线性代数-第五章

设n阶矩阵A,若有函数映射 AaAm aAm

Aa 则称是A的n次多项式1:2阶矩阵A

2,

0- 1 求其多项式A3A32A2A5E.定义 设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,P1AP则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进P1AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.1等价关反性对性

A与A本身相似若A与B相似,则B与A相似若A与B相似,B与C相似则A与C相似1A P递 AP1A 若A与B相似,则Am与Bm相似m为正整数P1kAkAPkP1APkP1A k1k2是任意常数定理定理若n阶矩阵A与B相似,则A与B式相同,从而A与B的特征值亦相同证明A与B可逆阵P,使得P1APB P1APPP1AP

A推论若n阶方阵A与对

相似,则1,2,,n即是A的n个特征值利用对角矩阵计算矩阵多若APBP1, AkPBP1

PB

PBP1PBP1PBkP1(A)a0Ana1An1an1Aana0PBnP1a1PBn1P1an1PBP1anPEP1P(a0Bna1Bn1an1BanE)P1P(B)P1特别地,若可逆矩阵PP1AP为对角矩阵 AkPkP1对于对角矩阵,

k

k,2, nkn

述结论可()

算矩阵A的,A,定

设f是矩阵A的特征多项式,则fA证明只证明A与对角矩阵相似的情形若A与对角矩阵相似,则有可逆矩阵P,P1AP其中i为A的特征值f(i0由APP1,f f(

Pf

P1

P

P1POP1n阶方A若可找到可逆矩阵P,P1AP为对角阵,这就称为把方阵A定理定理n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化A有n个线性无关的特征向量证明假设存在可逆阵P使P1AP为对角阵PPp1p2pn由P1AP,得AP

即Ap,p,,pp,p,,p nAp1,p2,,pnAp1,Ap2,,Apn , ,, 于是

ii是A而P的列向pi就反之,由于A恰好有n个特征值,并可对应地求得n个特征向量,这n个特征向量即可构成矩阵P,使APP.又由p1p2,pn线性无P可逆命题得证推nA的n个特征值互推nA的n个特征值互不相则A角阵相n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化，但如果能找到n个线性无关的特A还是能对0 0 1例1设矩阵A x可相似对角化，求100 100 解先求A特征 1

所以A的全部特征值为1 1,若A可相似对A有3个线性无关的特征向 A对应于二重特征值1有2个线性无关的 AEx0的系数矩阵RAE1 1 1 AE

x~0

x

0 所以RAE)1x10,即x例2判断下列实矩阵能否化为对角阵 2

2A 2 2

4

A11

32 2解由A

1 2 2 22代入A0,x12x22x32x4x4x 2x14x24x3基础

0,11 11 7,由AEx求得基础解系 T 由

所以线性无关即A有3个线性无关的特征向量,因而A化 2 A 102 1022 A 3

2所以A的特征值为 基础解故A不能化为对角矩阵 例2设A

1 1A能否对角化？若能对角化,则求出可逆矩阵P使P1AP解A

4 5 1

3x16x23x6 3x16x2基础

1

0 0

0.11将32代入AEx0得方程组的基础3 3由于线性无关

所以A可对角化 P

1011 011 1 0则 P1AP 00 0注1 若令P

1 1 0 P1AP

0. 1 即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置１.相似矩A与B相似,则|A||B若A与B相似,且A可逆,则B也可逆,且A1与B1相似A与B则kA与kBk若A与B相似而fx)是一多项式,则fA)与f(B)相似.２．相似变换与相似变换P1AP，而可逆矩阵P称为进行这一变换的判断下列两矩阵A,B是否相似 0 1 0A1

B . 0解0P1P1

1AP1

det