人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直课件

8.6.2《直线与平面垂直》8.6.2《直线与平面垂直》1、异面直线所成角的概念；

已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).3、求异面直线的所成角的一般步骤是：作—证—求

2、异面直线所成的角的范围(0,90]oo作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).复习回顾：1、异面直线所成角的概念；已知两条异面直线a,b,复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么?（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）2.线面平行的判定定理的内容是什么?如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.3.线面平行的性质定理的内容是什么?如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做直线与平面垂直,这节课我们重点来探究直线与平面垂直复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么?（1）直线在平面内问题1：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？

问题1：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、一条直线与一个平面垂直的意义是什么？问题引入新课AαBB1C1CB旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直．

与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．

直线垂直于平面内的任意一条直线．一条直线与一个平面垂直的意义是什么？问题引入新课AαBB1C直线与平面垂直的定义：Plα直线平面l的垂面垂足α的垂线如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直记作：l⊥αl叫做α的垂线,α叫做l的垂面,l与α的唯一公共点P叫做垂足。说明：l⊥α等价于对任意的直线mÌα，都有l⊥m.利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒

.直线与平面垂直的定义：Plα直线平面l的垂面垂足α的垂线如果线面垂直直观图的一般画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直线面垂直直观图的一般画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？可以发现：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.点到该平面的距离：如棱锥的高就是顶点到底面的距离.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结直线与平面垂直不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c…都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c…都垂直的条件下,与平面α可能垂直也可能斜交.思考(1)如图,直线l与平面α内的无数条直线a,b,c…都垂直,直线l与平面α一定垂直吗?为什么？根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线l与平面α内的所有直线都垂直,那么有没有可行的方法？l与平面α内一条直线a垂直肯定不可以，两条呢？直线与平面垂直不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c…都互(2)请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触),问:折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直?探究l与平面α内两条平行直线a、b垂直肯定不可以

那平面内的两条直线相交时又是什么情况呢？(2)请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试直线与平面垂直探究

如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：

过的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）

当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直．即AD垂直BD和CD两条相交线时，AD垂直直线与平面垂直探究如图，准备一块三角形的纸片，做一个直线与平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.Pablα作用：线线垂直线面垂直符号语言：⇒l⊥α.直线与平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线已知：如图，已知a∥b，a⊥α。求证：b⊥α。例题示范,巩固新知分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，直线a与这两条相交直线是垂直的，又由b平行a，可证b与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。ab例1、两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直已知：如图，已知a∥b，a⊥α。例题示范,巩固新知分析：在平已知：如图，已知a∥b，a⊥α。求证：b⊥α。例题示范,巩固新知证明：在平面α内取两条相交直线m、n，ab例1、两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.线面垂直的判定定理二人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直已知：如图，已知a∥b，a⊥α。例题示范,巩固新知证明：在平[证明]

(1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.则在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD，所以△ADS≌△BDS.所以∠BDS＝∠ADS＝90°，即SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直[证明](1)因为SA＝SC，D为AC的中点，则在Rt△A[证明]

(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线所以BD⊥平面SAC.人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直[证明](2)因为AB＝BC，D为AC的中点，又由(1)知反思感悟

判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线与平面内的任一直线垂直,但这种方法一般不用.最常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理,根据定理,只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可.另外,判定直线与平面垂直还有如下两个结论可用:(1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线与两平行平面中的一个面垂直,则它与另一个平面也垂直.人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直反思感悟判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线总结：证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义.(2)线面垂直的判定定理.(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直总结：证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义.人教A版必修第例3如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC.析：首先利用PA⊥平面ABC得到PA⊥BC,然后根据圆的性质得到AC⊥BC,进而利用线面垂直判定定理证得BC⊥平面PAC,从而得到BC⊥PC.证明:∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.

∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.变式：若本例中其他条件不变,作AE⊥PC交PC于点E,求证:AE⊥PB.人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直例3如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C反思感悟

直线和平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质.判定是指,如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么直线就与平面垂直;性质是指,如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线,即a⊥α,b⊂α⇒a⊥b.由直线与平面垂直的定义及判定定理,就可以由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到线线垂直,即得到线线垂直与线面垂直的相互转化.因此,要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面),通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面.人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直反思感悟直线和平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质.判总结：证明线线垂直的方法人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直总结：证明线线垂直的方法人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面的斜线如图,若一条直线PA和一个平面α相交,但不垂直,那么这条直线就叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足。PA斜足斜线人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直平面的斜线如图,若一条直线PA和一个平面α相交,但不垂直,那直线和平面所成的角如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。斜线斜足射影垂足垂线一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是00的角。规定:思考:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直直线和平面所成的角如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PA1B1C1D1ABCD例4、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求（1）直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。（2）直线A1B和平面A1DCB1所成的角。O例题示范,巩固新知分析:找出直线A1B在平面A1DCB1内的射影,就可以求出A1B和平面A1DCB1所成的角.∴∠BA1O＝30°人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直A1B1C1D1ABCD例4、如图，正方体ABCD-A1B1人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二小结1．直线与平面垂直的概念4．数学思想方法：转化的思想空间问题平面问题3．直线与平面垂直的判定垂直于平面内任意一条直线2.线面角的概念及范围、步骤（1）证明线面垂直的方法（2）证明线线垂直的方法线线垂直线面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直小结1．直线与平面垂直的概念4．数学思想方法：转化的思想空间2、选做题：课时跟踪检测三十B级1、必做题：完成学案导学P89——P92

