求导数时，数值微分方法显得更为重要。

166最简单的数值微分是用差商近似代替导数，即同样，也可用向后差商近似代替导数，即或中心差商的方法，即差商可以看出中心差商是向前差商和向后差商的算术平均值。167可见弦BC的斜率更接近于切线AT的斜率，因此从精度方面看，用中心差商近似代替导数值更可取，则称如右图所示，前述三种导数的近似值分别表示弦线AB，AC和BC的斜率，将这三条通过A点的弦的斜率与切线AT的斜率进行比较后,差商上述三种方法的截断误差分别为、和

168

利用中点公式计算导数,首先必须选取合适的步长，为此需要进行误差分析。分别将在x=a处泰勒展开，有

代入(1),得

差商为求的中点方法。(1)(2)169由式（2）知，当h适当小时：

差商由此可知,从截断误差的角度来看,步长越小,计算结果越准确。但从舍入误差角度,h越小,f(a+h)与f(a-h)越接近,直