山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件

考点一线段、周长问题

例1(2017·滨州中考)如图，直线y＝kx＋b(k，b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)，B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C.考点一线段、周长问题(1)求直线y＝kx＋b的函数解析式；(2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．(1)求直线y＝kx＋b的函数解析式；【分析】(1)利用待定系数法可求得直线解析式；(2)利用相似三角形的判定与性质可得到d与x的函数关系式，结合二次函数的性质可得点P的坐标；(3)先确定点E的位置，再利用(2)中的结论解答即可．【分析】(1)利用待定系数法可求得直线解析式；【自主解答】

(1)∵y＝kx＋b经过A(－4，0)，B(0，3)，∴直线的函数解析式为y＝x＋3.【自主解答】(2)如图，过点P作PH⊥AB于点H，过点H作x轴的平行线MN，分别过点A，P作MN的垂线段，垂足分别为M，N.(2)如图，过点P作PH⊥AB于点H，过点H作x轴的平行线M设H(m，m＋3)，则M(－4，m＋3)，N(x，m＋3)，P(x，－x2＋2x＋1)．∵PH⊥AB，∴∠PHN＋∠AHM＝90°.∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°，∴∠MAH＝∠PHN.∵∠AMH＝∠PNH＝90°，∴△AMH∽△HNP.设H(m，m＋3)，则M(－4，山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件(3)如图，作点C关于直线x＝1的对称点C′，过点C′作C′F⊥AB于F，交抛物线的对称轴x＝1于点E，此时CE＋CF的值最小．根据对称性，易知点C′(2，1)．∵点C′在抛物线上，∴由(2)得，C′F＝

即CE＋EF的最小值为

(3)如图，作点C关于直线x＝1的1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(－1，0)和点B(1，0)，直线y＝2x－1与y轴交于点C，与抛物线交于点C，D.1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)求点A到直线CD的距离；(3)平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G，P，Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．(1)求抛物线的解析式；解：(1)直线y＝2x－1，当x＝0时，y＝－1，则点C坐标为(0，－1)．设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c.∵点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，－1)在抛物线上，∴抛物线的解析式为y＝x2－1.解：(1)直线y＝2x－1，当x＝0时，y＝－1，(2)直线y＝2x－1，当y＝0时，x＝.如图，过点A作AF⊥CD于点F.设直线CD交x轴于点E，则E(，0)．(2)直线y＝2x－1，当y＝0时，x＝.山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件(3)∵平移后抛物线的顶点P在直线y＝2x－1上，∴设P(t，2t－1)，则平移后抛物线的解析式为y＝(x－t)2＋2t－1.联立化简得x2－(2t＋2)x＋t2＋2t＝0，解得x1＝t，x2＝t＋2，即点P，Q的横坐标相差2，(3)∵平移后抛物线的顶点P在直线y＝2x－1上，△GPQ为等腰直角三角形，可能有以下情形：△GPQ为等腰直角三角形，可能有以下情形：①若点P为直角顶点，如图1，则PG＝PQ＝

∴OG＝CG－OC＝10－1＝9，∴G(0，9)．①若点P为直角顶点，如图1，②若点Q为直角顶点，如图2，则QG＝PQ＝

同理可得G(0，9)．③若点G为直角顶点，如图3，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为点M，N.此时PQ＝

，则GP＝GQ＝

易证Rt△PMG≌Rt△GNQ，②若点Q为直角顶点，如图2，∴GN＝PM，GM＝QN.在Rt△QNG中，由勾股定理得GN2＋QN2＝GQ2，即PM2＋QN2＝10.∵点P，Q横坐标相差2，∴NQ＝PM＋2，∴PM2＋(PM＋2)2＝10，解得PM＝1，∴NQ＝3.直线y＝2x－1，当x＝1时，y＝1，∴GN＝PM，GM＝QN.∴P(1，1)，即OM＝1，∴OG＝OM＋GM＝OM＋NQ＝1＋3＝4，∴G(0，4)．综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为(0，4)或(0，9)．∴P(1，1)，即OM＝1，考点二图形面积问题

