2018-2019学年浙江省丽水市高二第二学期期末教学质量监控数学试题解析版

iiii【答案】(y,-2]U(0,2]【解析】【分析】构造函数F(x)=f(X-,F'(x):Xf'(x)；f(x),根据条件可知，当x>0时，X xF'(x)>0,F(2)=0,根据单调性可得*W(0,2]时5(刈£0,则有“乂)£0；当乂<0时，同理进行讨论可得.【详解】由题构造函数F(x)=3,求导得f'(x)=xf'(x)；f(x),x x当x>0时，F'(x)>0,所以F(x)=f(^在(0,收)上递增，x因为f(2)=0,所以F(2)=0,则有xw(0,2]时F(x)W0,那么此时f(x)<0;xw|2,z闪F(x)“，那么此时f(x)>0；当x<0时，f(x)为奇函数，则F(x)是偶函数，根据对称性，xw(㈤,2]时F(x)20,又因F(x)=fl^l,故当xW(口,—2]时，f(x)E0；x综上f(x)E0的解集为(㈤,-2]50,2].【点睛】本题考查求不等式解集， 运用了构造新函数的方法， 根据讨论新函数的单调性求原函数的解集，有一定难度.18.如图，在棱长为2的正方体ABCD—ABCiDi中，E是棱CCi的中点，F是侧面! IBCC1B1内的动点(包括边界)，且AF//平面D1AE,则锯FB1的最小值为一.

【解析】【分析】根据题意ABCD-A1B1C1D1,可知2 _ 2 . . 2.FA1FB1=(FB1+B1A)FB10FB1|+B1AFB1=|FB1|,即求|FB1|的最小值.在侧面BCGB内找到满足AF//平面DiAE且|FB112最小的点即可.【详解】TT——T—2_cc，, 由题得faFBi=(FBi+BA)FBi=|FBi|,取BB1中点H,BG中点G,连结AG,AH,GH,；AH//D1E,AH//平面D1AE,；GH//AD1,，GH//平面D1AE,二平面GA1H//平面D1AE,A1F//平面D1AE,故Fu平面GAH，又F=平面BCGB,则点f在两平面交线直线GH上，那么FBi的最小值是FB〔_LGH时,1BG=B1H=1,则|FB1|2二一为最小值.2本题考查空间向量以及平面之间的位置关系，有一定的综合性2 2 119.已知P为椭圆1 ,与l2:y=——x上,319.已知P为椭圆1 ,与l2:y=——x上,3ab 3且PMI八2,pN//l1,若PM2+PN2为定值，则椭圆的离心率为设P(Xo,y°),求出M,N的坐标，得出PM2+PN2关于Xo,yo的式子，根据P在椭圆上得到a,b的关系，进而求出离心率设P(x设P(xo,y°),则直线pm的方程为1 x0y=——x+」+y0,直线PN的方程为3 31 x yy=-x-—+1 x yy=-x-—+yo,联立方程组\3 3y1 .xo=，xT y03 3 ,解得M1二一x31 x。y晨x--y0联立方程组3 3 3 ,解得1 x。y晨x--y0联立方程组3 3 3 ,解得N(x0--y0,1 2 2…3xXoPM2PN2=(xo 3yoXoyo、2又点P在椭圆上，则有a2—b2=8a2 飞\2〃0 yO2 〃0 3 2,内y0\2 52) (- ) (--y0) (— ―)=二％6 2 2 2 6 2 9.22 22 2.2 1，52bXo ayo=ab,因为一x09+5y；为定值，则b25y2a2.52.3e二 3本题考查椭圆离心率的求法，有一定的难度评卷人得分三、解答题20,已知圆C：x2+y2—2mx—3=0(mwR).（I）若m=1,求圆C的圆心坐标及半径;（n）若直线l:x—y=0与圆C交于a,b两点，且AB=4,求实数m的值.【答案】（i）（x—1）2+y2=4,圆心坐标为（1,0）,半径为2；（n）m=±J2（I）将m=1代入圆C的方程，化为标准方程的形式，即可得到圆心坐标和半径； （n）|m|一一一将圆C化为标准方程（x-m）+y=m+3,圆心到直线l的距离为~^j2,圆的半径已知，|AB|=4,则有知，|AB|=4,则有2+4=m2+3,解方程即得m。(i)当m=1时，x2+y2—2x—3=0,化简得(x—1)2+y2=4,所以圆心坐标为（1,0）,半径为2。(n)圆C:(x-m)2+y2=m2+3,设圆心(m,0)到直线l:x—y=0的距离为d,则d=m、、22因为AB=4,所以d2+4=m2+3即 +4=m2+3,所以m2=22所以m二..2【点睛】本题考查含有参数的圆的方程，属于基础题。21.如图，三棱柱ABC-A1B1Ci中，平面ABC_l平面AABiB,2_AB=BC=AC=AA=2,/ABB1=——.3(I)证明：AB_LAC;(n)求直线AB与平面BBiCiC所成角的正弦值.【答案】(I)见解析；(n)近5【解析】【分析】(I)如图做辅助线，D为AB中点，连AD,AB,由△ABC是等边三角形可知CD_LAB,31/BAA,=一，且届A1,则&BAA是等边三角形，AB_LAD,故AB_L平面CDA,3ACu平面CDA1,那么AB_LAC得证。(n)建立空间直角坐标系以D为原点，先根据已知求平面BCC1B1的一个法向量n,再求向量AB1,设直线AB与平面BCGB所成的角为二,则since=|coscAB1,n可，计算即得.【详解】(I)取AB中点D,连AD,AB,因为AB=BC=AC=AA=2,/BAA1=60所以CD-LAB,AB_LAD,所以AB_L平面CDA因为ACc平面CDA所以AB_AC.

