高等数学A课件：30－第30讲 定积分的应用三

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第三十讲定积分的应用(三)——

微积分在物理中的应用及其他应用第七章定积分的应用本章学习要求：掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第七章定积分的应用第五节定积分在物理及其他方面的应用一、变力做功二、液体的静压力四、求极限三、质量分布不均匀物体的质量五、连续函数的平均值一、变力沿直线做功例1解例2解二、液体的静压力例3解2m2x2－x三、质量分布不匀的线状物体的质量四、求极限五、连续函数的平均值例解例在r

轴的坐标原点处置一电量为q

的正电荷,在由它产生的电场的作用下,一单位正电荷从r=a处沿r

轴移动到r=b点(0<a<b),求电场力所作的功w

解由库伦定律知,单位正电荷在距离正点电荷q为r处,所受的电场力的大小为考虑在部分区间[r,r+r]上电力场所作的功w.由于F(r)连续,故当r

很小时

,F(r)在[r,r+r]上近似不变的所以可用可证从a

到b积分得例设40牛的力使弹簧从自然长度10cm

拉长成15cm,问需要作多大的功才能克服弹性恢复力,将伸长的弹簧从15cm

处再拉长3cm?解据胡克定律

,

有因为F(0.05)=40(伸长5cm)所以,弹簧从15cm拉长到18cm所作的功(焦耳)例比重为0.5的球抛入水中,待球静止后将球压入水中,使其顶端与水面相齐,问压球应作多少功

.解设球半径为R,则比重为0.5的球在静止时,其最低处离水面的距离为R(F浮=ρ水V排g=ρ球V球g=F重V排=V球)而将球完全压进水内时,最低处离水面的距离为2R当球的最低处离水面为

h(h

R)时,浸入水中的球体体积为当球的最低处由h(>R)推到h+dh

时,作功于是将球完全压进水内需作功例从深井中吊水,一吊桶自重4公斤,缆绳2公斤/m,用缆绳从30m深的水井吊水,初始时桶内装有40公斤的水,并以2m/秒的速度匀速上升,且桶内水以0.2公斤/秒速率从桶壁小孔

流出,问将水吊至井口需作多少功?解取坐标如图所示将水吊至井口所作的功w

=拉起缆绳所作的功w1+拉起吊桶所作的功w2+提水所作的功w3(1)拉起缆绳所作的功w1在缆绳上取一微元段[x,x+x],将其提至井口所作的功为:(2)拉起吊桶所作的功w2(3)提水所作的功w3吊一桶水需要时间:(秒)在时刻t,桶中的水的质量:(公斤)在[t,t+t]时间段,水被提升的距离:所作的功为所以将水吊至井口所作的功:3º其它的应用例人体心脏输出的血液量的测量数学模型的建立:人的心血管系统运行图:血液静脉右心房肺动脉肺部(氧合作用)肺静脉左心房主动脉身体的其余部位心脏的输出:单位时间心脏送出的血液量,即流向动脉的流速染料稀释法是用来测量心脏输出的方法:染料注入右心房,并从心脏流入动脉,在动脉内插入一探针,在[0,T]内,以相同的间隔测量染料的浓度直至染料全部流逝设c(t)

是时刻t时的染料浓度;F

是血流速度(单位时间流过的血液量(为常数)),则在[t,t+t]时间段内,流过的染料量:染料总量:所以已知注入右心房的染料总量为5(毫克),染料浓度c(t)(mg/L)测得如下表:

t012345678910c(t)0.00.42.86.59.88.96.14.02.31.10.0根据上表,利用Si