例2(2016·滨州中考)如图，已知抛物线y＝与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.考点二图形面积问题(1)求点A，B，C的坐标；(2)点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求点A，B，C的坐标；【分析】(1)分别令x＝0，y＝0，求解即可；(2)分点E在x轴上方和x轴下方两种情况讨论；(3)分MA＝MC，MC＝AC，MA＝AC三种情况讨论即可．【分析】(1)分别令x＝0，y＝0，求解即可；【自主解答】(1)令得x＝2或x＝－4；令x＝0，得y＝2.∴点A，B，C的坐标分别为(2，0)，(－4，0)，(0，2)．【自主解答】(1)令(2)设抛物线的对称轴交x轴于点D，则D是AB的中点．①如果E在x轴的上方，则AB和EF是平行四边形的对角线，D是对角线的中点，∴D，E，F在一条直线上，E为抛物线的顶点，∴E点坐标为(－1，)，∴S▱AEBF＝2S△AEB＝

(2)设抛物线的对称轴交x轴于点D，则D是AB的中点．②如果E在x轴的下方，则EF∥AB，EF＝AB＝6，点F的横坐标为－1，∴E的横坐标为－1±6，即－7或5，②如果E在x轴的下方，则EF∥AB，EF＝AB＝6，点F的横(3)抛物线的对称轴为x＝－1，AC＝

①如果MA＝MC，则M为直线x＝－1与AC的垂直平分线的交点．设AC的中点为H，连接OH，(3)抛物线的对称轴为x＝－1，AC＝则H的坐标是(1，1)，∴直线OH的解析式为y＝x.∵OA＝OC，H为AC的中点，∴OH为AC的垂直平分线，又∵M为直线x＝－1与y＝x的交点，∴M的坐标为(－1，－1)．则H的坐标是(1，1)，②如果MC＝AC，则MC＝2.如图，过点C作CN∥x轴，交对称轴于点N，则N的坐标为(－1，2)．②如果MC＝AC，则MC＝2.∴NC＝1，NC⊥MN.在Rt△CMN中，NC＝1，MC＝2，∴MN＝.又∵N(－1，2)，M在抛物线的对称轴上，∴M的坐标为(－1，2＋)或(－1，2－)．∴NC＝1，NC⊥MN.③如果MA＝AC，则MA＝2，而点A到抛物线对称轴的距离为3>2，∴抛物线对称轴上不存在点M使得MA＝2.综上所述，抛物线的对称轴上存在点M，使得△ACM是等腰三角形，点M的坐标是(－1，－1)或(－1，2＋)或(－1，2－)．③如果MA＝AC，则MA＝2，而点A到抛物线对称轴的距2．(2018·遂宁中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右侧)，与y轴交于C点．2．(2018·遂宁中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；(2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与B，C重合)，则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件(2)当x＝0时，y＝∴点C的坐标为(0，4)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将B(8，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b得∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.(2)当x＝0时，y＝假设存在，设点P的坐标为

如图，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，假设存在，设点P的坐标为山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件∵－1＜0，∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16.∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16.∵－1＜0，山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件考点三动点、存在点问题

