山东省济南市商河中学2015-2016学年九年级数学上学期期末考试试题(含)新人教版

PAGEPAGE26山东省济南市商河中学2015-2016学年九年级数学上学期期末考试试题一、选择题 1．如图所示，几何体的主（正）视图是（） A． B． C． D．2．已知=，那么下列式子中一定成立的是（） A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=123．下列各选项中的两个图形不一定相似的是（） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有100°角的两个等腰三角形 D．各有45°角的两个等腰三角形 4．将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（） A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2+3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2﹣35．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（） A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短 C．小明的影子和小强的影子一样长 D．无法判断谁的影子长 6．在△ABC中，∠C=90°，AC=8，，则BC的长为（） A．6 B．8 C．10 D．47．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（） A．6sin15°cm B．6cos15°cm C．6tan15°cm D．cm8．如图，AB∥CD，BO：OC=1：4，点E、F分别是OC、OD的中点，则EF：AB的值为（） A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（） A． B． C． D．810．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k＞0）图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（） A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y111．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（） A．45° B．35° C．22.5° D．15.5°12．某商品计划以每件600元的均价对外销售，后来为加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每件486元的均价销售．则平均每次下调的百分率是（） A．30% B．20% C．15% D．10%13．如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠114．如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°．点O是BC中点，点D沿B→A→C方向从B运动到C．设点D经过的路径长为x，OD长为y．则函数y的图象大致为（） A． B． C． D．15．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论： ①当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）； ②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于； ③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小； ④当m≠0时，函数图象经过同一个点． 其中正确的结论有（） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④ 二、填空题 16．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有一个根是x=1，则它的另一个根是． 17．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB的值为． 18．小明身高1.8m，王鹏身高1.50m，他们在同一时刻站在阳光下，小明影子长为1.20m，则王鹏的影长为m． 19．二次函数y=2x2+8x﹣10的图象的顶点坐标是． 20．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB=8，AD=10，那么EC=． 21．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=的图象上，且OA⊥OB，tanA=，则k的值为． 三、解答题 22．（2015秋济南校级期末）（1）计算： （2）解方程：x2﹣2x﹣2=0． 23．（2015秋济南校级期末）（1）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形； （2）如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠ACD=∠ABC，AD=1，AB=3．求AC的长． 24．（2009烟台）将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是； （2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是； （3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率． 25．（2015秋济南校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与AC，AB的交点分别为D，E． （1）若AD=15，cos∠BDC=，求AC的长和tanA的值； （2）若∠BDC=30°，求tan15°的值．（结果保留根号） 26．（2012贵港）如图，直线y=x与双曲线y=相交于A、B两点，BC⊥x轴于点C（﹣4，0）． （1）求A、B两点的坐标及双曲线的解析式； （2）若经过点A的直线与x轴的正半轴交于点D，与y轴的正半轴交于点E，且△AOE的面积为10，求CD的长． 27．（2013德州）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由； （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长． 28．（2015秋房山区期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线y=mx2﹣x+n同时经过A（0，3）、B（4，0）． （1）求m，n的值． （2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q．求MN的最大值． （3）在（2）的条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由． 2015-2016学年山东省济南市商河中学九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1．如图所示，几何体的主（正）视图是（） A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图． 【分析】根据三视图画法规则： （1）高平齐：正视图和侧视图的高保持平齐； （2）宽相等：侧视图的宽和俯视图的宽相等； （3）长对正：正视图和俯视图的长对正． 【解答】解：由图可得，主视图应该是三列，正方体的数目分别是：1、2、1． 故选B． 【点评】本题考查的是三视图中主视图的确定，注意三视图的规律． 2．已知=，那么下列式子中一定成立的是（） A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=12【考点】比例的性质． 【分析】根据比例的性质：分子分母交叉相乘，可得答案． 【解答】解：由=，得4m=3n． A、4m=3n，故A正确； B、4m=3n，故B错误； C、m=，故C错误； D、4m=3n，故D错误； 故选：A． 【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质：分子分母交叉相乘是解题关键． 