平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理课件

第五章平面向量高考文数

第五章平面向量高考文数§5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理考点一向量的线性运算及几何意义

1.向量的有关概念及表示法知识清单§5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理考点一平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理课件

2.向量的线性运算2.向量的线性运算

3.向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件为存在唯一实

数λ,使得b=λa成立.3.向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件为存在考点二平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线

向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有

一对实数λ1,λ2,使a= 

λ1e1+λ2e2

.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.温馨提示(1)零向量和共线向量不能作基底;(2)基底给定,同一向量的分解形式唯一;(3)若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.考点三平面向量的坐标运算

1.加法、减法、数乘运算考点二平面向量基本定理

2.向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔a=λb⇔ 

x1y2-x2y1=0

.拓展延伸1.若 + =2 ,则D为BC的中点,反之也成立.2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).3.若O为原点,A,B,C为平面内三点,则A,B,C三点在一条直线上的充要条

件是 =α +β ,且α+β=1,α,β∈R.2.向量坐标的求法拓展延伸平面向量线性运算的解题策略用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的

加法、减法、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理,因此在

求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,利用三角形中位线、

相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知

向量有直接关系的向量进行求解.例1

(2017广东东莞二模,4)如图所示,已知 =3 , =a, =b, =c,则下列等式中成立的是 (

A

)方法技巧方法1平面向量线性运算的解题策略方法技巧方法1

A.c= b- a

B.c=2b-aC.c=2a-b

D.c= a- b解析因为 =3 , =a, =b,所以 = + = +  = + ( - )=  -  = b- a,故选A. 解析因为 =3 , =a, =b,所以 = + = + 向量共线定理的应用方法1.a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的重要依据.证明三点A、B、C共线,借助向量,只需证明由三点A、B、C所组成的向量中的两个共线.2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.3.用向量共线定理解向量的线性表示问题,通常是把共线的向量用选定

的两个基向量表示出来,再根据共线定理就可以得到一个向量的方程,

利用这个方程得到不含向量的方程(组),在方程(组)中消掉引入的参数λ,就可以解决问题.例2

(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=

.方法2向量共线定理的应用方法方法2解题导引

由a∥b的充要条件得λ的方程 解方程得λ的值解析∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.答案-3解题导引

解析∵a=(2,6),b=(-1,λ),a例3如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线

AB、AC于不同的两点M、N,若 =m , =n ,则m+n的值为

.

解题导引

解法一:选择基底{ , },用基底表示 与  利用两向量共线的充要条件列出向量等式 得出关于m与n的关系式解法二:利用向量的中点表示式写出  由 =m , =n 得 与 , 的关系 利用M,O,N三点共线,得出m与n的关系式例3如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线解析解法一:连接AO,由于O为BC的中点,故 = ( + ), = - = ( + )-  =  +  ,同理 =  +  .由于向量 , 共线,故存在实数λ,使得 =λ ,即  +  =λ ,由于 , 不共线,故得 - = λ且 =λ ,解析解法一:连接AO,由于O为BC的中点,消去λ,得(m-2)(n-2)=mn,化简即得m+n=2.解法二:连接AO,∵O是BC的中点,∴ = ( + ).又∵ =m , =n ,∴ =  +  .∵M、O、N三点共线,∴ + =1.∴m+n=2.答案2消去λ,得(m-2)(n-2)=mn,答案2平面向量坐标运算的解题策略1.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求

解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.将向量用坐

标表示出来,使向量的运算完全代数化,将数与形有机结合起来.2.解题过程中注意方程思想的应用.例4

(2016四川,9,5分)已知正三角形ABC的边长为2 ,平面ABC内的动点P,M满足| |=1, = ,则| |2的最大值是 (

B

)A. 

B. 

C. 

D. 方法3解题导引

建系 求出点P的轨迹方程 写出| |2的表达式 利用函数思想求最值平面向量坐标运算的解题策略方法3解题导引

建系解析以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

则A(0,0),C(2 ,0),B( ,3).设P(x,y),∵| |=1,∴x2+y2=1,∵ = ,∴M为PC的中点,∴M ,∴| |2= + 解析以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,= + -3y+9= -3y+9= -3y,又∵-1≤y≤1,∴当y=-1时,| |2取得最大值,且最大值为 .= + -3y+9解题导引

建立平面直角坐标系 分别求出a,b,c的坐标 将坐标代入c=λa+μb中,利用方程思想求出λ和μ 结论例5向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则

 =

.

解题导引

建立平面直例5向量a,b,c在正方形网格中解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,设每个小

正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a= =(-1,1),b= =(6,2),c= =(-1,-3).由c=λa+μb可得 解得 所以 =4.