2、必做题：课时跟踪检测三十A级

作业人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直2、选做题：课时跟踪检测三十B级1、必做题：作业人教A版8.6.2《直线与平面垂直》8.6.2《直线与平面垂直》1、异面直线所成角的概念；

已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).3、求异面直线的所成角的一般步骤是：作—证—求

2、异面直线所成的角的范围(0,90]oo作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).复习回顾：1、异面直线所成角的概念；已知两条异面直线a,b,复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么?（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）2.线面平行的判定定理的内容是什么?如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.3.线面平行的性质定理的内容是什么?如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做直线与平面垂直,这节课我们重点来探究直线与平面垂直复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么?（1）直线在平面内问题1：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？

问题1：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、一条直线与一个平面垂直的意义是什么？问题引入新课AαBB1C1CB旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直．

与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．

直线垂直于平面内的任意一条直线．一条直线与一个平面垂直的意义是什么？问题引入新课AαBB1C直线与平面垂直的定义：Plα直线平面l的垂面垂足α的垂线如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直记作：l⊥αl叫做α的垂线,α叫做l的垂面,l与α的唯一公共点P叫做垂足。说明：l⊥α等价于对任意的直线mÌα，都有l⊥m.利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒

.直线与平面垂直的定义：Plα直线平面l的垂面垂足α的垂线如果线面垂直直观图的一般画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直线面垂直直观图的一般画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？可以发现：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.点到该平面的距离：如棱锥的高就是顶点到底面的距离.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结直线与平面垂直不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c…都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c…都垂直的条件下,与平面α可能垂直也可能斜交.思考(1)如图,直线l与平面α内的无数条直线a,b,c…都垂直,直线l与平面α一定垂直吗?为什么？根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线l与平面α内的所有直线都垂直,那么有没有可行的方法？l与平面α内一条直线a垂直肯定不可以，两条呢？直线与平面垂直不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c…都互(2)请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触),问:折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直?探究l与平面α内两条平行直线a、b垂直肯定不可以

那平面内的两条直线相交时又是什么情况呢？(2)请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试直线与平面垂直探究

如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：

过的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）

当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直．即AD垂直BD和CD两条相交线时，AD垂直直线与平面垂直探究如图，准备一块三角形的纸片，做一个直线与平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.Pablα作用：线线垂直线面垂直符号语言：⇒l⊥α.直线与平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线已知：如图，已知a∥b，a⊥α。求证：b⊥α。例题示范,巩固新知分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，直线a与这两条相交直线是垂直的，又由b平行a，可证b与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。ab例1、两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直已知：如图，已知a∥b，a⊥α。例题示范,巩固新知分析：在平已知：如图，已知a∥b，a⊥α。求证：b⊥α。例题示范,巩固新知证明：在平面α内取两条相交直线m、n，ab例1、两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.线面垂直的判定定理二人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直已知：如图，已知a∥b，a⊥α。例题示范,巩固新知证明：在平[证明]

(1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.则在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD，所以△ADS≌△BDS.所以∠BDS＝∠ADS＝90°，即SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直[证明](1)因为SA＝SC，D为AC的中点，则在Rt△A[证明]

(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线所以BD⊥平面SAC.人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直[证明](2)因为AB＝BC，D为AC的中点，又由(1)知反思感悟

判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线与平面内的任一直线垂直,但这种方法一般不用.最常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理,根据定理,只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可.另外,判定直线与平面垂直还有如下两个结论可用:(1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线与两平行平面中的一个面垂直,则它与另一个平面也垂直.人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直反思感悟判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线总结：证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义.(2)线面垂直的判定定理.(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直总结：证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义.人教A版必修第例3如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC.析：首先利用PA⊥平面ABC得到PA⊥BC,然后根据圆的性质得到AC⊥BC,进而利用线面垂直判定定理证得BC⊥平面PAC,从而得到BC⊥PC.证明:∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.

∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.变式：若本例中其他条件不变,作AE⊥PC交PC于点E,求证:AE⊥PB.人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直例3如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C反思感悟

直线和平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质.判定是指,如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么直线就与平面垂直;性质是指,如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线,即a⊥α,b⊂α⇒a⊥b.由直线与平面垂直的定义及判定定理,就可以由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到线线垂直,即得到线线垂直与线面垂直的相互转化.因此,要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面),通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面.人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直反思感悟直线和平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质.判总结：证明线线垂直的方法人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面垂直总结：证明线线垂直的方法人教A版必修第二册立体几何初步直线与平面的斜线如图