3．下列各选项中的两个图形不一定相似的是（） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有100°角的两个等腰三角形 D．各有45°角的两个等腰三角形 【考点】相似图形． 【分析】利用相似图形的判定方法：形状相同的图形称为相似形，进而分别判断得出即可． 【解答】解：A、两个正方形一定相似，故此选项错误； B、两个等边三角形一定相似，故此选项错误； C、各有100°角的两个等腰三角形一定相似，故此选项错误； D、各有45°角的两个等腰三角形，不一定相似，故此选项正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了相似图形的判定，正确把握相似图形的判定方法是解题关键． 4．将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（） A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2+3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2﹣3【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式． 【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0）， ∴平移后抛物线的顶点为（1，3）， ∴新抛物线解析式为y=2（x﹣1）2+3， 故选：B． 【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点． 5．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（） A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短 C．小明的影子和小强的影子一样长 D．无法判断谁的影子长 【考点】中心投影；平行投影． 【专题】应用题． 【分析】在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长． 【解答】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长． 故选：D． 【点评】本题综合考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 6．在△ABC中，∠C=90°，AC=8，，则BC的长为（） A．6 B．8 C．10 D．4【考点】锐角三角函数的定义． 【分析】根据题意，由三角函数的定义，可得AB的值，进而由勾股定理可得BC的大小． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵sinB=，∴AB=8÷=10． ∴BC==6． 故选A． 【点评】本题难度不大，根据锐角三角函数的定义，直接解题即可，解决此类问题时，要注意必须在直角三角形中． 7．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（） A．6sin15°cm B．6cos15°cm C．6tan15°cm D．cm【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】运用三角函数定义求解． 【解答】解：∵tan15°=． ∴木桩上升了6tan15°cm． 故选C． 【点评】考查三角函数的应用． 8．如图，AB∥CD，BO：OC=1：4，点E、F分别是OC、OD的中点，则EF：AB的值为（） A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 【分析】先由E、F分别是OC、OD的中点，利用三角形中位线定理，可得EF∥CD，结合已知AB∥CD，可以得出AB∥CD∥EF，可得△ABO∽△FEO，可得到比例线段，结合已知条件，可求出EF：AB=2：1． 【解答】解：∵点E、F分别是OC、OD的中点 ∴EF∥CD 又∵AB∥CD， ∴△ABO∽△FEO， ∴EF：AB=EO：BO 又BO：OC=1：4 ∴OE=OC ∴OE=2OB ∴EF：AB=2：1 故选B． 【点评】此题考查了相似三角形的判定定理及性质和三角形中位线的性质， 9．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（） A． B． C． D．8【考点】解直角三角形． 【专题】计算题． 【分析】由题可知，在直角三角形BOA中，∠ABO=30°，AO=AC=2，根据勾股定理可求BO，BD=2BO． 【解答】解：在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，设相交于O点． ∴AC⊥BD，AC=4， ∴AO=2． ∵∠ABC=60°， ∴∠ABO=30°． 由勾股定理可知：BO=2． 则BD=4． 故选B． 【点评】此题不但考查了直角三角形的边角关系，还考查了菱形的性质． 10．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k＞0）图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（） A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】压轴题． 【分析】根据反比例函数的增减性再结合反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵k＞0，函数图象在一三象限； 若x1＜0＜x2．说明A在第三象限，B在第一象限． 第一象限的y值总比第三象限的点的y值大，∴y1＜0＜y2． 故选A． 【点评】在反比函数中，已知两点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分两点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较． 11．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（） A．45° B．35° C．22.5° D．15.5°【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质． 【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB=∠BCA=45°； △ACE中，AC=AE，则： ∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°； ∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°． 故选C． 【点评】此题主要考查的是正方形、等腰三角形的性质及三角形内角和定理． 12．某商品计划以每件600元的均价对外销售，后来为加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每件486元的均价销售．则平均每次下调的百分率是（） A．30% B．20% C．15% D．10%【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题． 【分析】关系式为：原价×（1﹣下调的百分比）2=实际的价格，把相关数值代入求得合适的解即可． 【解答】解：设平均每次下调的百分率为x． 600×（1﹣x）2=486， （1﹣x）2=0.81， ∵1﹣x＞0， ∴1﹣x=0.9， ∴x=10%． 故选：D． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到实际价格的等量关系是解决本题的关键． 13．如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【专题】计算题． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△=22﹣4（m﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且△=22﹣4（m﹣1）＞0， 解得m＜2且m≠1． 故选D． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 14．如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°．