点线面之间的位置关系

空间点、线、面之间的位置关系一、空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4（又称平行公理）：平行于同一条直线的两条直线平行；等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么着两个角相等或互补.2、空间中直线与直线之间的位置关系（1）位置关系的分类共面直线相交直线平行直线共面直线相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）异面直线所成的角定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a’〃a,b’〃b,把a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）范围：。，，V2_3、空间中直线与平面之间的位置关系位置关系公共点八、、符号表示直线a在平面a内有无数个公共点aua直线a与平面a相交有且只有一个公共点aa=A直线a与平面a平行没有公共点a//a图形表示4、空间中平面与平面之间的位置关系位置关系图示公共点个数两平面平

行a//P0斜交两平面相

交垂直有无数个公共以p|。=a点在一条直线上有无数个公共点在一条直线上二、直线、平面平行的判定及其性质1、直线与平面平行的判定与性质（1）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行;（2）性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；2、平面与平面平行的判定与性质（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。注：能否由线线平行得到面面平行？（可以。只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，这两个平面就平行）三、直线、平面垂直的判定及其性质1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l与平面a内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面a垂直；（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直;2、平面与平面垂直（1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直；（2）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；（2）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。注：垂直于同一平面的两平面是否平行？（可能平行，也可能相交）【热点难点精析】一、空间点、直线、平面之间的位置关系（一）平面的基本性质及平行公理的应用1、平面的基本性质的应用（1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内；（2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面；（3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。3、公理2的推论：（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面；（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。4、点共线、线共点、点线共面点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。注：要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3,即证点在两个平面的交线上.或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上.证明点线共面的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证明有关的点、线确定平血，再证明其余元素确定平邮，最后证明平面a、p重合。〖例〗如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，ZBAD=ZFAB=900,BC1AD，BE—1FA，G、H分别为FA、FD的中点。A证明：四边形BCHG是平行四边形；C、D、F、E四点是否共面？为什么？思路解析：(1)G、H为中点—GH1AD，又BC—1AD—GH=BC；(2)方法TOC\o"1-5"\h\z22:证明D点在EF、GJ确定的平面内。方法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M'，可证M与M'重合，从而FE与DC相交。解答：(1)\o"CurrentDocument"一1由已知FG=GA,FH=HD,可得GH//—AD又BC//-AD,AGH//BC,：.四边形BCHG为平行四边形。=2(2)方法一：BE//1AF,G为FA中点知，BE//FG,:.四边形8归尸6为平行四边形，=2.：EF//BG.由(1)知BG//CH,:EF//CH,:EF与普共面.又DeFH,:C、D、F、E四点共面.方法二：如图，延长FE,DC分别与AB交于点M,M,VB^—1AF,「・B为MA中点。VBC—1AD,「・B为MA中点，」.M与M'重合，即FE与DC交于点M(M'),「.C、D、2F、E四点共面。【练习】1.正方体AEBABCDABCD中，E、F分别是AB和AA的中点.求证：E、1C、1D、F四点共面；1CE、DF、DA三线共点.［解析］(1)由EF〃CR可得；(2)先证CE与D1F相交于P,再证PeAD.证明(1)如图，连接EF,CD1,A1B.VE、F分别是AB、AA1的中点，...EF〃BA.11又AB〃DC,.EF〃CD,•.•E、1C、"、F四点共面.⑵VEF〃CD,EFVCD,•CE与D1F必相交，设交点为P,则由PeCE,CE平面ABCD,得Pe平面ABCD.同理Pe平面ADDA.又平面ABCDn平面据。A=DA,•Pe直线DA,.CE、DF、DA三线共点.【练习】2.如图所示，，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别玉心CFCG2七…-白;"是边BC、CD上的点，且而=而=板，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点.bfcCBCD3证明VE、H分别为边AB、AD的中点，•EH〃BD日EH-1BD而CF_CG_2..EH〃BD且EH2BD，而CBcd3，FG2...而==，且FG〃BD.BD3四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.VPe直线EF,EF平面ABC,「.Pe平面ABC.同理，Pe平面ADC.•.•P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC三直线交于一点.二、直线、平面平行的判定及其性质（一）直线与平面平行的判定判定直线与平面平行，主要有三种方法：（1）利用定义（常用反证法）；（2）利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线。可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。若题目中出现线段成比例，则往往要考虑构造相似三角形，并利用其性质进行过渡，从而逆用平行线段成比例得到线线平行。如【练习2】.（3）利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。注：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面。〖例〗如图，矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC,BE//CF,ZBCF=900,求证：AE//平面DCF思路解析：作EGXCF于G—AD//EG—AE//DG—AE//平面DCF解答：过点E作EGXCF交CF于G,连接DG,可得四边形BCGE为矩形。又ABCD为矩形，所以AD//EG,从而四边形ADGF为平行四边形，故AE//DG。因为AE二平面DCF,DGu平面DCF,所以AE//平面DCFPE_CF【例2】.P为ABCD所在平面外一点，EgPB,FeAC，且EBFA求证：EF〃面尸⑦

