2019-2020学年安徽省池州市贵池区高二上学期期中教学质量检测数学(理)试题(解析版)

第第页共25页•••SABCD为正四棱锥,••ACBD,。为AC、BD中点，SO面ABCD,又•AC,BD面ABCD,SOAC,SOBD,又ACBD,SOBDO,••AC面SBD,•ACBD,EF//BD,ACEF,又•••ACPE,且PEEFE,AC面PEF,又AC面SBD,.••面PEF//面SBD,又面PEFI面SDCPF,面SBDI面SDCSD,PF//SD,.P点在线段GF上运动，因为正方形ABCD的边长为4,TOC\o"1-5"\h\z1 - -OD -BD — 4、222,\o"CurrentDocument"2SO BD,SO 4技SDOD2SO22.-4,••EF//BD,E为BC中点，••F为CD中点，同理，G为SC中点，GF-SD-4.2

本题考查了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，考查了平面与平面平行的判定和性本题考查了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，考查了平面与平面平行的判定和性质定理，属于中档题三、解答题17.已知在ABC中，A1,2,B4,4,点C在抛物线y=x2上.(1)求ABC的边AB所在的直线方程；(2)求ABC的面积最小值，并求出此时点 C的坐标；(3)若Px,y为线段AB上的任意一点，求丫的取值范围.x【答案】(1)2xy40(2)ABC的面积最小值为3,此时C点坐标为1,1.(3)2,1【解析】(1)直接由两点式可得直线方程；(2)设点C坐标为t,t2，利用点到直线的距离求出点C到AB的距离，再根据二次函数知识求出这个距离的最大值，以及取得最大值的条件，再根据面积公式可求得面积的最大值，根据取得最大值的条件可求得点 C的坐标；⑶根据丫的几何意义，转化为OA,OB的斜率，结合图象可得答案.x【详解】解：（1）•••A1,2,B4,4,•••直线AB的方程为——，即412xy4•••直线AB的方程为——，即412xy40.t,t2,(2)设点C坐标为又-IAB& 422押,i1____SABC21ABd3,ABC的面积最小值为3.当且仅当t1时等号成立，此时C点坐标为1,1(3) Px,y为线段AB上任意一点,•••Y的几何意义为坐标原点O0,0与线段AB上的点所确定直线的斜率,x即y的几何意义为当直线xOP即y的几何意义为当直线xOP与线段AB有交点时，直线OP的斜率，如图所示：【点睛】本题考查了直线方程的两点式，考查了点到直线的距离公式，考查了斜率公式，数形结合本题考查了直线方程的两点式，考查了点到直线的距离公式，考查了斜率公式，数形结合思想，考查了二次函数求最值，考查了抛物线方程，属于中档题思想，考查了二次函数求最值，考查了抛物线方程，属于中档题.18.如图，在四棱锥PABCD中，E为棱PC中点，底面ABCD是边长为2的正方形，PAD为正三角形，平面ABE与棱PD交于点F,平面PCD与平面PAB交于直线l,且平面PAD平面ABCD.(1)求证：l//EF;(2)求四棱锥PABEF的表面积.【答案】(1)证明见解析(2)2J3【解析】(1)根据直线与平面平行的判定定理得 AB//面PCD,根据直线与平面平行的性质定理得AB//EF,同理AB//1,再根据平行公理4可证l//EF,(2)利用三角形的面积公式和直角梯形的面积公式计算五个面的面积再相加即可得到答案.【详解】解：(1)如图所示：P4 B•••ABCD为正方形，AB//CD,aAB面PCD,CD面PCD,..AB//面PCD.E为PC中点，平面ABE与^^PD交于点F,，面ABEFI面PDCEF,AB//EF.同理AB//1,•••l//EF.(2)由(1)知AB//EF,又「AB//CD,•••EF//CD,1”)又「E为PC中点，，F为PD中点，且EF-CD1,又「PAD正三角形，且边长为2,AFPD,AFJ3,PF1,1 .3••SPAF-PFAF--.2 2ABCD为正方形，ABAD,又面PAD面ABCD,面PADI面ABCDAD,AB面PAD,又AF面PAD,ABAF.又•••AB//EF, ABEF为直角梯形，SabefAB面PAD,PA面PAD,ABPA.c 1 18PAB -AB PA - 222.2同理Spcd2,

…SPEF…SPEF1sSPCD4ABPA，pbTab2pa2J2222272，同理PCPB2.,2,又BC2，•一Spbc2又BC2，•一Spbc2BC「PB22BC2又「E为PC中点，•••Spbe1二SPBC2,72四棱锥PABEF的表面积SPAF SSPAF SPAB SPBE SPEFSABEF2.35二.2 2【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理 ，性质定理，平行公理4,考查了平面与平面垂直的性质定理，考查了三角形和梯形的面积公式 ，本题属于中档题.19.如图所示，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E,F分别在线段BC,AD上，EF//AB,将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为 MNEF,且平面MNEF，平面ECDF.⑴在线段BC⑴在线段BC是否存在一点E,使得NDXFC,若存在，求出EC的长并证明；若不存在，请说明理由.(2)求四面体N-EFD体积的最大值.【答案】(1)见解析； (2)2.【解析】(1)EC=3时符合；连接ED,交FC于点O,先证明FCL平面NED,再证明ND±FC.(2)设NE=x,则FD=EC=4-x,其中0<x<4,再求出… 1八 一1 , 一……一一……八 VNFED —SEFD NE —x4 x，再利用基本不等式求四面体 N-EFD体积的取大值2【详解】(1)证明：EC=3时符合；连接ED,交FC于点O,如图所示.・•・平面MNEFL平面ECDF,且NEXEF,平面MNEF平面ECDF=EF,NE?平面MNEF,•.NEL平面ECDF.•••FC?平面ECDF, FC±NE.