例3如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8，4)．连接AC，BC.考点三动点、存在点问题(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts，当t为何值时，PA＝QA;(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点【分析】(1)先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式，用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形；(2)设运动时间为ts时，OP＝2t，CQ＝10－t，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，用含t的式子表示出PA2和QA2，由PA＝QA求得t的值即可；(3)分三种情况，用平面坐标系内两点间的距离公式计算即可．【分析】(1)先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物【自主解答】(1)在直线y＝－2x＋10上，令y＝0得x＝5，令x＝0得y＝10，即A(5，0)，B(0，10)．∵点A(5，0)，C(8，4)，O(0，0)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，【自主解答】(1)在直线y＝－2x＋10上，∵AC2＝(8－5)2＋42＝25，BC2＝82＋(10－4)2＝100，AB2＝52＋102＝125，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．∵AC2＝(8－5)2＋42＝25，BC2＝82＋(10－4(2)设运动时间为ts时，OP＝2t，BQ＝t，则CQ＝10－t.∵当点P运动到端点时，t＝＝5，当t＝5时，BQ＝5＜10，∴t的取值范围是0≤t≤5.(2)设运动时间为ts时，OP＝2t，BQ＝t，则CQ＝1在Rt△AOP和Rt△ACQ中，PA2＝OA2＋OP2＝25＋4t2，QA2＝QC2＋AC2＝25＋(10－t)2＝t2－20t＋125.∵PA＝QA，∴PA2＝QA2，即t2－20t＋125＝25＋4t2，解得t1＝－10(舍去)，t2＝，即运动时间为s时，PA＝QA.在Rt△AOP和Rt△ACQ中，(3)∵抛物线与x轴交于O(0，0)，A(5，0)两点，∴对称轴为x＝设存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，(3)∵抛物线与x轴交于O(0，0)，A(5，0)两点，山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件3．(2018·临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为(1，0)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．3．(2018·临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，∠ACB(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE.①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在．请说明理由．(1)求抛物线的解析式；解：(1)在Rt△ABC中，由点B的坐标可知OB＝1.∵OC＝2OB，∴OC＝2，则BC＝3.又∵tan∠ABC＝2，∴AC＝2BC＝6，则点A的坐标为(－2，6)．把点A，B的坐标代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中得∴该抛物线的解析式为y＝－x2－3x＋4.解：(1)在Rt△ABC中，由点B的坐标可知OB＝1.(2)①由点A(－2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB的解析式为y＝－2x＋2.如图，设点P的坐标为(m，－m2－3m＋4)，则点E的坐标为(m，－2m＋2)，点D的坐标为(m，0)，(2)①由点A(－2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB则PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2.由PE＝DE得－m2－m＋2＝(－2m＋2)，解得m＝±1.又∵－2＜m＜1，∴m＝－1，∴点P的坐标为(－1，6)．则PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2.②∵M在直线PD上，且P(－1，6)，设M(－1，y)，∴AM2＝(－1＋2)2＋(y－6)2＝1＋(y－6)2，BM2＝(1＋1)2＋y2＝4＋y2，AB2＝(1＋2)2＋62＝45.②∵M在直线PD上，且P(－1，6)，分三种情况：(ⅰ)当∠AMB＝90°时，有AM2＋BM2＝AB2，∴1＋(y－6)2＋4＋y2＝45，解得y＝3±，∴M(－1，3＋)或(－1，3－)；(ⅱ)当∠ABM＝90°时，有AB2＋BM2＝AM2，∴45＋4＋y2＝1＋(y－6)2，解得y＝－1，∴M(－1，－1)．分三种情况：(ⅲ)当∠BAM＝90°时，有AM2＋AB2＝BM2，∴1＋(y－6)2＋45＝4＋y2，解得y＝，∴M(－1，)．综上所述，点M的坐标为(－1，3＋)或(－1，3－)或(－1，－1)或(－1，)．(ⅲ)当∠BAM＝90°时，有AM2＋AB2＝BM2，考点四二次函数综合题