证：连BF交CD于H,连PHAB//CDCF_HFAABFsACFH~FA~~FBPECF_HF在ABPH中Eb—~FA—~FBEF//PH、EF二面PC_D|nEF//面PC_D.PHuPCD••PE【变式训练】.P为平行四边形ABCD所在平面外一点，EgPB,FeAC,且EB求证：ef//pad证明：FA

cF【练习1】.如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，m,N分别是sa,bd上的点，且^M.=ND,求证：MN//平面SBC证明：连接AN并延长交BC于E,连接FA

cF•.•AD//BC,AADNsAEBNBNND【练习2】如图，若PA±平面ABCD,四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF〃平面PCE.证明取PC的中点M,连接ME、MF,则FM〃CD且FM=1CD.乙又..•AE〃CD且AE=1CD,2.•・FM统AE,即四边形AFME是平行四边形..•.AF〃ME，又•.•AFG平面PCE,EMu平面PCE,•.・AF〃平面PCE.（二）平面与平面平行的判定判定平面与平面平行的常用方法有：（1）利用定义（常用反证法）；（2）利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行；a//p（3）利用面面平行的传递性：Y//p（4）利用线面垂直的性质:na//p〖例〗如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长为4,E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点，求证：平面A1EF//平面BCGH（4）利用线面垂直的性质:na//p思路解析：本题证面面平行，可证明平面A1EF内的两条相交直线分别与平面BCGH平行，然后根据面面平行判定定理即可证明。1解答：AABC中，E、F分别为AB、AC的中点，「.EF//BC。又•EF⑦平面BCGH,BCu平面BCGH,「・EF//平面BCGH。又VG>F分别为A1C1,AC的中点，.•.▲$//FC。.四边形A1FCG为平行四边形。.A1F//GC。又-/A1F屯平面BCGH,CGu平面BCGH,.A1F//平面BCGH。又：A1FHEF=F,「・平面A1EF//平面BCGH〖例〗三棱锥P-ABC中，BC=PC=1,AC=2,E、F、G分别是AB、AC、AP的中点。证明：平面GFE//平面PCB；思路解析：利用三角形的中位线性质;解答：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，所以EF//BC,GF//CP。因为EF,GF二平面PCB,所以EF//平面PCB，GF//平面PCB。又EFCGF=F，所以平面GFE//平面PCB。（三）直线与平面平行的性质及应用〖例〗如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大。思路解析：先利用线面平行的性质，判定截面形状，再建立面积函数求最值。解答：•「AB//平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH，AAB//FG，AB//EH，「・FG//EH，同理可证EF//GH，」・截面EFGH是平行四边形。设AB=a,CD=b,ZFGH=a（a即为异面直线AB和CD所成的角或其补角）。xCGyBGTOC\o"1-5"\h\z又设FG=x.GH=y，则由平面几何知识可得,一,aBCbBC\o"CurrentDocument"xyb/、两式相加得+；=1,即y=（a-X）abab，、bsina/、S=FG・GH-sina=x-—（a一x）sina=x（a一x）."EFGHaa,/x>0,a一x>0且x+（a一x）=a为定值，bsina,、absinaa..•当且仅当x=a-x时，x（a—x）一取最大值，此时x一，即当截a42面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时，截面面积最大。注：利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化。在平时的解题过程中，若遇到线面平行这一条件，就需在图中找（或作）过已知直线与已知平面相交的平面。这样就可以由性质定理实现平行转化。至于最值问题，常用函数思想解决，若题目中没有涉及边长，要大胆地设未知量，以便解题。【练习】如图，在三棱柱ABCABC中，E,F,G,H分别是AB,AC,AB,AC的中点，求证：（1）B,C,H,G四点共面；（2）平面EFA〃平面BCHG.''''证明（1）..•GH是AABC1的中位线，.・.GH〃B&.又..•bc"bc.gh/bC,111.•.B,C,1H,G四点共面.（2）.E、F分别为AB、AC的中点，.・.EF〃BC,EFG平面BCHG,BCu平面BCHG,EF〃平面BCHG.•A1G统EB,.・.四边形A1EBG是平行四边形，.•・A；E〃GB.•/AE^平面BCHG,GBu平面BCHG..•.a1e〃平面bChg•.•a1ecEF=E,.・.平面EFA〃平面BCHG（四）平面与平面平行的性质及应用平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想。三种平行关系如图：性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。〖例〗已知，平面a//平面8,AB、CD夹在a、P之间，A、Cea,B、Dep,E、F分别为AB、CD的中点，求证：EF//a,EF//P思路解析：通过作辅助平面，利用面面平行得到线线平行，再证线面平行。解答：当AB和CD共面时，经过AB、CD的平面与a、p分别交于AC、BD0Va//p,.•.AC//BD。又.•AE=EB,CF=FD,「・EF//AC°.ACua,EF二a,「・EF//a，同理EF//P,当AB和CD异面时，如图：在CD现E所确定的平面内，过点E作CD//CD与a、p分别交于点C‘、D’。经过相

