2020-2021学年高中数学第2章函数章末综合提升学案北师大版1

学必求其心得，业必贵于专精第2章函数［牢固层·知识整合]［提升层·题型研究]函数的见解及表示法函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，它是两个非空数集间的照射，它要求任给一个自变量的值,都有唯一的函数值与之对应,可由此判断在某种对应关系f的作用下，从非空数集A到非空-1-学必求其心得，业必贵于专精数集B的对应是否是函数．函数的表示方法主要有列表法、图像法、解析法．在解决问题时,面对不同样的需要，选择合适的方法表示函数是特别重要的．函数的图像是变量间关系的直观反响，能较形象地解析出变量间的变化趋势．函数图像广泛应用于解题过程中,利用数形结合解题有直观、了然、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图像和利用图像解题的试题．【例1】已知函数f(x)的定义域为［－1，3],在同一坐标系下，函数y＝f（x）的图像与直线x＝1的交点个数为（）A．0B．1C．2D．0或1［∵f（x）的定义域为[－1,3］,而1∈［－1，3］，∴点(1，f（1）)在函数y＝f(x）的图像上,又在直线x＝1上．依照函数的定义知，函数是一种特其他对应，即关于定义域[－1,3]中的任意一个元素，在其值域中有唯一确定的元素与之对应，故直线x＝1与y＝f（x）的图像有且只有一个交点．]函数的定义域与值域1。函数的定义域分为“自然定义域”和“实质定义域”两种,若是给定函数的解析式（不注明定义域)，其定义域应指的是：该解-2-学必求其心得，业必贵于专精析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域);若是函数是由实责问题确定的，这时应依照自变量的实质意义确定其取值范围．复合函数的定义域f［g(x)]是由内函数g(x）的定义域A、值域B和外函数f(t)的定义域C共同确定的，即使BC的t＝g(x）的自变量x的取值会集D与A的交集即为y＝f［g(x）］的定义域．需要注意的是复合函数的定义域是自变量x的取值会集，而不是中间变量t＝g（x)的取值会集．2。在函数见解的三要素中，值域是由定义域和对应关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用,又要特别注意定义域对值域的限制作用．函数的定义域和值域应写成区间或会集的形式．【例2】设f（x）＝错误!g(x）是二次函数，若f［g（x）]的值域是[0，＋∞)，则g(x）的值域是( )A．(－∞，－1]∪1［，＋∞)B．(－∞，－1］∪［0，＋∞)C．[0，＋∞）．[1,＋∞)［思路研究]关于复合函数f［g(x)]，要分清函数的复合过程及-3-学必求其心得，业必贵于专精变量间的有关关系，设u＝g(x），则g(x)的值域恰好是f（u)的定义域．C［作出函数f（x）的图像以下．设u＝g(x)，则f[g(x）]＝f(u)，要使f(u)的值域是[0,＋∞),则u可取（－∞，－1]∪［0，＋∞)．gx续，故gx又（）是二次函数，定义域连(）的值域不可以能同时取(－∞,－1］，[0,＋∞)，结合选项只能选C.]函数的性质及应用研究函数的基本性质不但是解决实责问题的需要，也是数学本身的自然要求．其中，单调性是在某个区间上刻画函数值随自变量的变化而变化的趋势；奇偶性是从整个定义域内反响函数的对称性质．对函数的这两个性质，不但会从图像上直观感知,还要能利用它们解决有关函数问题．【例3】已知函数f(x）＝错误!是奇函数，且f(2）＝错误!.(1)求实数a，b的值；(2）判断函数f（x)在(－∞，－1］上的单调性，并加以证明．［思路研究］本题主要观察单调性与奇偶性的定义．［解］(1）∵f(x)是奇函数,f∴（－x)＝－f（x)，-4-学必求其心得，业必贵于专精ax2＋2∴－3x＋b＝－错误!＝错误!，因此b＝－b，即b＝0。4a＋25又f(2）＝3,∴6＝3，∴a＝2。即实数a和b的值分别是2和0.（2)由（1）知f（x)＝错误!＝错误!＋错误!，f(x)在(－∞,－1］上为增函数，证明：设x1<x2≤－1，则x＝x2－x1>0,y＝f(x2）－f(x1)＝错误!(x2－x1)错误!＝错误!(x2－x1)·错误!.∵x1〈x2≤－1,x2－x1>0，x1x2>1,y>0，f（x）在(－∞,－1］上为增函数.闭区间上二次函数的最值问题含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，主要题型分三类：①曲线定，区间定；②曲线定，区间动；③曲线动，区间定．在解决此类问题时必定考虑以下几个方面：①张口方向；②对称轴与区间关系：③函数在区间端点的函数值．-5-学必求其心得，业必贵于专精关于二次函数f(x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）在某个区间[m，n]上的最值问题主若是经过对区间与对称轴的相对地址进行谈论,使最值问题获得解决．在谈论中可画草图帮助解析．【例4】求f(x）＝x2－2ax－1在［0，2］上的最大值M（a）和最小值m（a)的表达式．[思路研究］求闭区间上二次函数的最值,可借助二次函数的图像，从闭区间与对称轴的地址关系上谈论,一般分区间在对称轴左侧、右侧和包含对称轴进行谈论．[解]f（x）＝(x－a）2－a2－1，x∈［0，2]，极点是（a，－a21），二次项系数为正，图像张口向上，对称轴为x＝a。由f（x）在极点左边（即x≤a）单调递减,在极点右侧（即x≥a）单调递加,因此f（x）图像的对称轴x＝a与闭区间［0，2]的地址关系（求两种最值)分4种状况求解．如图①~④中抛物线的实线部分．