百变例题(2018·济宁中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)．考点四二次函数综合题(1)求该抛物线的解析式；(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求该抛物线的解析式；【分析】(1)已知A，B两点坐标，可得y＝a(x－3)(x＋1)，再将点C坐标代入即可解得；(2)过点A作AM⊥BC，利用全等三角形求出点N的坐标，再利用待定系数法求出直线AM的解析式，同理可求出直线BC的解析式，联立求出M坐标即可；(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可．【分析】(1)已知A，B两点坐标，可得y＝a(x－3)(x【自主解答】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(3，0)，B(－1，0)，∴y＝a(x－3)(x＋1)．又∵抛物线经过点C(0，－3)，∴－3＝a(0－3)(0＋1)，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(x－3)(x＋1)，即y＝x2－2x－3.【自主解答】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经(2)如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，AM交y轴于点N，(2)如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，AM交y轴于点N∴∠BAM＋∠ABM＝90°.在Rt△BCO中，∠BCO＋∠ABM＝90°，∴∠BAM＝∠BCO.∵A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)，∴AO＝CO＝3，OB＝1.∴∠BAM＋∠ABM＝90°.又∵∠BAM＝∠BCO，∠BOC＝∠AON＝90°，∴△AON≌△COB，∴ON＝OB＝1，∴N(0，－1)．设直线AM的函数解析式为y＝kx＋b，又∵∠BAM＝∠BCO，山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形．设Q(t，0)，P(m，m2－2m－3)．分两种情况考虑：当四边形BCQP为平行四边形时，由B(－1，0)，C(0，－3)，根据平移规律得－1－m＝0－t，0－(m2－2m－3)＝－3－0，(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形．山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件当四边形BCPQ为平行四边形时，由B(－1，0)，C(0，－3)，根据平移规律得－1－t＝0－m，0－0＝－3－(m2－2m－3)，解得m＝0或2.当m＝0时，P(0，－3)(舍去)；当m＝2时，P(2，－3)．综上所述，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为(1＋，3)或(1－，3)或(2，－3)．当四边形BCPQ为平行四边形时，变式1：若点D是抛物线的顶点，求△ACD面积与△ABC面积的比．变式1：若点D是抛物线的顶点，求△ACD面积与△ABC面积的解：如图，连接AC，AD，CD，作DL⊥x轴于点L.∵S△ACD＝S梯形OCDL＋S△ADL－S△AOC解：如图，连接AC，AD，CD，作DL⊥x轴于点L.变式2：若E是x轴上一个动点，过E作射线EF∥BC交抛物线于点F，随着E点的运动，在抛物线上是否存在这样的点F，使以B，E，F，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．变式2：若E是x轴上一个动点，过E作射线EF∥BC交抛物线于解：存在．理由如下：①如图，当点F在x轴下方时，作FR⊥x轴于点R.∵四边形BCFE为平行四边形，∴EFBC，∴△ERF≌△BOC，∴RF＝OC＝3，解：存在．理由如下：∴－3＝x2－2x－3，解得x＝2或x＝0(与C点重合，舍去)，∴F(2，－3)．∴－3＝x2－2x－3，②如图，当F在x轴上方时，作FS⊥x轴于点S.∵四边形BCEF为平行四边形，∴EF綊BC，∴△EFS≌△BCO，∴FS＝OC＝3，∴3＝x2－2x－3，②如图，当F在x轴上方时，解得x1＝1＋，x2＝1－.综上所述，F点为(2，－3)或(1＋，3)或(1－，3)．解得x1＝1＋，x2＝1－.变式3：如图，若点G是线段AC上的点(不与A，C重合)，过G作GH∥y轴交抛物线于H，若点G的横坐标为m，请用m的代数式表示GH的长．变式3：如图，若点G是线段AC上的点(不与A，C重合)，过G解：设直线AC的解析式为y＝kx－3，则有0＝3k－3，解得k＝1，故直线AC的解析式为y＝x－3.已知点G的横坐标为m，则G(m，m－3)，H(m，m2－2m－3)，∴GH＝m－3－(m2－2m－3)＝－m2＋3m(0<m<3)．解：设直线AC的解析式为y＝kx－3，则有0＝3k－3，变式4：若对称轴是直线l，在对称轴l上是否存在点W，使△WBC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点W的坐标；若不存在，请说明理由．变式4：若对称轴是直线l，在对称轴l上是否存在点W，使△WB山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件考点一线段、周长问题