交直线AB和C,D’作平面分别交a、P于AC,、BD’。Va//P,「・AC,//BD’，又AE=EB,「・C，E=ED’°・.・C,D’//CD,「.经过C,D’和CD作平面与a、P分别交于C,C和D’D°Va//P,AC，C//D’D。在平面四边形C,D’DC中，VC‘E=ED’，CF=FD,AEF//D’D°VD’Dup,EF二P,AEF//P，同理EF//a。三、直线、平面垂直的判定及其性质（一）直线和平面垂直的判定和性质证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用平行线垂直于平面的传递性"■'，，1（3）利用面面平行的性质；，（，''（4）利用面面垂直的性质。当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直。〖例〗如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若ZPDA=450,求证：MN±平面PCD。\是中点■取PI）中点E\E面\是中点■取PI）中点E\E面PCD思路解析：面PS解答：如图，取PD的中点E,连接AE,NE。v分别为的中点•又TM'为AB的中点-二EN直AM・：.四边形AM\K为平行四边形.二MX//AK.VI?A_平面A.)-/P1.机=45u-.■,△PAD为等腰直蔺三蔺形,AAE_13D.又：(：B_AL).CB—I<-\.ACD—平面PAL).而AEC平面PAD.ACD_AE又CDDPD=D-?-AE_面PCD.L\—平面PCD.H【练习】.如图2-36:已知PA±OQ所在的平面，AB是。O的直径，C是异于A、B的。O上任意一点，过A作AEXPC于E,求证：AE±平面PBC。证明：...？▲［平面ABC,APA±BC,又..•AB是。O的直径，「.BCLAC而PACAC=A,「・BCL平面PAC又.AE平面PAC,ABC±AEVPCXAE且PCHBC=C,AAE±平面PBC。(二)平面与平面垂直的判定证明面面垂直的主要方法是：①利用判定定理。在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理，构造直角三角形，直径所对的圆周角是直角等平面几何的知识证明垂直关系。②用定义证明。只需判定两平面所成二面角为直二面角。③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面。〖例〗如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。求证：BC1//平面CA1D；求证：平面CA1D±平面AAgB。