•••EC=CD••・•••EC=CD••・四边形ECDF为正方形，FCXED.又.EDnNE=E,ED,NE?平面NED,FC,平面NED.•••ND?平面NED,..ND±FC.(2)设NE=x,则FD=EC=4-x,其中0<x<4,由⑴得NEL平面FEC,•••四面体NEFD的体积为Vnfed•••四面体NEFD的体积为Vnfed21 x4 x所以Vnfed 21 x4 x所以Vnfed 2 22,当且仅当x=4-x,即x=2时,当且仅当x=4-x,即x=2时,【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明， 考查体积的最值的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力 .20.如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC//平面DEFG,AD平面DEFG,ABAC,EDDG,EF//DG.且ABADDEDG4,ACEF2.(1)求证：BF〃平面ACGD;(2)求二面角DCGF的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)叵6【解析】(1)取DG中点H,连接FH、AH，通过证明EFHD为平行四边形，可证ED//FH，且EDFH，通过证明ABFH为平行四边形，可证BF//AH，根据直线与平面平行的判定定理可证BF//面ACGD;(2)以D为坐标原点，以DE所在直线为x轴，以DG所在直线为y轴，以DA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系后，利用平面的法向量可求得结果.【详解】(1)取DG中点H,连接FH、AH,如图所示：EF1,H为DG中点，DG2,EFDH,又「EF//DG,1•EFHD为平行四边形,••ED//FH，且EDFH,.面ABC//面DEFG,且面ABCI面ABEDAB,面DEFGI面ABEDED,AB//ED,又「ABED,ED//FH且EDFH,••AB//FH，且ABFH,••ABFH为平行四边形，BF//AH,又BF面ACGD,AH面ACGD,••BF〃面ACGD.(2)以D为坐标原点，以DE所在直线为x轴，以DG所在直线为y轴，以DA所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则D0,0,0,C0,1,2,G0,2,0,F2,1,0ur设平面CGF的法向量为m x1,y1,1,uuur uuur.GF2,1,0,GC0,1,2,ULUVvGFm2x1y10ULUVvGC吊y120

X1 1% 2,irm1,2,1,同理，面DCG的法向量irr同理，面DCG的法向量irrur'.mncos（m，n）-ir-r-' /mnn1,0,0,112010、6. ■1222121 6二面角DCGF的余弦为叵.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理 ，考查了二面角的向量求法，关键是正确建系，求出平面的法向量，本题属于中档题.21.在平面直角坐标系中，已知直线 l的方程为3xk2y3k60，kR.(1)若直线l在x轴、y轴上的截距之和为-1,求坐标原点O到直线l的距离；(2)若直线l与直线I，：3x2y50和I2：xy10分别相交于A、B两点,点P0,3到A、B两点的距离相等，求k的值.【答案】(1)一(2)k115【解析】(1)根据直线l在x轴、y轴上的截距之和为-1,列等式可得k 2,从而可得直线l的方程，再用点到直线的距离公式可得答案 ；(2)先判断得点P为线段AB的中点，设出Aa,b,根据中点公式求出Ba,6b,将其代入直线l,代入直线l,可解得A的坐标，再将A的坐标代入l的方程可解得k11.1,1,即3x4y120.[12| 12.32—42 —(1)解法一：令x0得横截距y03；令y0,得横截距％k2；则有k23 1,解得k2,此时，直线l的方程为—y43坐标原点O到直线l的距离d(2)•••点P0,3在直线l上，且点P到A、B距离相等,点P为线段AB的中点,如图所示：如图所示：点£是$口上的点，且DE(1)求证：对任意白点£是$口上的点，且DE(1)求证：对任意白0,2，都有ACBE设直线l与l1：3x2y50的交点为Aa,b,则直线l与旧xy10的交点Ba,6b3a2b50a 6b10解得A3,2.又丁点A在直线l上，..33k223k60,解得k11.【点睛】本题考查了截距的概念，考查了点与直线的位置关系，考查了直线与直线的交点，考查了点到直线的距离公式，属于基础题22.如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SD2a,ADJ2a,a(0 2)(2)设二面角C-AE-D的大小为 ，直线BE与平面ACE所成的角为若cos J3sin，求的值.【答案】（1）见解析； （2） 夜.【解析】（1）因为SDL平面ABCD,BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理只要证AC±BD即可.（2）先找出。计算出cos。再找到，求出点。到BE的距离，再求出sin，解方程cos J3sin得到的值.【详解】（1）证明：连接BE、BD,由底面ABCD是正方形可得ACXBD.,「SD，平面ABCD, BD是BE在平面ABCD上的射影，AC±BE（2）解：由SDL平面ABCD知，ZDBE=）,.SD，平面ABCD,CD?平面ABCD,SDXCD.又底面ABCD是正方形，.,.CDXAD,而SDHAD=D,CD,平面SAD.连接AE、CE,过点D在平面SAD内作DFXAE于F,连接CF,则CFXAE,故/CFD是二面角C-AE-D的平面角，即ZCFD=）.在Rt^ADE中，•••AD=72a,DE=Xa，AE=a^^~2ADDE2aTOC\o"1-5"\h\z从而DF= =AE「2在Rt^CDF中，tan0£D-=A 2,所以cos,9 .DF .222过点B作E