例1(2017·滨州中考)如图，直线y＝kx＋b(k，b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)，B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C.考点一线段、周长问题(1)求直线y＝kx＋b的函数解析式；(2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．(1)求直线y＝kx＋b的函数解析式；【分析】(1)利用待定系数法可求得直线解析式；(2)利用相似三角形的判定与性质可得到d与x的函数关系式，结合二次函数的性质可得点P的坐标；(3)先确定点E的位置，再利用(2)中的结论解答即可．【分析】(1)利用待定系数法可求得直线解析式；【自主解答】

(1)∵y＝kx＋b经过A(－4，0)，B(0，3)，∴直线的函数解析式为y＝x＋3.【自主解答】(2)如图，过点P作PH⊥AB于点H，过点H作x轴的平行线MN，分别过点A，P作MN的垂线段，垂足分别为M，N.(2)如图，过点P作PH⊥AB于点H，过点H作x轴的平行线M设H(m，m＋3)，则M(－4，m＋3)，N(x，m＋3)，P(x，－x2＋2x＋1)．∵PH⊥AB，∴∠PHN＋∠AHM＝90°.∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°，∴∠MAH＝∠PHN.∵∠AMH＝∠PNH＝90°，∴△AMH∽△HNP.设H(m，m＋3)，则M(－4，山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件(3)如图，作点C关于直线x＝1的对称点C′，过点C′作C′F⊥AB于F，交抛物线的对称轴x＝1于点E，此时CE＋CF的值最小．根据对称性，易知点C′(2，1)．∵点C′在抛物线上，∴由(2)得，C′F＝

即CE＋EF的最小值为

(3)如图，作点C关于直线x＝1的1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(－1，0)和点B(1，0)，直线y＝2x－1与y轴交于点C，与抛物线交于点C，D.1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)求点A到直线CD的距离；(3)平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G，P，Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．(1)求抛物线的解析式；解：(1)直线y＝2x－1，当x＝0时，y＝－1，则点C坐标为(0，－1)．设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c.∵点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，－1)在抛物线上，∴抛物线的解析式为y＝x2－1.解：(1)直线y＝2x－1，当x＝0时，y＝－1，(2)直线y＝2x－1，当y＝0时，x＝.如图，过点A作AF⊥CD于点F.设直线CD交x轴于点E，则E(，0)．(2)直线y＝2x－1，当y＝0时，x＝.山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件(3)∵平移后抛物线的顶点P在直线y＝2x－1上，∴设P(t，2t－1)，则平移后抛物线的解析式为y＝(x－t)2＋2t－1.联立化简得x2－(2t＋2)x＋t2＋2t＝0，解得x1＝t，x2＝t＋2，即点P，Q的横坐标相差2，(3)∵平移后抛物线的顶点P在直线y＝2x－1上，△GPQ为等腰直角三角形，可能有以下情形：△GPQ为等腰直角三角形，可能有以下情形：①若点P为直角顶点，如图1，则PG＝PQ＝

∴OG＝CG－OC＝10－1＝9，∴G(0，9)．①若点P为直角顶点，如图1，②若点Q为直角顶点，如图2，则QG＝PQ＝

同理可得G(0，9)．③若点G为直角顶点，如图3，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为点M，N.此时PQ＝

，则GP＝GQ＝

易证Rt△PMG≌Rt△GNQ，②若点Q为直角顶点，如图2，∴GN＝PM，GM＝QN.在Rt△QNG中，由勾股定理得GN2＋QN2＝GQ2，即PM2＋QN2＝10.∵点P，Q横坐标相差2，∴NQ＝PM＋2，∴PM2＋(PM＋2)2＝10，解得PM＝1，∴NQ＝3.直线y＝2x－1，当x＝1时，y＝1，∴GN＝PM，GM＝QN.∴P(1，1)，即OM＝1，∴OG＝OM＋GM＝OM＋NQ＝1＋3＝4，∴G(0，4)．综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为(0，4)或(0，9)．∴P(1，1)，即OM＝1，考点二图形面积问题