思路解析：连接AC交八＜于、连接IV：卜E为中点rr.)E/->EC//面CAD(2)|A(-B(|->|AB(L)|-"|A.A-^i£r.■■\HC，|->一如C'【』f—平面AAHH卜卜平面CA【.】平面AABH解答：(1)连接AC1交A1C于E,连接DE,VAA1C1C为矩形，则E为AC1的中点。又D是AB的中点.二在△ARG中・DE〃"又DEU平面〔，\»BC仁平面C\J).二*"平面(3D.(2)VAt=HC1)为AH的中点-二在△ARC中-A1)_CD.又/AA—平面Ai；C.(、DU平面ABC，二AAt_Cn.又AAn，AH=A-ACT.)—平面AA,B,R.又CDu平面CAp.L平面CA1D±平面平面AAgB。【练习】1.已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC1平面PBD。证明:证源正方形ABCD中，AC1BD\nPAJLBDPA1平面ABCD'BDu平面ABCQACu平面PAC,PAu平面PACACflPA=AnBDJ_¥面PAC证明:\nPAJLBDnBDJ_¥面PACBDu平面PBD=＞平面PAC_L平面PBD。2-已知直线PA垂直于。0所在的平面，A为垂足，AB为OO的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC1平面PBC。证明：AB是圆O的直径］>nBC1ACPA1平面ABCBCPA1平面ABCBCu平面ABCnBC1PAACu平面PAC，PAu平面PACAmPA=AnBC1平面PAC〔fh>n平面PAC1平面PBC。BCu平面PBCJ（三）平面与平面垂直性质的应用〖例〗如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD上平面ABCD，AB//DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=45。设M是PC上的一点，证明：平面MBD±平面PAD；思路解析：因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有直线垂直于平面PAD，考虑证明BD±平面PAD；解答：（1）在AABD中，VAD=4tBD=8,AB=4反AAn+Bn=AB\AAD±BD,；史弋面PAD±*ABCD,*PADfl*ABCD=ADBDC*ABCD.二,BD_|_PALXi5LBEC*BDM,A*MBD±*PAU注：（1）当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线。把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线段线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等。

（2）已知面面垂直时，通过作辅助线可转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用，必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系，通过证线面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明书的最常用方法。第二章点、直线、平面之间的位置关系一、选择题设喝p为两个不同的平面，1，m为两条不同的直线，且lua，mP，有如下的两个命题：①若a〃p，则1〃m；②若1±m，则a±p.那么（）.①是真命题，②是假命题①是假命题，②是真命题①②都是真命题①②都是假命题如图，ABCD-A1B1C1D①是真命题，②是假命题①是假命题，②是真命题①②都是真命题①②都是假命题如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（BD〃平面CB1D1AC1±BDAC1±平面CB1D1异面直线AD与CB1角为60°关于直线m，n与平面a，p，有下列四个命题：（第2题）@m#a，n〃p且a〃p，则m〃n；®mXa，n〃p且a〃p，则mXn；其中真命题的序号是（）.①②B.③④®m±a，n±p且aLp，贝0m上n；④m〃a，n±p且a_Lp，则m〃n.C.①④D.②③垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线11，12与同一平面所成的角相等，则11，12互相平行若直线1，1是异面直线，则与1，1都相交的两条直线是异面直线TOC\o"1-5"\h\z12—］，2其中假命题的个数是（）..A.1B.2C.3D.4下列命题中正确的个数是（）.若直线1上有无数个点不在平面a内，^01〃a若直线1与平面a平行，则1与平面a内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行

若直线l与平面a平行，则l与平面a内的任意一条直线都没有公共点TOC\o"1-5"\h\zA.0个B.1个C.2个D.3个两直线11与12异面，过11作平面与12平行，这样的平面（）.A.不存尢B.有唯一的一个C.有无数个D.只有两个把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）.A.90°B.60°C.45°D.30°下列说法中不正确的是（）.....空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形同一平面的两条垂线一定共面过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直TOC\o"1-5"\h\z其中真命题的个数是（）.A.4B.3C.2D.1异面直线a，b所成的角60°，直线a±c，则直线b与c所成的角的范围为（）.A.[30°，90°]B.[60°，90°]C.[30°，60°]D.[30°，120°]二、填空题已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为.P是^ABC所在平面外一点，过P作PO±平面，垂足是O,连PA，PB，PC.⑴若PA=PB=PC，则O为AABC的心；（2）PA±PB，PALPC，PC±PB，则O是^ABC的心、；（3）若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则。是^ABC的心；⑷若PA=PB=PC，ZC=90O,则O是AB边的点；⑸若PA=PB=PC，AB=AC，则点O在AABC的线上.如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将^ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为.直线l与平面所成角为30°，ln=A，直线me，则m与l所成角的取值范围是.棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d，d，d，d，则d+d+d+d的值12341234为.三、解答题在四面体ABCD中，AABC与ADBC都是边长为4的正三角形.

