斜轴墨卡托投影在线路控制网

斜轴墨卡托投影在线路控制网中的应用（项羽666）摘要：我国的平面控制网采用的是高斯投影，距离投影中心越远，投影变形越大，在公路路线平面控制坐标系中要求测区投影长度变形小于2.5cm/km,高速铁路测量工程要求投影长度变形不宜大于10mm/km.高斯投影在南北走向线路控制网中可以有效的控制变形，在东西走向的线路控制避免高斯投影分带过多对设计、施工带来居多的不便，我们采用斜轴墨卡托投影。关键词：高斯投影线路平面控制投影长度变形斜轴墨卡托0引言近些年中国的高速公路，高速铁路，获得飞速发展。到“十三五”末，高速公路要达到通车16.9万公里，国务院新闻办公室发表《中国交通运输发展》白皮书到2020年，高速铁路营业里程达到3万公里，覆盖80%以上的大城市。在进行线路控制时当，测区东西跨度达到56km以上时，投影长度变形将超过限值，沪昆高速铁路全长2200多公里，其中贵州至云南段经度差达8°，对此一般采用分带投影的方式解决，在不考虑高程对长度变形影响的情况下，分带边缘子午线距中央子线不得超过9km，分带东西跨度为58km。对于东西跨度较长的高铁线路，为了控制边长的投影变形，需要划分较多投影带，建立众多的独立坐标系，容易给整条铁路施工带来不便。如果以铁路中心线为中央子午线，使得圆柱面与铁路中心线相切，采用斜轴墨卡托圆柱投影，可以有效控制长度投影变形,避免但繁琐的坐标转换，给测设、施工带来不便。本文先阐述高斯投影的长度变形，接着引出我们的研究主题，然后就斜轴墨卡托投影的特点，分析其投影长度变形，将其应用于线路工程。1.高斯投影长度变形地图投影是将椭球面的元素如坐标、方位角和距离按一定的数学法则投影到平面上，其投影面是可以展开成为平面的曲面，如椭圆柱面、圆柱面或平面等。投影的种类与方法很多，按照投影面与原面的相对位置关系来分可分为正轴投影、横轴投影与斜轴投影。无论何种投影，在投影的应用过程中都会产生变形。高斯－克吕格投影是横轴椭圆柱等角投影，其长度变形包括高程归化改正与投影改正。高程归化改正是将地面上观测的长度归算到参考椭球面上而产生的改正：(1)式中，是地面观测长度；是地面两点高出参考椭球面的平均高度；是归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径（一般取地球的长半径R=6372km）。按式（１）计算，地面点高出椭球面65m，则高程归化改化对每千米长度变形量（或长度变形系数）为10ppm。投影改正是将参考椭球面上的长度投影到高斯平面上而产生的改正:(2)式中，是高斯平面上边长两端点横坐标的平均值；Ｓ为参考椭球面长度。椭球面上的长度投影到高斯平面上，距中央子午线越远，变形越大，如果不考虑高程归化改正对长度变形的影响，投影距中央子午线29km的范围内其变形不超过10ppm(1/10万)，45km范围内其变形小于25ppm（1／4万）考虑到上述两个长度变形因素，则每ｋｍ总的长度变形量为：(3)减少长度变形的方法通常是选择中央子午线与边长投影面，使得每ｋｍ总的长度变形最大值在规范所要求的范围内：(4)式中，为每ｋｍ长度变形系数。2斜轴墨卡托投影正轴圆柱投影适用于低纬度地区或沿纬度线扩展的区域,假如投影区域是沿除赤道圈以外的某一大圆方向,或沿经线方向伸展的地区,则可考虑采用斜轴或横轴圆柱投影,以改善投影条件,从而使变形减小。斜轴圆柱投影中,通常将地球椭球体视为半径等于R的圆球体,斜轴投影与半径R的圆球体相切的大圆称投影中线,投影前后其长度保持不便。离开投影中线的点会产生长度变形,其变形性质与高斯投影类似。斜轴墨卡托投影是指采用任意方向的方位作为等角斜切圆柱投影的中央子午线，并且中央子行线在圆柱面投影长度保持不变，远离该子午线的长度均会发生较大变形，这是由于地球为椭球体而并非球体。因此在进行斜轴墨卡托投影前，首先进行球面投影，然后再进行斜切圆柱投影。球面投影是为了保证投影精度，按照等角投影特性将地球椭球投影到一个曲率半径为常数的球体（通常称为“极球”）上，则地球椭球面测量点位的经纬度等角投影至球面经纬度，即椭球面经纬度（Ｌ，Ｂ）按照公式转换为球面经纬度（λ，φ）。斜轴墨卡托投影通常采用球面坐标系来表示某点在球面上的位置，选择过球面两点的大地线或过区中心点且具有一定方位的初始线作为圆柱等角斜切球面的投影线，并保持该线长度不变，作为Ｕ轴，垂直于该轴的直线作为Ｖ轴，形成顺时针坐标系。2.1长度变形分析投影点在参考椭球面上投影时的长度变形分析。球面投影公式如下：(5)式（1）中，λ为球面经度，L为参考椭球面经度，为球面纬度，μ为参考椭球面投影至球面的长度变形，R为测区平均曲率半径，B为参考椭球面纬度，N为卯酉圈曲率半径，ω为角度变形。α，U和K分别按下式计算。（8）（（8）（7）（6）式（2）、（3）和（4）中，B0为参考椭球面平均纬度，e为第一偏心率，φ0为测区平均纬度经球面投影后的纬度（φ0＝arcsin（sinB0）/α），U0按下式计算。（9）在同一参考椭球面上，球面投影长度变形与测区平均纬度B0和投影点纬度B有一定的关系，而与经度无关。