中考复习梯形

梯形♦考点链接1．掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和定理，并能熟练解决实际问题．2.能用三角形的中位线定理、梯形中位线定理来解决线段平行和线段之间的倍分问题．3．能运用一些常见的数学思想方法解题．♦典例精析【例题1】如图，在梯形ABCD中，ZB+ZC=90°,M、N分别为上、下底的中点．1求证：MN=2(BC-AD).解题思路：由ZB+ZC=90。，联想到直角三角形，从而将MN放入直角三角形中，不采用延长两腰，因为证明很麻烦，故采用平移腰的方法．证明：如图，过M作ME〃AB,MF#CD，分别交BC于E、F,则AM=BE，MD=FC，ZB=ZMEN，ZC=ZMFN.•••M、N分别是AD、BC的中点..•・BN-BE=NC-FC，即EN=FN.又VZB+ZC=90°，AZMEN+ZMFN=90°，.△EMF为直角三角形.11.•・MN=EF=(BC-AD).22评析：在梯形这部分，除了要会应用好梯形的一些性质外，还要通过平移腰、平移对角线、延长两腰或作高等方法来转化，在解决问题时，要具体分析，灵活选择转化方法．【例题2】如图，梯形ABCD中，AB〃DC,E为AD上一点，且BE平分ZABC，CE平分ZBCD.求证：E为AD的中点.解题思路：延长BE、CD相交于F,证明△FED9ABEA.

证明：延长BE,CD相交于F.VCD#AB,CE平分ZBCD.••・ZF=Z1=Z2,・・・CF=CB.又CE是ZBCD的平分线.••・E是FB的中点.AZF=Z1,FE=EB,Z3=Z4,.•.△FED9ABEA,・・・DE=EA，即E是AD的中点.评析：梯形的性质通常与三角形的性质相结合,常将梯形的相关结论转化为三角形的相关问题.【例题3】某村计划开挖一条长1500m的水渠，渠道的断面为等腰梯形，渠道深0.8m,下底宽1.2m，坡角为45°(如图)，实际开挖渠道时，每天比原计划多挖土20m,结果比原计划提前4天完工,求原计划每天挖土多少立方米.解题思路：过点A,B分别向DC作垂线，先计算梯形的面积，进而得到所挖土的总立方数，并最终得解.解：过点A,B分别向DC作垂线，P,Q是垂足,则AP=BQ=0.8，在RtAAPD中，VZDAP=ZPDA=45°,ADP=PA=0.8.同理CQ=0.8,••・CD=DP+PQ+QC=1.2+0.8X2=2.8,1•••S梯形bcd=2(AB+CD)・AP=1.6(m2).・•・挖渠道的土方数为1.6x1500=2400(m3).设原计划每天挖土x(m3),则实际每天挖土(x+20)m3.24002400・•・+=4,即卩x2+20x-12000=0,x+20x解得：x1=-120,x2=100,经检验：x1=-120,x2=100都是原方程的根，但挖土的体积不能为负数，故x=-120舍去，.°.x=100.答：原计划每天挖土的立方数为100m3．评析：渠道是一棱柱，其截面是图中所示的等腰梯形，故所挖土方数等于图中等腰梯形的面积乘以水渠的长度.♦探究实践【问题1】（沈阳）如图，已知梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,4n对角线AC和BD相交于点O,E是BC边上一动点（点E不与B、C两点重合），EF〃BD交AC于点F,EG〃AC交BD于点G.EC（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明.解题思路：（1）四边形EFOG的周长等于2OB，只要证得GE+EF=OB即可.其实只要△BOC为等腰三角形即得，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以△BOC为等腰三角形.（2）改成的四边形只要AB0C为等腰三角形即可.故四边形改为矩形、正方形、菱形都可以.（1）证明：•・•四边形ABCD是梯形，AD〃BC,AB=CD..\ZABC=ZDCB.又VBC=CB,AB=DC,/.△ABC^^DCB,AZDBC=ZACB.又VGE#AC,AZBEG=ZACB.AZDBC=ZBEG,AEG=BG.•.•EG〃OC,EF〃OB,.四边形EGOF是平行四边形，.EG=OF,EF=OG.・•・四边形EGOF的周长=2（OG+GE）=2OB.（2）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E是BC上一个动点（点

