实验三最佳平方逼近多项式的收敛性

0/11实验三最佳平方逼近多项式的收敛性实验目的若已知给定区间[a,b]上的连续函数fx,寻找一个简单、易于计算的函数P(x)来代替fx使用，即用P(x)去近似fx，这就是函数逼近所要研究的问题。而逼近的方法很多，收敛速度也各有差异，本实验主要讨论最佳平方逼近，分别对Legendre以及Chebychev方法讨论其n次截断多项式的问题，观察其收敛性，实验原理由教材定义有：对于给定的函数，如果存在使得则称S*(x)是f(x)在集合中的最佳平方逼近函数。显然，求最佳平方逼近函数的问题可归结为求它的系数，使多元函数取得极小值，也即点()是I(a0,…，an)的极点。由于I(a0,a1,…，an)是关于a0,a1,…，an的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，(k=0,1,2,…,n)即得方程组如采用函数内积记号那么，方程组可以简写为………….（1）这是一个包含n+1个未知元a0,a1, …,an的n+1阶线性代数方程组，写成矩阵形式为………（2）此方程组叫做求aj(j=0,1,2,…,n)的法方程组。显然，其系数行列式就是克莱姆行列式Gn=Gn(0,1,…,n)。由于0,1,…,n线性无关，故Gn0，于是上述方程组存在唯一解。从而肯定了函数f(x)在中如果存在最佳平方逼近函数，则必是……………（3）实验内容考虑f(x)=|x|在区间[-1,1]上关于Legendre多项式和Chebychev多项式的展开式。分别取展开式的4次、8次……阶段多项式，画出f(x)及各次截断多项式的图像，观察收敛性。实验步骤最佳平方逼近算法输入被逼近函数f(x)和对应的逼近区间[a,b]并选择逼近函数系{∮（x）}和权函数；解方程组（1）或（2），其中方程组的系数矩阵和右端的项由式（3）得到；由式（3）得到函数的最佳平方逼近。MATLAB实现编写三个函数：外部函数；多项式函数；被逼近函数，作出n取不同值时的逼近函数曲线，与原函数图像进行比较，观察其收敛性。实验数据分析5．1Legendre多项式逼近fx=|x|在区间[-1,1]上关于fx=逼近图像如下图5-1所示，由图可知，此Legendre多项式逼近是收敛的。图5-1fx=|x|在区间[-1,1]上关于fx=逼近图像如下图5-2所示，由图可知，此Legendre多项式逼近是收敛的。图5-2fx=|x|在区间[-1,1]上关于Legendre多项式的十六次截断多项式为逼近图像如下图5-3所示，由图可知，此Legendre多项式逼近是收敛的。图5-35．2Chebychev多项式逼近fx=|x|在区间[-1,1]上关于fx逼近图像如下图5-4所示，由图可知，此Chebychev多项式逼近是收敛的。图5-4f(x)=|x|在区间[-1,1]上关于Chebychev多项式的八次截断多项式为f(x)=1911387046407553/27021597764222976+9556935232037765/3377699720527872*x^2-9556935232037765/1688849860263936*x^4+13379709324852871/2111062325329920*x^6-1911387046407553/738871813865472*x^8逼近图像如下图5-5所示，由图可知，此Chebychev多项式逼近是收敛的。图5-5fx=|x|在区间[-1,1]上关于fx逼近图像如下图5-6所示，由图可知，此Chebychev多项式逼近是收敛的。图5-6由于在MATLAB中进行16次Legendre以及Chebychev逼近，速度已经很慢，而且以上n的取值已经能表示出Legendre和Chebychev多项式逼近的特点，故我们n只取到16为止。实验讨论由实验可知，用Legendre正交多项式在区间[-1,1]上逼近函数fx=|x|，不管是4次、8次还是用Chebychev正交多项式在区间[-1,1]上逼近函数fx=|x|，不管是4次、8次还是对于用Legendre正交多项式逼近和用Chebychev正交多项式进行逼近，二者的区别在于权函数的选取上。对于Legendre正交多项式，其权函数为1，所以在进行内积的时候，不用考虑权函数的问题。但是对于Chebychev正交多项式，计算内积的时候权函数为ρx通过利用Legendre正交多项式逼近和Chebychev正交多项式逼近，从逼近图像上可以看出，在函数的间断点0处的误差是最大的。但是，随着截断多项式的次数越高，0点的误差也越来越小。由实验过程可知，MATLAB在做16次逼近的时候，速度比4次以及8次要慢很多，处于s级，而且逼近精度并没有很大的提高，这对于我们工程实际应用有一个提醒，在精度要求不