高二【数学(人教A版)】空间向量基本定理2-课件

年级：高二学科：数学（人教A版）空间向量基本定理（2）年级：高二1问题1

你能用自己的语言复述空间向量基本定理吗？问题1你能用自己的语言复述空间向量基本定理吗？2空间向量基本定理

我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b，c都叫做基向量(basevectors).

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.空间向量基本定理我们把{a，b，c}叫做空间3

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两4例1

如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN

上，且，，用向量表示问：是否一定能做到？答：不共面，空间向量基本定理保证了可行性．可以构成空间的一个基底．OABCMNP例1如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，5答：可以利用向量线性运算的

运算法则，如三角形法则、

平行四边形法则等．问：如何进行表示？OABCMNP例1

如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN

上，且，，用向量表示答：可以利用向量线性运算的问：如何进行表示？OABCMNP例6解：OABCMNPQ解：OABCMNPQ7问题2

通过这道例题的解题过程，同学们能否总结出用基向量表示空间向量的方法呢？问题2通过这道例题的解题过程，同学们能否总结出用基向量表8

结合图形特征，利用三角形法则、平行四边形法则、向量数乘等线性运算法则，将待求向量逐步转化为基向量，将未知化归为已知.用基向量表示空间向量的方法结合图形特征，利用三角形法则、平行四边形法则9答：综合几何方法：问：证明异面直线垂直，你能想到

哪些方法？向量方法．证明异面直线所成角为直角；线面垂直的定义和性质等．例2

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．

求证MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN454答：综合几何方法：问：证明异面直线垂直，你能想到向量方法．证10答：可以转化为向量问题问：如何使用向量方法解决立体几何

问题？例2

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．

求证MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN454答：可以转化为向量问题问：如何使用向量方法解决立体几何例211答：可以转化为向量问题问：如何使用向量方法解决立体几何

问题？例2

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．

求证MN⊥AC1．求证只需证ABCDA1B1C1D1MN454答：可以转化为向量问题问：如何使用向量方法解决立体几何例212例2

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．

求证MN⊥AC1．问：如何计算？向已知条件转化．ABCDA1B1C1D1MN454例2如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，A13证明：设这三个向量不共面，{a，b，c}是空间的一个基底．则所以所以

所以选取基底(不共面且已知长度夹角)4ABCDA1B1C1D1MN45证明：设14用基向量表示相关向量还原为几何问题的解把相关向量的运算转化为基向量的运算向量问题的解选取基底(不共面且已知长度夹角)证明：设这三个向量不共面，{a，b，c}是空间的一个基底．则所以所以

所以选取基底(不共面且已知长度夹角)用基向量表示相关向量还原为几何问题的解把相关向量的运算转化为15立体几何问题用向量方法解决立体几何问题的路径①适当选取基底向量运算转化②用基向量表示相关向量③将相关向量的问题转化为基向量的问题向量问题向量问题的解立体几何问题的解转化向量方法理论基础：空间向量基本定理立体几何问题用向量方法解决立体几何问题的路径①适当选取基底向16答：可以取单位正交基底．例3

如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点．

（1）求证：EF∥AC;问：单位正方体这个条件对解题有什么作用？单位：基向量长度为1．正交：基向量两两垂直，ABCDA'B'C'D'EFG任意两不同基向量数量积为0．答：可以取单位正交基底．例3如图，正方体ABCD－A'17问：如何用向量方法证明EF//AC？答：只需证，只需证存在实数λ，使得．例3

如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点．

（1）求证：EF∥AC;ABCDA'B'C'D'EFG问：如何用向量方法证明EF//AC？答：只需证18证明：设则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底．所以所以所以所以ABCDA'B'C'D'EFGijk证明：设19问：如何用向量表示

CE与

AG所成角的余弦值？答：求与所成角的余弦值．例3

如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点．

（1）求证：EF∥AC;（2）求

CE与

AG所成角

的余弦值．ABCDA'B'C'D'EFGijk问：如何用向量表示CE与AG所20解：因为所以ABCDA'B'C'D'EFGijk解：因为21所以

CE与

AG所成角的余弦值为1

0

0

0

选取单位正交基底有利于运算解：因为所以所以CE与AG所成角的余弦值为122思考：是否可以用与所成角的余弦值来求解第2小问？例3

如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点．

（1）求证：EF∥AC;（2）求

CE与

AG所成角

的余弦值．ABCDA'B'C'D'EFG思考：是否可以用与所例3如图，正23

应用一个定理：空间向量基本定理

学习一种方法：向量方法

体会一种思想：转化与化归思想课堂小结应用一个定理：空间向量基本定理课堂小结24课后作业1.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且

