最新“半角”模型旋转变换几何练习

考点五：角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法核心母题如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BCCD边上的点，/EAF=45，求证：EF=BE+DF.DDI专題1E開题.【分析如囹，件棘助纟那首宪证明AAFE^AAFG,述而谭到可题即可解决.【第青証豺・・・gm「■把皿RE绕直碰时针壷恃血至邑g可惶人膺乩重笥如图：vZ ,vZ ,ZEAF=4S6:ZEAE+ZDAF=45Q,AZEAF=ZFAGSvZA®C=ZE=90°,ZFBGslED^»(5FDtG些绒,在aafe^oaafg+-JA£=AG.AF=AFAArE^AAFG(SAS)5/-EF=T(JIS即；EF=BE+DT正方形的性质、全等三角形的判罡艮其性质为樓心构造両威？幫題的关鍵是作辅助绒■狗產全等三角形.变式一：如图，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的边BCCD上的点，若△ECF的周长是2,求/EAF的度数?

【考点蚤等三吊用的判定与性质；正方形的性质.匚分析挺长CD至Jb使得呢EE，连捲AH，iSdjAm^AADtfp可得FM=EF»即可证朋HAFE^AkFK,nJ^ZEA.F=ZHkF,tgl§ZMlE=ZEkB=gOc即可例题.LIS吾期：砥长CD至｝b使得EH-BE,连接AH,.*.£?=BE+fl,■■ZiMH是△脈E逆时针進转处度。形咸，AAABE^AkBH*仁ZD^K=ZBAE>AE=WtiBE=DHjf.FH=DF+BN-DF^BE=EF*ZHAE^ZFAD=^O*,:A£=AH丁在和△册时，坨臣=FR，<AF^=AF■- (SSS)AZEAf=ZHAF5*_■zm=eoc,/.ZEkF=4&c匸点评勒题考查了全等三角据的判定，考尊7全詳三角附対应角相等的性馬，+求证△負FEWAAFJf是網题的关键.变式二：如图，在正方形ABCD中,E、F分别是BCCD边上的点，/EAF=45,AGLEF,求证：AG=AB.DC

DC匸考点姉转的性质■全等三角砒的割左与性质,正方砒的性质.匸专題IE珊题.【分析班根理正方形的性质得AE"也旳广，则可把AADE^点詬顺时針庭转9广谓SIJAABQ,如图，根据谨转的性质谭將肚，Zl^o0,ZAB5=ZB=90°,嗚可判断点Q在弗的征炭线上】由^EAl=4Sfr律到-ZEAF=4S6-然后很据“SAS”判断△直FG徐到FXFE,再很据全等三角砒耐应边上的嘗相荐得到结论•匚解苔哑明：丫四边JTUBCD为正方形，.*.AB=AD,^3^0=90°,仁把△知E魏側顺时针離转如。得到△肛Q,如罰/.AQ=AE,ZEAQ^90;,ZABQ=^D=90t3而±址=9旷，••■点Q在^的碰长线上，\-ZEAF=45^,/.2«AF=90*-^EAF=45fl>-■-2EAf-^QXF7在吐拠B和EtkFE中.-£匚妙=ZUF，I比AO=AE-'.AaFQ^AJlFE(£AS),.'.FQ=FE,"B丄FQ,AG_LfEs/.知二AG・匸点评显题湾查了愫摂的性筋匕対应点到艇轄中心的匪离相等；对应点与號拷中赴貼连绒段的夹吊等于旋转吊，血转前、后的图形全等・也考查了全等三角形的判定与性质、正方彫的性质.综合：在正方形ABCDL若MN分别在边BGCD上移动，且满足MN二BMDN求证：①.ZMAN=5「②.CZCmn=2AB③.amAN分别平分ZBMNfnZDNM.