例2(2016·滨州中考)如图，已知抛物线y＝与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.考点二图形面积问题(1)求点A，B，C的坐标；(2)点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求点A，B，C的坐标；【分析】(1)分别令x＝0，y＝0，求解即可；(2)分点E在x轴上方和x轴下方两种情况讨论；(3)分MA＝MC，MC＝AC，MA＝AC三种情况讨论即可．【分析】(1)分别令x＝0，y＝0，求解即可；【自主解答】(1)令得x＝2或x＝－4；令x＝0，得y＝2.∴点A，B，C的坐标分别为(2，0)，(－4，0)，(0，2)．【自主解答】(1)令(2)设抛物线的对称轴交x轴于点D，则D是AB的中点．①如果E在x轴的上方，则AB和EF是平行四边形的对角线，D是对角线的中点，∴D，E，F在一条直线上，E为抛物线的顶点，∴E点坐标为(－1，)，∴S▱AEBF＝2S△AEB＝

(2)设抛物线的对称轴交x轴于点D，则D是AB的中点．②如果E在x轴的下方，则EF∥AB，EF＝AB＝6，点F的横坐标为－1，∴E的横坐标为－1±6，即－7或5，②如果E在x轴的下方，则EF∥AB，EF＝AB＝6，点F的横(3)抛物线的对称轴为x＝－1，AC＝

①如果MA＝MC，则M为直线x＝－1与AC的垂直平分线的交点．设AC的中点为H，连接OH，(3)抛物线的对称轴为x＝－1，AC＝则H的坐标是(1，1)，∴直线OH的解析式为y＝x.∵OA＝OC，H为AC的中点，∴OH为AC的垂直平分线，又∵M为直线x＝－1与y＝x的交点，∴M的坐标为(－1，－1)．则H的坐标是(1，1)，②如果MC＝AC，则MC＝2.如图，过点C作CN∥x轴，交对称轴于点N，则N的坐标为(－1，2)．②如果MC＝AC，则MC＝2.∴NC＝1，NC⊥MN.在Rt△CMN中，NC＝1，MC＝2，∴MN＝.又∵N(－1，2)，M在抛物线的对称轴上，∴M的坐标为(－1，2＋)或(－1，2－)．∴NC＝1，NC⊥MN.③如果MA＝AC，则MA＝2，而点A到抛物线对称轴的距离为3>2，∴抛物线对称轴上不存在点M使得MA＝2.综上所述，抛物线的对称轴上存在点M，使得△ACM是等腰三角形，点M的坐标是(－1，－1)或(－1，2＋)或(－1，2－)．③如果MA＝AC，则MA＝2，而点A到抛物线对称轴的距2．(2018·遂宁中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右侧)，与y轴交于C点．2．(2018·遂宁中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；(2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与B，C重合)，则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件(2)当x＝0时，y＝∴点C的坐标为(0，4)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将B(8，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b得∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.(2)当x＝0时，y＝假设存在，设点P的坐标为

如图，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，假设存在，设点P的坐标为山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件∵－1＜0，∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16.∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16.∵－1＜0，山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件考点三动点、存在点问题