（1）求证：EF⊥B1C;

（2）求EF与C1G所成角的余弦值．(思考题)用综合几何方法证明或求解例题，体会综合几何方法与向量方法的特点．课后作业1.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B125年级：高二学科：数学（人教A版）空间向量基本定理（2）年级：高二26问题1

你能用自己的语言复述空间向量基本定理吗？问题1你能用自己的语言复述空间向量基本定理吗？27空间向量基本定理

我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b，c都叫做基向量(basevectors).

如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组

(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.空间向量基本定理我们把{a，b，c}叫做空间28

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两29例1

如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN

上，且，，用向量表示问：是否一定能做到？答：不共面，空间向量基本定理保证了可行性．可以构成空间的一个基底．OABCMNP例1如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，30答：可以利用向量线性运算的

运算法则，如三角形法则、

平行四边形法则等．问：如何进行表示？OABCMNP例1

如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN

上，且，，用向量表示答：可以利用向量线性运算的问：如何进行表示？OABCMNP例31解：OABCMNPQ解：OABCMNPQ32问题2

通过这道例题的解题过程，同学们能否总结出用基向量表示空间向量的方法呢？问题2通过这道例题的解题过程，同学们能否总结出用基向量表33

结合图形特征，利用三角形法则、平行四边形法则、向量数乘等线性运算法则，将待求向量逐步转化为基向量，将未知化归为已知.用基向量表示空间向量的方法结合图形特征，利用三角形法则、平行四边形法则34答：综合几何方法：问：证明异面直线垂直，你能想到

哪些方法？向量方法．证明异面直线所成角为直角；线面垂直的定义和性质等．例2

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．

求证MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN454答：综合几何方法：问：证明异面直线垂直，你能想到向量方法．证35答：可以转化为向量问题问：如何使用向量方法解决立体几何

问题？例2

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．

求证MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN454答：可以转化为向量问题问：如何使用向量方法解决立体几何例236答：可以转化为向量问题问：如何使用向量方法解决立体几何

问题？例2

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．

求证MN⊥AC1．求证只需证ABCDA1B1C1D1MN454答：可以转化为向量问题问：如何使用向量方法解决立体几何例237例2

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．

求证MN⊥AC1．问：如何计算？向已知条件转化．ABCDA1B1C1D1MN454例2如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，A38证明：设这三个向量不共面，{a，b，c}是空间的一个基底．则所以所以

所以选取基底(不共面且已知长度夹角)4ABCDA1B1C1D1MN45证明：设39用基向量表示相关向量还原为几何问题的解把相关向量的运算转化为基向量的运算向量问题的解选取基底(不共面且已知长度夹角)证明：设这三个向量不共面，{a，b，c}是空间的一个基底．则所以所以

所以选取基底(不共面且已知长度夹角)用基向量表示相关向量还原为几何问题的解把相关向量的运算转化为40立体几何问题用向量方法解决立体几何问题的路径①适当选取基底向量运算转化②用基向量表示相关向量③将相关向量的问题转化为基向量的问题向量问题向量问题的解立体几何问题的解转化向量方法理论基础：空间向量基本定理立体几何问题用向量方法解决立体几何问题的路径①适当选取基底向41答：可以取单位正交基底．例3

如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点．

（1）求证：EF∥AC;问：单位正方体这个条件对解题有什么作用？单位：基向量长度为1．正交：基向量两两垂直，ABCDA'B'C'D'EFG任意两不同基向量数量积为0．答：可以取单位正交基底．例3如图，正方体ABCD－A'42问：如何用向量方法证明EF//AC？答：只需证，只需证存在实数λ，使得．例3

如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点．

（1）求证：EF∥AC;ABCDA'B'C'D'EFG问：如何用向量方法证明EF//AC？答：只需证43证明：设则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底．所以所以所以所以ABCDA'B'C'D'EFGijk证明：设44问：如何用向量表示

CE与

AG所成角的余弦值？答：求与所成角的余弦值．例3

如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点．

（1）求证：EF∥AC;（2）求

CE与

AG所成角

的余弦值．ABCDA'B'C'D'EFGijk问：如何用向量表示CE与AG所