练习1如图，在四边形ABCD中，AB=BC,/A=ZC=90°,ZB=135°,K、N分别是ABBC上的点，若△BKN的周长是AB的2倍，求/KDN的度数？2、已知：正方形ABCD中，/MAN=45°,/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点MN.当/MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1）,易证BM+DN=MN（1） 当/MAN绕点A旋转到BM^DN时（如图2），线段BMDN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2） 当/MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BMDN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.【考虑丁直桂的性盾；仝等三角总的判亡弓性昏；正方羽的■性质.■专理】计尊題；圧轴題.C^trl(I)册+切二加应五，tliSE、E、H二童鑒连即口」传判△AEH竺也宫叭，AlrtiuL得肛=曲.<2)DUEM-HIT.证朋育法与(1)英似.匚第音［卿：：门加十DN=NH确N证明=如囹•疤也辽肋藝自山阪龍曙臨聘0旷・得劃厶庶，凸则司证常E'B'M三点共銭(囹形画正确)-H.ZeAW^CO*-ZnAM=3n*-4£°=<I5*"Sv-BAlfl-450-AE=AX-左haejiT△上inr巾」ZEA2d=Z.nasiA\/=AMk-H-AaEH!^A£NH(SAG*「二IE=Or打IE=E£+BM=DX4FM.-3N+DH-JIN+⑵Dfl-BI=IN.在线段PK上载电DQ胡H，■^△ADQ与EiAiM中，40=UrZaDQ—Aa3M・DQ=3M/-AADq^AAEH(SAS),■J-三皿g-Bm■■-^(3AN=^JIO-在△庙“和△盟卩中*AQ~ASf*^qan=zj/j.vJ.V=JA'IAAMUAASM(SAS>:-nm=QN*/.DI-BMzW.1^1本题考査了便垮的悅馬・解决讹类可題飾美縫是正踊的刊用谨整下变蚩.3、如图，在四边形ABCD中,AB=AD,/B+ZD=180°,E、F分别是边BCCD上的点，且2/EAF=ZBAD求证：EF=BE+FD如果E、F分别是边BCCD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。

CDCD【分析】(1)SE^CB至叭使BU=IFt连播则，证AADF^AABM^证△弘E备七砒E,卸可得出警案：(2)在CB上截取BH=DF,连接Ml,证△締H空△MF,推出JEAU,ZDAF^Z^AH,求出ZEkB=ZEAFjifAFAEM心耐E,推出EF=E*和可.I解吾】(1＞证明：延辰冊至11,便BF1-D7,连接M■，-ZABC+ZB=180°,ZfcBC+ZABM=lSO°^AABM^nAADFcf，'A^=AD二zrD^AABM^nAADFcf，'A^=ADi厶肌仁上口、#M=DFAAABM^AADF(SAS)•/-AF=AM>GAFMEAM*■/ZBAD=2ZEAF^.■.ZDAF+ZEAE=ZEAFf/.zealb+zeam=zeam=zeaf+存△FEE和AMAE中・\AE-AE2F#E=J他E，、擅r=/」f/-AFAE^AMAE(SAS),AEF=EM=BE+B«=BB+DF!即EF=BE+DF.

<E)韶；EF、BE>DF之闫的关系是EF=BE-JF>理由是；在切上截取珂刃J连播MK2ABC+ZD=180'J,ZADC+ZADF=180~J,?-ZlBC=ZkDF,SAABM和 中！fA5—Al>fO二厶DF3二DF."-AABM^AADr(SkS)»AAF=WJtJZDAF=ZBO)VZEAr=EZEAF-Z(ZEAD+ZJAF)=ZCZEAD+ZB^H)二£EAF十(EKAD十ETAM)又■・•Z^AD-(ZBKM+ZEAD)+ZHAE：・ZlAB=ZEAF在AFAE和△lUE中?^AE-AEZFaE-ZMaE，^AF'—ASf.■-AFAE^ANIAI(EkE),/-EF=IB=BH-B■=BE-DI*gpEF=BE-DF・AD平分/5、如图所示，在五边形ABCDEKAB=AEBC+DE=CD/ABC+ZAED=180求证:CDE.AD平分/【分祈】连接人匚，那长IE到耳使EF=BC，连接AF,易证吐肛进両可以证明aAJCD42AATDf可f^ZADC=ZADFB呵解题.【解咨工解：浬接斌，延长DE到F,使Ef=BC,连接AF,.'.CD=FDp7z：ABC+ZAED-10Oo*ZAEF+ZAED^IS0D(-■-Z：ABC=ZAEF7花也AB匚和△贞EF申jI^S=A£2_^5C=jLAEF-AAABCSAAEF(SAS)1；・AC=AF・在准©和△丸FD中、iAC=AJ^<CD~FI>i\^D=AD.'，2kACD^Z^AFD(SSS).'.ZlDCzZADF.即AD平分ZCDE.6、女口图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2,/ABC=/AED=90°，求五边形ABCDE的面积.I走点】全尊三角用的判宗与性质.■分析可旺长血至F,使EF=FG可得匕d匹昌△AEF・连山GAB*AF＞可将五.边形人肌呃的面枳转化角两个△掘F的面租！遥而求出结论,・（笛咅】館；延长DE至F,使EF=BCt连賣SkD.AFVAB=CD=AE=BC+DEjZABC^ZAEC^0o,ACD=IF4DE=5F>在△ABC与△肛卩中JAB=AE•宀^A3C=[3C=EF-'.AABC^AAIF(SkS)»/.AC=AF乜在2UCD与△MD4bV匚^AF^AD=ADAAACB^AAJD(ESS),几五边形A肌叹的面秧是；S=2SAADF=2X7*dp，ae=£X-：x^X?=4・£/ -jL•点评加题主要考查了全等三甬砒的判定歷性辰以艮三角形面釈的计尊，应最练峯握.7、女口图1.在四边形ABCD中.AB=AD,/B+/D=180° ,E、F分别是边BC、CD上的点，且/BAD=2/EAF.求证：EF=BE+DF;在(1)问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，]试探究EF、BE、DF之间的数量关系.