图①图②-6-学必求其心得，业必贵于专精图③图④在图①中，当a<0时，f（x）在[0,2]上单调递加，因此M（a)＝f(2)＝－4a＋3,m（a)＝f(0)＝－1。在图②中，当0≤a〈2，且f（0)≤f（2)，即0≤a≤1时,f（x)在[a，2］上单调递加，因此M（a)＝f（2）＝－4a＋3，m(a）＝f（a)＝－a2－1。在图③中,错误!即1〈a≤2时，f(x)在［0，a］上单调递减，最大值M（a）＝f(0）＝－1,最小值m（a)＝f（a）＝－a2－1。在图④中,当a〉2时，f（x）在［0,2］上单调递减，因此M（a）＝f(0）＝－1，m（a）＝f(2）＝－4a＋3。综上可知，f（x)在［0，2]上的最大值与最小值分别为M（a）＝错误!m（a)＝错误!本章中的数学思想方法1。函数与方程思想-7-学必求其心得，业必贵于专精函数与方程是高中数学的主线，它用运动、变化的见解研究、描述客观世界中互有关系的量之间的依存关系．函数与方程思想以函数知识为基础，用运动、变化的见解解析和研究数学对象的数量关系，丰富了数学解题活动，使数学解题有很大的创新．【例5】已知函数f(x）＝x2－2x＋a与x轴交于A（m，0),B（n,0)两点,试求(mn－3)2＋2(m＋n)的范围．[思路研究］本题中已知f（x)与x轴的两个交点,因此m，n是方程x2－2x＋a＝0的两根,尔后由根与系数的关系将所求代数式的范围转变成求关于a的二次三项式的范围即可．[解]由题意可知,m,n是方程x2－2x＋a＝0的两个不同样实根，∴＝4－4a>0，∴a〈1。由根与系数的关系得错误!∴(mn－3)2＋2(m＋n)＝(a－3)2＋4，a<1，∴（a－3）2＋4>8，∴（mn－3)2＋2(m＋n)〉8.2.数形结合思想-8-学必求其心得，业必贵于专精数形结合思想是重要的数学思想方法,它把数学关系的精确刻画与几何图形的直观形象有机地结合起来，从而充分裸露问题的条件与结论之间的内在联系，将问题转变成熟悉的问题来解决．数形结合常用于解方程、不等式，求函数值域等问题中．【例6】函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为错误!,则m的取值范围是________．错误!［把所给函数配方，得y＝错误!错误!－错误!，结合图像解析易知m∈错误!.］3.赋值思想关于有些抽象函数，经常利用赋值法可得其性质，将复杂问题简单化．抽象函数是指没有明确给出详尽的函数表达式，可是给出一些特别关系式的函数,它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题．因为抽象，解题时思想经常受阻，思路难以展-9-学必求其心得，业必贵于专精开．抽象函数问题一般是由所给的性质，谈论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性,或是求函数值、解析式等．主要办理方法是“赋值法”，平时是抓住函数特点，特别是定义域上恒等式,利用变量代换解题．【例7】已知函数f（x)的定义域是｛x∈R｜x≠0｝，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1·x2）＝f（x1）＋f(x2)，且当x>1时f(x）>0，f（2）＝1.(1)求证：f（x）是偶函数；(2）f（x）在（0，＋∞)上是增函数；3)解不等式f(2x2－1)〈2.［解］（1)由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1·x2）f(x1）＋f（x2），令x1＝x2＝1，得f(1)＝f(1)＋f（1），得f(1)＝0，令x1＝x2＝－1，代入上式解得f（－1)＝0，令x1＝－1，x2＝x，代入上式，f(－x)＝f(－1·x）＝f（－1)＋f（x)＝f（x）,f(x)是偶函数．(2）设x2>x1〉0，则f（x2）－f（x1）＝f错误!－f（x1）＝f（x1）＋-10-学必求其心得，业必贵于专精f错误!－f(x1)＝f错误!。x2〉x1>0，∴错误!>1，f错误!>0，即f(x2)－f（x1)〉0,f(x2）〉f(x1），f（x)在(0,＋∞）上是增函数．3)∵f（2)＝1,∴f(4）＝f(2)＋f(2）＝2,∵f(x）是偶函数，∴不等式f（2x2－1）〈2可化为f(|2x2－1｜)〈f（4)，又∵函数在(0,＋∞）上是增函数，|2x2－1|<4，且2x2－1≠0，即－4〈2x2－1<4，且2x2≠1,10解得－2<x〈错误!，且x≠±错误!,即不等式的解集为错误!.4。分类谈论思想-11-学必求其心得，业必贵于专精当某些数学问题含有参数时,经常运用分类谈论的思想，把问题转变成小问题一一解决．分类谈论相当于增加了详尽的条件，使思路更加广阔．分类标准视详尽状况确定,但要依照“不重复、不遗漏”的原则进行分类．【例8】已知函数f（x)＝x2＋错误!（x≠0,常数a∈R),谈论函数fx）的奇偶性．并说明原由．［解]当a＝0时，f(x)＝x2,对任意x∈（－∞，0)∪(0＋，∞）,f(－x)＝(－x）2＝x2＝f(x）,∴fx）为偶函数．当a≠0时，f（x）＝x2＋错误!(a≠0,x≠0）,取x＝±1,得f（－1）＋f（1）＝2≠0,f（－1）－f（1)＝－2a≠0,f(－1)≠－f(1)，f（－1)≠f（1)．∴函数f（x）既不是奇函数,也不是偶函数．5．待定系数法一般地，在求一个函数时，若是知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,尔后再依照题设条件求出这些待定系数．这种经过求待定系数来确定变量之间关系式的方-12-学必求其心得，业必贵于专精法叫作待定系数法．【例9】设f（x）为定义在R上的偶函数,当x≤－1时，y＝fx)的图像是经过点(－1,1）、（－2,0)的射线．又在y