工程力学-弯曲变形

第十二章弯曲变形§12-1工程中的弯曲变形问题§12-2挠曲线的微分方程§12-3用积分法求弯曲变形§12-4用叠加法求弯曲变形§12-6提高弯曲刚度的一些措施§12-7

简单超静定梁§12-5梁的刚度校核目录§12-1工程中的弯曲变形问题7-1§12-1工程中的弯曲变形问题§12-2挠曲线的微分方程1.基本概念挠曲线方程：由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠曲线挠度转角挠度w：截面形心在w方向的位移向上为正转角θ：截面绕中性轴转过的角度。逆时针为正7-22.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响由数学知识可知：略去高阶小量，得所以由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。§12-3用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：7-31.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。与w

同向为正，反之为负。

2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，逆时针转动为正，反之为负。

二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：

w=f(x)三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量小变形PxwCqC1w挠曲线近似微分方程即挠曲线近似微分方程。小变形wxM>0wxM<0挠曲线曲率:EIzxM)(=w¢¢\

11强度：正应力：剪应力：刚度：稳定性：都与内力和截面性质有关。……………12对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：挠曲线曲率:13用积分法求弯曲变形（挠曲线方程）1.微分方程的积分C1、C2为积分常数，据边界条件确定§12-3积分法求弯曲变形挠曲线近似微分方程：2.位移边界条件FABCFD支点位移条件：连续光滑条件：FABC（集中力、集中力偶作用处，截面变化处）例求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF4）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF例求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC段：CB段：3）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：4）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件5）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：6）确定最大转角和最大挠度令得，令得，讨论：①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。§12-4用叠加法求弯曲变形设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为w，则有：

若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，7-4故由于梁的边界条件不变，因此重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。处理计算的方法一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形

等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。二、结构形式叠加（逐段刚化法）：

前提：小变形，线弹性．使梁的挠度、转角 均与载荷成线形关系。例已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度wC

；B截面的转角B1）将梁上的载荷分解wC1wC2wC32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。解3）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和

wC1wC2wC3例

按叠加原理求C点挠度。解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。叠加q00.5L0.5LxdxxwCL/2L/2qACA=+例：求图示梁C截面的挠度。解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表3、叠加L/2ACAq/2L/2(a)L/2L/2ACAq/2q/2(b)例结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等价等价xxwPL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCMx=+ABLaCqqaABL

CM=qa2/2ÞÞ（b）例：求图示梁B截面的挠度（EI已知）。解：1)结构分解如图2)查梁的简单载荷变形表3)叠加B

CÞÞq（a）例

已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度wC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。解3）将结果叠加

2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。§12-5梁的刚度条件一、梁的刚度条件其中[]称为许用转角；[w]称为许用挠度。由具体工作条件定,可查手册.通常依此条件进行如下三种刚度计算：

、校核刚度：

、设计截面尺寸；、设计载荷。(但：对于一般工程结构，强度常处于主要地位。特殊构件例外）PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例５下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[w]=0.00001m,B点的[]=0.001弧度,试校核此杆的刚度。=++=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++图1图2图3解：结构变换，查表求简单

载荷变形。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxyP2BCa=++图1图2图3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxy叠加求复杂载荷下的变形校核刚度1）选择合理的截面形状§12-6提高弯曲刚度的一些措施2）改善结构形式，减少弯矩数值改变支座形式2）改善结构形式，减少弯矩数值改变载荷类型3）采用超静定结构§12-7

简单超静定梁1.基本概念：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。2.求解方法：解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统7-6解例6求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。1）判定超静定次数2）解除多余约束，建立相当系统3）进行变形比较，列出变形协调条件4）由物理关系，列出补充方程所以5）由整体平衡条件求其他约束反力例7梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。从B处拆开，使超静定结构变成两个悬