［考点丁全等三角形的判定与性质.(另析1(1＞延长佣至叭使BN=rr,连接沏，证aabf^aabm,证afae^amae,即可谭出答案；(E)在CB上截取BADF，连接丸・，证AkBH^AADF»摊出丸F=AH,ZDAF=ZEAI1,求出WEAK=ZEAFt证AFAE^ANAE^推出EWEL1即可.CiK^J(l)证明；砥転邙至肌便丽"F，连接mvzaec+Zd=iao°Izabc+Zabw=iso.'.ZB-ZABMl,在△虹IM和AADF中’(AB-AD乙D翻■酣AAABMAABF<SAS)/.AF=AM,ZDKF=ZBAM>ZEAD=2ZEAFJ讥ZDAF+ZBAE=^EAF>咒ZEAB+ZEAffl=ZEAM=ZEAF»在AFAI和△MAE中，Ue=ae^FAE=^-MA£,[af=amAAFAE5CAMAE(SAS),-■■EP=EM-BE+EII=BE+DF?即EF=BE+BF.C2)第：EFsEEk理之闾的关至是EWE卜肚，理由是；在S上截腿测二DF，连辕M,ZABC+ZD=1BO^,ZaM+ZADF-180^',丄ZABC=ZkDF・AABN和△iLDF中,J宀二"帀[3M-DFAAABM^AWF(SfcS)*•3二AN.ZDAJ^ZBAIiZBAI=2^EAf=Z(^EA»+Zl'AF>-2(JEAI+^SAM)=^EAF+(^EAD+^IAM)又tNFAU=(ZEW14ZE^D)4ZWA.EAZMAE=ZEAF^AFAI和厶IUE中,iA£=A£■:ZA-f^= ,吕F=/JfX.-'.AFAE^ilHAE(SAG),JEF=IH=BI-MI=M-nrf即EF=EE-DF・8、如图，在△ABC中，/ACB=90°,AC=BC,P是厶ABC内一点，且PA=3,PC=2,PB=1.求/BPC的度数【分tflS£CffCDlCP>ffiCD=CF=2*SgCD*PD,【分tflS£CffCDlCP>ffiCD=CF=2*SgCD*PD,AD,根伽皿由同角的余角相尊得到夹角梅等|利用5常的三角砒配［勻三甬形CEF全等，利用金等三角形对应边相等，吋应角相等得至临D好P=i,ZADC=Z£PC,在盲角三角形MP中，利用勾股走埋求出HP的长，由妙臥的的长.利用勾股定理的逆定理得郢三角形MF为直角三角畛*由^4+^5求出度数，即为WBFC度数.【解告】輕：过点匚作匚』丄匚F,使CD=CF=2,连接CD,FDSAD,VZ1+ZE=ZAlCB=90°=ZDCT=Z3+ZE?i儿Z1=Z35在ACAD和△匚EF中*CD=CP上=4,AC=SCACAD^ACfiP(SAS)•・M)A=FE=BZADC=ZBrCt在等腰肮△Mf■中，Z4=456,根据勾股定1里谓：DP2=CB2+CP2=22+22=8)■.■rP£+DA2=e+l=9,AJ2=32=9,adt2+ba2=if2*角三角形：即Z5=90°,贝ijzlEPC二也+乂5理5炉+90°=135*.C半角模型-:且「 -1800.条件：2思路：（1）、延长其中一个补角的线段（延长CD到E,使ED=BM连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AF）(2)对称(翻折)结论：①MN=BM+DN②C(2)对称(翻折)结论：①MN=BM+DN②Ccmn=2AB③AMAN分别平分/BMN和/DNM思路:分别将△ABM和厶ADN以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N三点共线・(/B+ZD=1800且AB=AD)例题应用：例1、在正方形ABC呼，若MN分别在边BCCD上移动，且满足MN=BMDN求证：①.ZMAN=45=②.CCMN二2AB②.CCMN二2AB思路同上略.③.AMAN分别平分ZBMN和ZDNM.例1拓展：在正方形ABCD中，已知/MAN=45,若MN分别在边CBDC的延长线上移动，①.试探究线段MNBM、DN之间的数量关系.②.求证：AB=AH・例2•在四边形ABCDKZB+/D=180,AB=AD，若E、F分别在边NEAF」NBAD.BCCD上，且满足EF=BE+DF.求证： 2练习巩固：如图，在四边形ABCDKZB=/D=90,AB=AD,若E、1