E不与B、C两点重合），EF〃BD，交AC于点F,EG#AC交BD于点G,求证：四边形EFOG的周长等于20B.评析：本题是探索性题目，这类题目一定要根据已知题目找出使结论成立起决定作用的条件.【问题2】（荆州）如图，在等腰梯形ABCD中，BC#AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10点P从点A出发沿AD边向点D移动，点Q自A点出发沿A-B-C的路线移动，且PQ〃DC,若AP=x，梯形位于线段PQ右侧部分的面积为S.（1）分别求出当点Q位于AB、BC上时，S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当线段PQ将梯形ABCD分成面积相等的两部分时，x的值是多少?（3）在（2）的条件下，设线段PQ与梯形ABCD的中位线EF交于0点，那么OE与OF的长度有什么关系？借助备用图说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线L经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，其一定平分梯形的面积？（只要求说出条件,不需要证明）.解题思路：（1）分Q在AB、BC两种情况，抓住三角形、梯形、四边形的面积关系，分别求出S与x的关系式.（2）由（1）所得关系式，求面积为梯形面积一半的x的值.（3）•梯形的面积等于中位线乘以高来分析解决.在RtAABN在RtAABN中，AB=10，AN=6,・：BN=8.•••△AQP为等腰三角形，11AM二AP=x.22又VQM丄AD,BN丄AD,・：QM〃BN,...AM=QM=AM^N=2x,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"ANBNAN3\o"CurrentDocument"1121S=AP・QM=—x・x=x2,\o"CurrentDocument"22331・•.当Q在AB上时，S=§x2，自变量x的取值范围是0〈x<12；当点Q在BC上时，11PQ右侧四边形ABQP为梯形，则S=-(QB+AP)•BN=-[(x-12)+x]X8=8x-48,自变量x的取值范围是12〈x〈20.(2)梯形ABCD的面积S=1(BC+AD)•BN=112.02当Q在AB移动时，AAOP的面积最大值为11SAG・BN=X12X8=48〈一0.222故线段PQ等分梯形面积时，点Q只可能在BC上,S・.8x-48=—o=56,・x=13.2评析：本题探索图形之间的变换关系,并利用梯形和三角形的面积来建立函数关系式,这个题考查了三角形和梯形的有关知识,并和代数结合,它的新颖之处在于几何图形的运动和变化．♦中考演练一、填空题在四边形ABCD中，AD〃BC,ADMBC,若使它成为等腰梯形，则需添加的条件是（填一个正确的条件即可）．有一个直角梯形ABCD,AD〃BC，斜腰DC的长为10cm,ZD=120°，如图1,则另一腰AB的长为cm.（结果不取近似值）(2)(3)(2)(3)如图2,梯形ABCD中，AD〃BC,E、F、G、H分别是边DC、BC、AB、DA的中点，梯形ABCD的边满足条件时，四边形EFGH是菱形.二、选择题（沈阳）如图3,梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1：3,坝高BC为2m,则斜坡AB的长是（）.A.2^/5mB.2^/10mC.4^5mD.6m（绍兴）如图4,M、N分别是直角梯形ABCD的两腰AD、CB的中点，DE丄AB于点E,将△ADE沿DE翻折,M与N恰好重合,则AE：BE等于（）.A.2：1A.2：1如图5,在梯形ABCD中，AD〃BC，对角线AC丄BD且AC=12,BD=9,则此梯形的中位线长是（）.15A.10B.C.D.1222

三、解答题（北京）如图，梯形ABCD中，AD〃BC,BD平分ZABC,ZA=120°,BD=BC=4P3,求梯形的面积．如图，F为AB的中点，四边形CGEF为菱形，Z1=Z2=ZFCG.求证：D、F、H为线段AB的四等分点.♦实战模拟一、填空题如图6,在梯形ABCD中，AB〃CD,BC=8，DC=6运，ZBCD=45°，ZBAD=120°，则梯如图7,在梯形ABCD中，已知AB#CD，点E为BC的中点，设△DEA的面积为S，梯形1ABCD的面积为S,则S与S的关系为212如图8,在梯形ABCD中，E是CD的中点，延长AE交BC于F点，已知ZB=45°,梯形的高AH=2cm,HF=5cm,则梯形的面积等于.二、选择题（天津）如图9,在梯形ABCD中，AB〃CD，中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点,若EF=18cm,MN=8cm，则AB的长等于（）.A．10cmB．13cmC．20cmD．26cm2．（黑龙江）若等腰梯形的三边长分别为3，4，11，则这个等腰梯形的周长为（）．A．21B．29C．21或29D．21或22或29直角梯形的中位线长a,—腰长b这腰和底所夹的角是30°，则它的面积为（）.111A.abB.abC.abD.ab248三、解答题（广东）如图，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点.（1）求证：四边形MENF是菱形；（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．（温州）如图，在一ABCD中，对角线AC丄BC,AC=BC=2,动点P从点A出发沿AC向终点C运动，过点P分别作PM〃AB交BC于M,PN〃AD交CD于N,连结AM,设AP=x.（1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由.（2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与厶ABM的面积相等?答案:中考演练一、1.ZB=ZC或ZA=ZD,或AB=DC,或AC=BD5