答案4解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,设每平面向量基本定理的应用策略平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解

的理论依据,也是向量的坐标表示的基础.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用平

面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,再通过向量的

运算来求解.在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方

便.另外,要熟练运用线段中点的向量表达式.例6

(2018中原名校9月联考,15)如图,在△ABC中,点M是BC的中点,N

在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,则 =

.方法4平面向量基本定理的应用策略方法4解题导引

→求得λ,μ的值,从而得 的值解题导引

解析设 =a, =b,∵A、P、M共线,∴存在唯一实数λ,使得 =λ .又M为BC的中点,∴ = λ(a+b).又 = + = +μ = +μ( - )= +μ =(1-μ)a+ μb.根据平面向量基本定理得 解得λ= ,μ= .∴ =  , =  .解析设 =a, =b,∴| |∶| |=4∶1,即 =4.答案4∴| |∶| |=4∶1,即 =4.答案4平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理课件第五章平面向量高考文数

第五章平面向量高考文数§5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理考点一向量的线性运算及几何意义

1.向量的有关概念及表示法知识清单§5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理考点一平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理课件

2.向量的线性运算2.向量的线性运算

3.向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件为存在唯一实

数λ,使得b=λa成立.3.向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件为存在考点二平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线

向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有

一对实数λ1,λ2,使a= 

λ1e1+λ2e2

.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.温馨提示(1)零向量和共线向量不能作基底;(2)基底给定,同一向量的分解形式唯一;(3)若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.考点三平面向量的坐标运算

1.加法、减法、数乘运算考点二平面向量基本定理

2.向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔a=λb⇔ 

x1y2-x2y1=0

.拓展延伸1.若 + =2 ,则D为BC的中点,反之也成立.2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).3.若O为原点,A,B,C为平面内三点,则A,B,C三点在一条直线上的充要条

件是 =α +β ,且α+β=1,α,β∈R.2.向量坐标的求法拓展延伸平面向量线性运算的解题策略用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的

加法、减法、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理,因此在

求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,利用三角形中位线、

相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知

向量有直接关系的向量进行求解.例1

(2017广东东莞二模,4)如图所示,已知 =3 , =a, =b, =c,则下列等式中成立的是 (

A

)方法技巧方法1平面向量线性运算的解题策略方法技巧方法1

A.c= b- a

B.c=2b-aC.c=2a-b

D.c= a- b解析因为 =3 , =a, =b,所以 = + = +  = + ( - )=  -  = b- a,故选A. 解析因为 =3 , =a, =b,所以 = + = + 向量共线定理的应用方法1.a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的重要依据.证明三点A、B、C共线,借助向量,只需证明由三点A、B、C所组成的向量中的两个共线.2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.3.用向量共线定理解向量的线性表示问题,通常是把共线的向量用选定

的两个基向量表示出来,再根据共线定理就可以得到一个向量的方程,

利用这个方程得到不含向量的方程(组),在方程(组)中消掉引入的参数λ,就可以解决问题.例2

(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=

.方法2向量共线定理的应用方法方法2解题导引

由a∥b的充要条件得λ的方程 解方程得λ的值解析∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.答案-3解题导引

解析∵a=(2,6),b=(-1,λ),a例3如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线

AB、AC于不同的两点M、N,若 =m , =n ,则m+n的值为

.

解题导引

解法一:选择基底{ , },用基底表示 与  利用两向量共线的充要条件列出向量等式 得出关于m与n的关系式解法二:利用向量的中点表示式写出  由 =m , =n 得 与 , 的关系 利用M,O,N三点共线,得出m与n的关系式例3如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线解析解法一:连接AO,由于O为BC的中点,故 = ( + ), = - = ( + )-  =  +  ,同理 =  +  .由于向量 , 共线,故存在实数λ,使得 =λ ,即  +  =λ ,由于 , 不共线,故得 - = λ且 =λ ,解析解法一:连接AO,由于O为BC的中点,消去λ,得(m-2)(n-2)=mn,化简即得m+n=2.解法二:连接AO,∵O是BC的中点,∴ = ( + ).又∵ =m , =n ,∴ =  +  .∵M、O、N三点共线,∴ + =1.∴m+n=2.答案2消去λ,得(m-2)(n-2)=mn,答案2平面向量坐标运算的解题策略1.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求

解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.将向量用坐

标表示出来,使向量的运算完全代数化,将数与形有机结合起来.2.解题过程中注意方程思想的应用.例4

(2016四川,9,5分)已知正三角形ABC的边长为2 ,平面ABC内的动点P,M满足| |=1, = ,则| |2的最大值是 (

B

)A. 

B. 

C. 

D. 方法3解题导引

建系 求出点P的轨迹方程 写出| |2的表达式 利用函数思想求最值平面向量坐标运算的解题策略方法3解题导引

建系解析以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

则A(0,0),C(2 ,0),B( ,3).设P(x,y),∵| |=1,∴x2+y2=1,∵ = ,∴M为PC的中点,∴M ,∴| |2= + 解析以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,= + -3y+9= -3y+9= -3y,又∵-1≤y≤1,∴当y=-1时,| |2取得最大值,且最大值为 .= + -3y+9解题导引

建立平面直角坐标系 分别求出a,b,c的坐标 将坐标代入c=λa+μb中,利用方程思想求出λ和μ 结论例5向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则

 =

.

解题导引

建立平面直例5向量a,b,c在正方形网格中解析以向量a和b