取测区平均纬度B0的平均曲率半径作为投影球面半径，若球面投影在平均纬度为B0的纬线圈上没有变形（长度比μ＝m＝n＝1，面积比p＝1，ω＝0），则称B0为该纬线的标准纬线。椭球面在球面的局部描写长度变形系数μ与纬度有关。2.2斜轴墨卡托平面直角坐标通过上述计算，得到斜轴参考球面上各点大地坐标（φ′，λ′），按照等角横轴圆柱投影，计算其平面坐标（ｘ，ｙ），由于ｘ是λ′的偶函数，ｙ是λ′的奇函数，可得到如下方程：（10）式中各系数分别为：（11（11）如果按照等角正轴圆柱投影，使得线路中心线与斜轴圆球的赤道重合，则斜轴圆球各点以点Ａ为极点的极坐标为：（12）则斜轴墨卡托投影的平面坐标为：（13（13）式中，Ｒ为独立椭球在Ｂ′０处的平均曲率半径；μ２为正轴圆柱投影长度变形系数。2.3墨卡托投影中应注意的问题如图1所示，某路线接近东西走向，全长119.8km，如果采用高斯投影，至少要划分为两个投影带，因此使用斜轴墨卡托投影。但全线高差达618.468m，按普通方法选取OA为投影中线，各点与投影中线垂直距离不超过20km，地图投影变形可得到有效控制（最大0.496cm/km），但高差投影差变形将达到8.6cm/km，即使选择平均高程作为抵偿面也会到达4.79cm/km。因此，选择OC为投影中线，使路线逐渐偏离投影中线，增大地图投影变形，从而抵消高差投影变形。 图1斜轴墨卡托投影结合实例分析如图2所示，设某条高速铁路线路长400km，宽15km，大致呈东西走向，首级平面控制网中的6个控制点采用GPS测量，并将测量成果转换为北京54坐标系中的平面坐标，为了控制投影的长度变形值不大于10mm/km，分成6个高斯投影带进行投影，其高斯平面坐标及投影变形见表1。图2图2线路及控制点略图 从表1数据可以看出，将线路首级平面控制网分成6个投影带进行投影和平差计算，每个控制点到相应投影带中央子午线的投影长度变形都小于10mm/km，满足了有关高速铁路测量规范的要求，但是分成6个投影带分别进行投影计算，就形成了6个独立平面坐标系，产生了坐标系不统一的问题，在相邻点的综合使用过程中，不仅需要频繁的换带计算，还可能存在较大的投影变形。如果采用斜轴墨卡托投影方法来建立平面坐标系，并且取点ZX1为起点，取点ZX6为终点，取点ZX1和点ZX6所在圆弧为斜轴墨卡托的投影中线，根据坐标转换方法和流程，编写相应的坐标转换计算程序，将表1中的高斯平面坐标换算成斜轴墨卡托平面坐标，结果见表2。从表2的数据可以看出，斜轴墨卡托投影产生的长度变形远小于高斯投影产生的长度变形。ZX5距离投影中线的距离为12km，投影变形最大，但是远小于10mm/km。采用斜轴墨卡托投影，这6个控制点同属一个坐标系，坐标系也得到了统一。另外，对斜轴墨卡托投影进行有关计算表明:当线路长度为几百千米时，为了使所有的投影变形小于10mm/km，线路至投影中线的最大横向距离应小于25km;如果线路长度达到几千千米或者最大横向距离超过25km，应该将线路分成几段进行投影，且相邻投影带之间应有适当的重叠区域。4结束语经过对高斯投影长度变形的阐述、分析以及对斜轴墨卡托投影原理的研究分析发现，斜轴墨卡托投影方法较为灵活，特别是再特定区域条件下有更好的控制变形效果。（1）如果想要保证斜轴墨卡托投影前后角度不发生变形，需要两次投影：即球面投影将地球参考椭球面点投影到参考圆球面点，再将参考球面点投影到参考圆柱面上，最后得到在平面坐标中的方位，坐标；（2）斜轴墨卡托投影不仅应用于测量工程位于国家地理位置版图呈狭窄、细长的条形领域，还应用于世界地图投影以及长距离的、跨赿地图相邻投影带间的地震测线工程测量；（3）在东西走向的线路控制中与高斯投影投影相比而言，斜轴墨卡托投影不仅减少了频繁换带计算的麻烦，而且大大降低了投影所致的长度变形精度，满足精密工程测量所要求的精度。参考文献【1】马廷刚，田庆丰，高晨.地图投影变换浅析[J].测绘与空间地理信息，2013(10).【2】刘家臣．高速铁路精密工程控制测量精度研究［J］．测绘与空间地理信息，2012(12):216-218．【3】丁士俊，何亮云，李鹏鹏.斜轴墨卡托圆柱投影及其在高速铁路控制网中的应用[J].武汉大学学报·信息科学版,2016,41(4).【4】王文庆，帅明明，龚俊.斜轴墨卡托投影在东西走向高速铁路中的应用[J].地理空间信息,2013,11(4).【5】王文庆.高速铁路控制网投影方法选取[J].测绘信息与工程,2012,37(4).【6】高苏罗.斜轴墨卡托投影在地震勘探测量中的应用[J]物探装备，2015,25(5):343-346【7】温朝江，卞鸿为，陈志红，钱多.墨卡托投影在极区航海图编制中的可用性研究[J].海军出版社,2014(3).【8】JoaquimAlvesGaspar.RevisitingtheMercatorWorldMapof1569:anAssessmentofNavigationalAccuracy[J].CambridgeUniversityPressJournal,JournalofNavigation,2016,Vol.69(6).【9】HenriqueLeitão,

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