点O是BC中点，点D沿B→A→C方向从B运动到C．设点D经过的路径长为x，OD长为y．则函数y的图象大致为（） A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象． 【分析】作OE⊥AB，根据等腰三角形的性质和勾股定理表示出DE、OD、OE，当0＜x≤4时，根据勾股定理表示出y2，即可判断图象． 【解答】解：如图，作OE⊥AB， ∵点O是BC中点，AB=AC=4，∠BAC=120°． ∴AO=2，BO=2，OE=，BE=3， 设BD=x，OD=y， ∴DE=3﹣x， 在Rt△ODE中， DE2+OE2=OD2， ∴y2=（3﹣x）2+（）2 整理得：y2=x2﹣6x+12， 当0＜x≤4时，y2=x2﹣6x+12，函数的图象呈抛物线并开口向上， 故选：A． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据图形运用数形结合列出函数表达式是解决问题的关键． 15．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论： ①当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）； ②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于； ③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小； ④当m≠0时，函数图象经过同一个点． 其中正确的结论有（） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④【考点】二次函数的性质． 【专题】压轴题；新定义． 【分析】①当m=﹣3时，根据函数式的对应值，可直接求顶点坐标；②当m＞0时，直接求出图象与x轴两交点坐标，再求函数图象截x轴所得的线段长度，进行判断；③当m＜0时，根据对称轴公式，进行判断；④当m≠0时，函数图象经过同一个点． 【解答】解：根据定义可得函数y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）， ①当m=﹣3时，函数解析式为y=﹣6x2+4x+2， ∴=﹣=，==， ∴顶点坐标是（，），正确； ②函数y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣，0）， 当m＞0时，1﹣（﹣）=+＞，正确； ③当m＜0时，函数y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴x=﹣＞， ∴x可能在对称轴左侧也可能在对称轴右侧，错误； ④y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=m（2x2﹣x﹣1）+x﹣1，若使函数图象恒经过一点，m≠0时，应使2x2﹣x﹣1=0，可得x1=1，x2=﹣，当x=1时，y=0，当x=﹣时，y=﹣，则函数一定经过点（1，0）和（﹣，﹣），正确． 故选B． 【点评】公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是x=． 二、填空题 16．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有一个根是x=1，则它的另一个根是2． 【考点】根与系数的关系． 【专题】计算题． 【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得1+t=3，然后解一次方程即可． 【解答】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得1+t=3， 所以t=2． 故答案为2． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=． 17．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB的值为． 【考点】锐角三角函数的定义． 【专题】计算题． 【分析】先在∠AOB的两边上找出两点C、D，使△DOC构成直角三角形，再根据正方形网格的特点及勾股定理求出OC的长，由锐角三角函数的定义即可求出sin∠AOB的值． 【解答】解：由图可知连接C、D两点，此时△DOC恰好构成直角三角形， 设正方形网格的边长为1，则CD=2，OD=1，OC===， 由锐角三角函数的定义可知：sin∠AOB===． 故答案为：． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知正方形网格的特点，能在∠AOB的边上找出两点使△DOC恰好构成直角三角形是解答此题的关键． 18．小明身高1.8m，王鹏身高1.50m，他们在同一时刻站在阳光下，小明影子长为1.20m，则王鹏的影长为1m． 【考点】相似三角形的应用． 【分析】利用同一时刻实际物体与影长的比值相等进而求出即可． 【解答】解：设王鹏的影长为xm， 由题意可得：=， 解得：x=1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确利用物体高度与影长的关系是解题关键． 19．二次函数y=2x2+8x﹣10的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣18）． 【考点】二次函数的性质． 【分析】将二次函数化为顶点式后即可确定其顶点坐标． 【解答】解：∵y=2x2+8x﹣10=2（x+2）2﹣18， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣18）， 故答案为：（﹣2，﹣18）． 【点评】考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h． 20．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB=8，AD=10，那么EC=3． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=10，AB=CD=8，再根据折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，设CE=x，则DE=EF=8﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+42=（8﹣x）2，再解方程即可得到CE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=10，AB=CD=8， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF=AD=10，EF=DE， 在Rt△ABF中，∵BF==6， ∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4， 设CE=x，则DE=EF=8﹣x 在Rt△ECF中，∵CE2+FC2=EF2， ∴x2+42=（8﹣x）2，解得x=3． 故答案是：3． 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理． 21．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=的图象上，且OA⊥OB，tanA=，则k的值为﹣6． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证△OBD∽△AOC，则面积的比等于相似比的平方，即tanA的平方，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义即可求解． 【解答】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，则∠BDO=∠ACO=90°，∠BOD+∠OBD=90°， ∵OA⊥OB， ∴∠BOD+∠AOC=90°， ∴∠BOD=∠AOC， ∴△OBD∽△AOC， ∴=（）2=（tanA）2=3， 又∵S△AOC=×2=1， ∴S△OBD=3， ∴k=﹣6． 故答案为﹣6． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数比例系数k的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键． 三、解答题 22．