求证：BC±AD；如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2,BB=BC=1,E为DC的中点，连结ED,EC,EB和DB.18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3,BC=4,

18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3,BC=4,

（I）求证：AC±BC1；（II）求证：AC1//平面CDB］；AA1=4AB=5，点D是AB的中点，如图，平面ABCDX平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=1AD=a,G是EF的中点，求证平面AGC±平面BGC.如图所示的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面，（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，使SA±平面ABCD，并指出各侧棱长；（2）在（1）的条件下，过A且垂直于SC的平面分别交于SB、SC、SD于E、F、G.求证AE±平面SBC.

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD1底面ABCD,PD=DC，E是PC的中点.证明PA//平面EDB；求证:平面BDE±平面PBC.1在四棱锥P-ABCD中，APBC为正三角形，ABL平面PBC，AB〃CD，AB=gDC，E为PD中点.A求证:AE〃平面PBC；求证：AE±平面PDC.23.如图，P为AABC所在平面外一点，PA1平面ABC，ZABC=90。，AE1PB于E，AF1PC于F，求证：(1)BC1平面PAB；(2)AE1平面PBC；(3)PC1平面AEF.第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案一、选择题D解析：命题②有反例，如图中平面C平面lu,mu，且l〃n,m±n,则m±l,显然平面不垂直平面，故②是假命题；命题①显然也是假命题，D解析：异面直线AD与CB1角为45°.D解析：在①、④的条件下，m,n的位置关系不确定.D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D.B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD夕卜，但A%与平面ABCD相交，①不正确；A1B1#平面ABCD,显然A1B1不平行于BD，'不正确；AB/AB^B]〃平面ABCD,但aBu平面ABCD内，不正确；l与平面a平行，则l与无公共点，l与平面内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B.B解析：设平面过l「且l2〃，则l1上一定点P与l2确定一平面，与的交线l3〃l2,且l过点P.又过点P与l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l「和2l3的平面是唯一的，即过l1且平行于l2的平面是唯一的.3C解析：当三棱锥D-ABC体积最大时，平面dAc±ABC,取AC的中点O,则△DBO是等腰百角三角形，即/DBO=45°.D解析：A.一组对边平行就决定了共面；B.同一平面的两条垂线互相平行，因而共面;C.这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D.把书本的书脊垂直放在桌上就明确了.B解析：因为①②④正确，故选B.A解析：异面直线a,b所成的角为60°,直线c±a，过空间任一点P,作直线a’〃a,b’〃b,c’〃c.若a’，b’，c’共面则b’与c’成30°角，否则b’与c’所成的角的范围为（30°,90°],所以直线b与c所成角的范围为[30°,90°].二、填空题3<2515253.解析：设三条侧棱长为a,b,c.则1ab=S,—bc=S,—ca=S三式相乘：2122231..—a2b2c2=S1S2S3,.・.abc=2M'S55.123・.・三侧棱两两垂直，..・V=—abc•—=—,.;2555.323^123

12.外，垂，内，中，BC边的垂直平分.解析：(1)由三角形全等可证得O为AABC的外心；由直线和平面垂直的判定定理可证得，O为AABC的垂心；由直线和平面垂直的判定定理可证得，O为AABC的内心；由三角形全等可证得，O为AB边的中点；由(1)知，O在BC边的垂直平分线上，或说O在ZBAC的平分线上.13.60°.解析：将AABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为60°14.[30°，90°].解析：直线l与平面所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在内适当旋转就可以得到l^m，即m与l所成角的的最大值为90°.解析：作等积变换：1xilx(d+d+d+d)=1x£・h，而h=^6.TOC\o"1-5"\h\z341234343三、解答题A证明：(1)取BC中点O,连结AO,DO.术、VAABC，ABCD都是边长为4的正三角形，/AAOX