^EAF=—NBAD.F分别在边BCCD上的点，且 2 ・求证：EF=BE+DF.

半角ffSTAfVB如竪,密AC於境点&顺时针性转驴‘得乂Q.隹结4山,plj ’C^=CV*7ACn=7HCNtAfVB/.^AiLD=XACM+厶3-ZACM^^lBCN=90^-45*=45*=^WCV.■'iWCSZiMACr-ViD^.UY^j又鬲得zaw/-45o+45°-'MF・--5Rl 中，肓nr*+h=T-*故庙'进:B)煤习:1.如图.正方形的迫长为―毎Q上各存一点氏Qt若&T/V的周长为2'求次左的度敷ZE.F分别是正方形血D的边肮*O上的点，目上曲—号，^i±EF，"为重足『求证:A1I=AB.电已知：如羽1在（UMS匚中*经垃一那tAH-AC, 疋分别为红崔M上阴克「若Ql£—4铲一探溜段月DDE.£V三舷玫刁可时述天系.小匪的愚踣窑：A.4KI疑点4嘔匹ft旗鞘u（尸.得到心的「」连绪卜「八.使叵劭疇到禅诜.请祢祸番小明的思路採究齐解决下列可歌（4需想叫DE.&三槩线段之可与在的数SL关系武「幷对你的猜轉予证明』{2）当动点E在咗段ffCi.t动点打运訪在线段CJ延长也上时,姫图2具它条件不变・⑸中按宛的塔论是否发生收娈？溝说时般箱忖齐给予让明

解析,1.妇團F正方形白的边按为1*岸馭上各等一点化Q，若七丿卫的周抚为2,求"CQ的度数解： 把乩陀骊点「證转9lT到M咬的位倉‘cy-CF.P-' Af+QP=2,又連q+©mp+pr=2t又吨=的-.'.PQ~PF.■-理cP也斗LP.:芒QCF_"XT•又Eg尸=窗,■■-.2、E.F分别品正方f&4HCD的询抵.厂门卜的令.目作4尸=4臂・AHIEF，"詢畢足*求证：川丿=腼解：延氏①玉G「使廝-W「出S.K；,易证d廻&丝,^.BAG=jlDAFfAG=Af.再l正Azlfitf竺厶4呼F全等三角焉的对应高相等(刈用三甬矗全等可证熾.^AH=AB.A Z>LG&Eli3,如图乔示『汗等腭育角"风齢询仙上昭两点M,A"停厶MCV=斗暫，远加=E,VV-t,妙j』淇证：収「朋r刃为边慢的三审形的砸状朵言甫三角更.解：法1:如图祈示"為加刖毘点「義匝针髭转QFA Z>LG&Eli总播,UU,MU.4Z)=ii\=nfCD=CN,ZACD=^BC\t取NA£D匸忖4ZACL>^XACM+ -'XF_4于-45°■Qt*从而AWX<；2XIAVd则一煜D_A£V=jl_而^£W=45°^45e=«F,改汗直甬三角瞻&LMD丰有A+X=r.法2我心用上过的辱寸称变换*也薛再至I廨答SU图所示,Uh仃为对称轴将址伽謝岡皿肿的位賀品证加尸用和一址‘於黃于CV対杯.且