（2015秋济南校级期末）（1）计算： （2）解方程：x2﹣2x﹣2=0． 【考点】解一元二次方程-配方法；特殊角的三角函数值． 【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可． （2）把常数项﹣2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方． 【解答】解：（1）原式=×+×﹣1 =+1﹣1 =； （2）x2﹣2x﹣2=0， x2﹣2x=2， x2﹣2x+1=3， （x﹣1）2=3， x﹣1=±， 解得x1=1+，x2=1﹣． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，配方法解方程．用配方法解一元二次方程的步骤： （1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． （2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方． 23．（2015秋济南校级期末）（1）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形； （2）如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠ACD=∠ABC，AD=1，AB=3．求AC的长． 【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的判定． 【分析】（1）首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论； （2）由已知角相等，以及公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ACD与三角形ABC相似，由相似得比例，把AD与AB的长代入求出AC的长即可． 【解答】（1）证明： ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形； （2）解：∵∠ACD=∠ABC，∠B=∠B， ∴△ACD∽△ABC， ∴AD：AC=AC：AB， ∵AD=1，AB=3， ∴AC=． 【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （2）此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 24．（2009烟台）将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是； （2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是； （3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】压轴题． 【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可． 【解答】解：（1）A，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为=； （2）1+4=5；2+3=5，但组合一共有3+2+1=6，故概率为=； （3）根据题意，画树状图： 由树状图可知，共有16种等可能的结果：11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44． 其中恰好是4的倍数的共有4种：12，24，32，44． 所以，P（4的倍数）=． 或根据题意，画表格： 第一次第二次 1 2 3 41 11 12 13 142 21 22 23 243 31 32 33 344 41 42 43 44由表格可知，共有16种等可能的结果，其中是4的倍数的有4种，所以，P（4的倍数）=． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 25．（2015秋济南校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与AC，AB的交点分别为D，E． （1）若AD=15，cos∠BDC=，求AC的长和tanA的值； （2）若∠BDC=30°，求tan15°的值．（结果保留根号） 【考点】解直角三角形． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得DB=DA=15，再根据余弦的定义得到cos∠BDC==，则DC=12，根据勾股定理可计算出BC=9，然后在Rt△ACB中，根据正切的定义求解； （2）设AD=t，则DB=t，在Rt△DCB中根据含30°角的直角三角形的性质得到BC=t，DC=t，再证明∠A=15°，然后根据正切的定义即可求出tan15°=tanA====2﹣． 【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB， ∴DB=DA=15， ∵在Rt△DCB中，cos∠BDC==， ∴=， ∴DC=12， ∴BC==9． 在Rt△ACB中，AC=AD+CD=27， ∴tanA===； （2）设AD=t，则DB=t， ∵在Rt△DCB中，∠C=90°，∠BDC=30°， ∴BC=t，DC=t， ∵AD=BD， ∴∠A=∠ABD， ∵∠A+∠ABD=∠BDC=30°， ∴∠A=∠ABD=15°． ∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=AD+DC=t+t=（1+）t， ∴tan15°=tanA====2﹣． 【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及锐角三角函数的定义．求BC的长度时，利用“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”求得BD的长度是解答（1）的关键所在． 26．（2012贵港）如图，直线y=x与双曲线y=相交于A、B两点，BC⊥x轴于点C（﹣4，0）． （1）求A、B两点的坐标及双曲线的解析式； （2）若经过点A的直线与x轴的正半轴交于点D，与y轴的正半轴交于点E，且△AOE的面积为10，求CD的长． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】代数几何综合题；数形结合． 【分析】（1）求出B的横坐标，代入y=x求出y，即可得出B的坐标，把B的坐标代入y=求出y=，解方程组即可得出A的坐标； （2）设OE=x，OD=y，由三角形的面积公式得出xy﹣y1=10，x4=10，求出x、y，即可得出OD=5，求出OC，相加即可． 【解答】解：（1）∵BC⊥x，C（﹣4，0）， ∴B的横坐标是﹣4，代入y=x得：y=﹣1， ∴B的坐标是（﹣4，﹣1）， ∵把B的坐标代入y=得：k=4， ∴y=， ∵解方程组得：，， ∴A的坐标是（4，1）， 即A（4，1），B（﹣4，﹣1），反比例函数的解析式是y=． （2）设OE=x，OD=y， 由三角形的面积公式得：xy﹣x1=10，x4=10， 解得：x=5，y=5， 即OD=5， ∵OC=|﹣4|=4， ∴CD的值是4+5=9． 【点评】本题考查了三角形的面积、一次和与反比例函数的交点问题的应用，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目． 27．（2013德州）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由； （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长． 【考点】四边形综合题． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（1）分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接AE，CE，如图所示，由△ABD与△ACE都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△CAD与△EAB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （2）BE=CD，理由与（1）同理； （3）根据（1）、（2）的经验，过A作等腰直角△ABD，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的长，由题意得到△DBC为直角三角形，利用