例3如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8，4)．连接AC，BC.考点三动点、存在点问题(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts，当t为何值时，PA＝QA;(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点【分析】(1)先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式，用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形；(2)设运动时间为ts时，OP＝2t，CQ＝10－t，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，用含t的式子表示出PA2和QA2，由PA＝QA求得t的值即可；(3)分三种情况，用平面坐标系内两点间的距离公式计算即可．【分析】(1)先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物【自主解答】(1)在直线y＝－2x＋10上，令y＝0得x＝5，令x＝0得y＝10，即A(5，0)，B(0，10)．∵点A(5，0)，C(8，4)，O(0，0)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，【自主解答】(1)在直线y＝－2x＋10上，∵AC2＝(8－5)2＋42＝25，BC2＝82＋(10－4)2＝100，AB2＝52＋102＝125，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．∵AC2＝(8－5)2＋42＝25，BC2＝82＋(10－4(2)设运动时间为ts时，OP＝2t，BQ＝t，则CQ＝10－t.∵当点P运动到端点时，t＝＝5，当t＝5时，BQ＝5＜10，∴t的取值范围是0≤t≤5.(2)设运动时间为ts时，OP＝2t，BQ＝t，则CQ＝1在Rt△AOP和Rt△ACQ中，PA2＝OA2＋OP2＝25＋4t2，QA2＝QC2＋AC2＝25＋(10－t)2＝t2－20t＋125.∵PA＝QA，∴PA2＝QA2，即t2－20t＋125＝25＋4t2，解得t1＝－10(舍去)，t2＝，即运动时间为s时，PA＝QA.在Rt△AOP和Rt△ACQ中，(3)∵抛物线与x轴交于O(0，0)，A(5，0)两点，∴对称轴为x＝设存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，(3)∵抛物线与x轴交于O(0，0)，A(5，0)两点，山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件山东省滨州市2019中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用课件3．(2018·临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为(1，0)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．3．(2018·临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，∠ACB(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE.①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在．请说明理由．(1)求抛物线的解析式；解：(1)在Rt△ABC中，由点B的坐标可知OB＝1.∵OC＝2OB，∴OC＝2，则BC＝3.又∵tan∠ABC＝2，∴AC＝2BC＝6，则点A的坐标为(－2，6)．把点A，B的坐标代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中得∴该抛物线的解析式为y＝－x2－3x＋4.解：(1)在Rt△ABC中，由点B的坐标可知OB＝1.(2)①由点A(－2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB的解析式为y＝－2x＋2.如图，设点P的坐标为(m，－m2－3m＋4)，则点E的坐标为(m，－2m＋2)，点D的坐标为(m，0)，(2)①由点A(－2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB则PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2.由PE＝DE得－m2－m＋2＝(－2m＋2)，解得m＝±1.又∵－2＜m＜1，∴m＝－1，∴点P的坐标为(－1，6)．则PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2.②∵M在直线PD上，且P(－1，6)，设M(－1，y)，∴AM2＝(－1＋2)2＋(y－6)2＝1＋(y－6)2，BM2＝(1＋1)2＋y2＝4＋y2，AB2＝(1＋2)2＋62＝45.②∵M在直线PD上，且P(－1，6)，分三种情况：(ⅰ)当∠AMB＝90°时，有AM2＋BM2＝AB2，∴1＋(y－6)2＋4＋y2＝45，解得y＝3±，∴M(－1，3＋)或(－1，3－)；(ⅱ)当∠ABM＝90°时，有AB2＋BM2＝AM2，∴45＋4＋y2＝1＋(y－6)2，解得y＝－1，∴M(－1，－1)．分三种情况：(ⅲ)当∠BAM＝90°时，有AM2＋AB2＝BM2，∴1＋(y－6)2＋45＝4＋y2，解得y＝，∴M(－1，)．综上所述，点M的坐标为(－1，3＋)或(－1，3－)或(－1，－1)或(－1，)．(ⅲ)当∠BAM＝90°时，有AM2＋AB2＝BM2，考点四二次函数综合题

百变例题(2018·济宁中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)．考点四二次函数综合题(1)求该抛物线的解析式；(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求该抛物线的解析式；【分析】(1)已知A，B两点坐标，可得y＝a(x－3)(x＋1)，再将点C坐标代入即可解得；(2)过点A作AM⊥BC，利用全等三角形求出点N的坐标，再利用待定系数法求出直线AM的解析式，同理可求出直线BC的解析式，联立求出M坐标即可；(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可．【分析】(1)已知A，B两点坐标，可得y＝a(x－3)(x【自主解答】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(3，0)，B(－1，0)，∴y＝a(x－3)(x＋1)．又∵抛物线经过点C(0，－3)，∴－3＝a(0－3)(0＋1)，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(x－3)(x＋1)，即y＝x2－2x－3