(n)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,可得A 1,0,0 ,A 0,、、3,0 ,B -2,、.3,0 ,C 0,0,、3,B -1,0,0则设平面BCGB1的一个法向量为n=(x,y,z)则T-x,3y=0而《广x-.3z=0所以n=(J3,1,—1).又ABi=(—2,0,0),设直线ABi与平面BCGB所成的角«,贝Usina=贝Usina=cosA1B1,n243 .15.52 53【点睛】本题考查两条直线的位置关系和立体几何中的向量方法，是常见考题 ^22.如图，已知三点A,P,Q在抛物线C：x2=8y上，点A,Q关于y轴对称(点A在第一象限)，直线PQ过抛物线的焦点F.8(I)若AAPQ的重心为G8,3।求直线AP的方程;(n)设AOAP,2FQ的面积分别为S2,S2,求S2+S2的最小值.【答案】(I)AP:5x-4y-8=0；(n)3272-32【解析】【分析】(I)设A,P,Q三点的坐标，将重心表示出来，且 A,P,Q在抛物线上，可解得A,P两点坐

标，进而求得直线AP;(n)设直线PQ和直线AP,进而用横坐标表示出S2+S2,讨论求得最小值。X22yi y2—, 3 3【详解】(I)设A(xi,yi),P(x2,y2X22yi y2—, 3 3工x2=8~ 33 ~一1、所以《33，所以A(2,—),P(8,8)，所以AP:5x—4y—8=012yi72_3 2 ',3一(n)设PQ：y=mx+2y=mx2 2由42得x—8mx—16=0，所以(—x1区=—16，即22=16x=8y又设AP:y=kxn,y=kxn由《2得x—8kx-8n=0,所以x1x2=-8n=16，所以n=-2x=8y所以AP:y=kx—2，即AP过定点E(0,-2x2-Xi|=xx2-Xi|=x2-Xi所以S)=S&AP=S#EP—S#EA——|OE||一一 1__IiIS2=S④FQ=2'|OF|x1=x1所以G2+S；=(x2-x12+x12=x；-32+2xj>2V2x2x2-32=3272-32当且仅当x_24x_24时等号成立当且仅当x1一2,x2—2所以S+S；的最小值为3272-32【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质、 直线与抛物线的位置关系以及圆锥曲线中的最值问题，属于抛物线的综合题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法： 一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决， 非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法 ^2 ， ~23.已知函数f(x)=lnx+——a(a=R).x(i)当a=3时，求f(x)在(e,e3)上的零点个数;

(n)当a<3时，若f(x)有两个零点x/x2,求证：4<x1+x2<3e-2【答案】(I)有一个零点； (n)见解析【解析】【分析】3、(I)对函数求导，将a=3代入函数，根据函数在(e,e)单调性讨论它的零点个数。(n)根据函数单调性构造新的函数，进而在各区间讨论函数零点个数，证明题目要求。【详解】TOC\o"1-5"\h\z一,-12 x-2 -因为f(x)=——==——,f(x米(0,2)上递增，(2,十七)递减xx x2 2 0 2 2e eef(2)<0,即ln2+1-a<0=a<1+ln2.>4u4-x1<x2e eef(2)<0,即ln2+1-a<0=a<1+ln2.>4u4-x1<x2因为2<4—x1<4,x2A2f(x应(e,e3)上有一个零点(n)因为f(x冶■两个零点，所以设0cxi<2ex2,则要证％+x2又因为f(x肝(2,+如)上单调递增，所以只要证 f(4—xi)<f(x2)=f(%)=0设gx=fx-f4-x(0：x：2)2x-24-x-2 8x-2则g'x=f'x-f'4-x 2= 2：二0x4-xx4-x所以g(x)在(0,2)上单调递减，g(x)>g(2)=0,所以x+x2A4因为f(x)有两个零点XE,所以f(xi尸f(x2)=0方程f(x)=0即ax—2—xlnx=0构造函数h(x)=ax—2-xlnx,贝tjh(x尸h(x2)=0h'(x尸a-1-lnx,h'(x)=0=x=ea^,iEp=ea^>2(a>1+ln2)则h(x)在(0,p)上单调递增，在(p,—)上单调递减，所以hh(p)>0x1px2设r(x)=inx.2(xZP.).inp,R7x)」一^^=1^,。xp xxpxxp所以R(x)递增，当xAp时，R(x)AR(p)=0当0<x<p时，R(x)<R(p)=0所以ax1-2=x11nxi::^x1x1~~—x11npXip2c 2. .即ax-2Xip二2xi-2pxXiInpxplnp(2+Inp—a)Xi2+(2-ap-2p+p1np)Xi+2p>0(p=ea，np=a—1)所以Xi2+(2-3