定积分的应用教案

word格式-可编辑-感谢下载支持课题 《7.4定积分的应用》 课型 新授课时 2教 1、巩固定积分的几何意义及计算；学 2、掌握用定积分求直角坐标系下平面图形的面积的方法；目 3、综合运用知识分析解决问题，培养学生思维能力和应用数学意标 识。教学 重点：应用定积分解决平面图形的面积，体会定积分的价值。重点 难点：如何选择积分变量，确定被积函数。难点教学 讲练法，行为引导法，讨论分析法，分层教学法。方法教学程序 师生活动 设计意图展示周庄的拱桥图片，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积 设下悬念，情 【课件展示】拱桥图景导 问：桥拱的面积如何求解呢？教 入 答：……

以激发学生的探索激情，为后面学 【学生活动】本环节安排学生讨论，自主发现 作开启性的解决问题方向——定积分跟面积 铺垫。过 的关系程复 1、定积分的概念、几何意义是什么习 2、定积分的计算方法有哪些？问提 【学生训练】练习一问１．计算

2 4x2dx ２．计算2

复习定积分word格式-可编辑-感谢下载支持 2sinxdx2【学生活动】思考口答

的几何意义及计算，培养学生复习【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答 的学习习案. 惯。新2教 课学讲过授程

4x2dx 22121y 0

复习定积分x 的几何意义sinxdx0（一的面积yA0 a bX【学生活动】思考、探究、讨论【课件展示】展示结论

培养学生乐wordword格式-可编辑-感谢下载支持于尝试、敢【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗？ 于创新的精这就需要通过实践来检验。【例题实践】例１．计算由曲线y2x所围图形的面积．【师生活动】探究解法的过程.找到图形 画图得到曲边.

yx2

神。巩固了学生新曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出 的作图能新教辅助线3.定积分表示曲边梯形面----确定积 力，在寻找学 课 分区间、被积函.过 讲 4.计算定积.

曲边梯形的过程中提高授【板书】根据师生探究的思路板书主要分析过 了学生的想授程程 象能力。解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积. yyx21 BC

y2xDA-1 O 1 -1

完成了一般理论和具体问题的有机结合，初步达到了识记解方程组y2x

的目标，突yx2x0x1 ss

OABC

s

出了教学重点。OABD10

xdx

1x2dx02 3 x2

x3

21113 3 0 3 3 310【巩固练习】练习3．求下列曲线围成的图形新教 1.y=ex,y=e, x=0 2.y=x3,y=2x课 【问题探究（二、定积分表示曲边梯形面积学讲 的两种形式过 练习2．用定积分表示阴影部分面积授程 yyA yf

(x)1

D bN D C1C xfy) 培养学生用1B xf2

(y)M yf2(x)

aM B 发展、联系O a b x O

x的哲学思想图1 图2【学生活动】回忆并口答图1的答案；引导学生由x为积分变量的定积分类型来发现以y为积分变量的另一种定积分类型。【得出结论】定积分表示曲边梯形面积的两种

解决问题类型.

word格式-可编辑-感谢下载支持【板书】配合学生探究的进展书写推理的过程.【课件展示】1选择XAba

f(x)dxa

f(x)dx22选择YAba

f(y)dya

f(y)dy1yx4y2新 所围图形的面.

2x教 课 【师生活动】讨论探究解法的过程（同例1）学讲过授程【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.【课件展示】解答过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积

使学生懂得如何灵活选择积分变量，确定被积函数，通过该题突破教学难点。解方程组

y

x得到交点坐标为(2,-2)及yx2wordword格式-可编辑-感谢下载支持(8,4)选ｙ为积分变量 S

1(28)641y2dy182 22（三）积的解题步骤【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳【教师点评】帮助学生修改、提炼，强调注意新 选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表教课 示x的函数.学讲 【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的过 授 解题步骤：程 1．画草图，求出曲线的交点坐标．2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积根据图形特点选择适当的积分变量（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y巩固 表示x的函数）练习 4．确定被积函数和积分区间．5．计算定积分，求出面积.

探索到的结

ysinx与ycosx

果通过实践，学生都x0x

2 得到了一些所围平面图形的面积．【学生活动】学生独立思考

邀请一位 生进行抽象ycos成教 果学 展过 示程

y1S1 O 4

ysin x2

同学把自己的成果展示给大家

归纳。通过学生做这题体现分AAA1 2

层教育法，使不同层次4A41 0

cosxdx404

sinxdx

的学生都有不同的提Asinxdxcosxdx 高。2 22 4 4【师生活动】解答思路清晰，表达正确问：此题还有其他解法吗？答：AA1 2

所以只算一个A，取2倍就可以了.做的漂亮，解题时要注意发现题目的特征，联教word格式-可编辑-感谢下载支持教系我们以前的知识将问题化简后再解答，提高师点 效率.评 【例题实践】例3．求椭圆xa2

yb2

1(a0,b0)所围成的面积【学生活动】学生独立思考.请一位同学讲解这道题目个 【课件展示】解题步骤教 别提 如图，一桥拱的形学 问 状为抛物线，已知h过 该抛物线拱的高为应程 用 常数h， b提升 宽为常数b．求抛物线拱的面积探究解题方法建立平面直角坐标系 确定抛物线方程师 2.求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤生

巩固解题方法，锻炼发散思维把本节课的活 问：如何建立平面直角坐标系会使得抛物 探究活动推动 线方程的求解简

y0xhbb ( ,h)b2

向高潮，解决了前面设下的悬念的同时，实现wordword格式-可编辑-感谢下载支持教师点 标原点建立坐标评

了生活中的答：以抛物线的顶点为坐 实际问题与抽象数学的【学生活动】学生独立求解抛物线方程.投影学生练习如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方互 yax2 (a0)，教动代抛物线上一点(b,h)入方程，动2学

完美结合。巩固定积分小 则有ha(b2

2 解得a

4hb2

解题的基本过程为y2程 结 b2

x2.

方法和步骤。在投影中与全班同学一起点评学生的练习.【师生活动】探究、并在投影中完成该题问：所求图形有什么特点？答：左右对称；可以解答一半取2倍.【成果展示】在黑板上与学生共同完成设一半的面积为S，则有

b22s2 h2

4hb2(b0 b2

x2)dx2bh2

4h3b2

x3)b……22

2bh3问：本节课我们做了什么探究活动呢？答：用定积分解曲边形面积。问：如何用定积分解决曲边形面积问题作 呢？业 答：1.画草图，求出曲线的交点坐标布置 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积．根据图形特点选择适当的积分变（注意选择yy表示x）确定被积函数和积分区间．计算定积分，求出面积．问：解答曲线所围的平面图形面积时须注意什么问题？答：选择最优化的积分变量；根据图形特点选择最优化的解题方法.问：体会到什么样的数学研究思路及方法呢？答：从问题出发，联系相关知识，探究出解决问题的思路，通过实践的检验得到一般方法，通过练习巩固，通过应用提升。课本Ｐ163 1． 2（1、、、）【课外思考】有一水沟，沟沿是两条长100米的平行线段，沟宽2米，与沟沿垂直平面沟的交线是一条抛物线，顶点为0点，对称轴与地面垂直，沟深为1.5米，水深1米，问：沟中的水有多少立方米？提问式的课堂小结，目的在于调动学生积极参与梳理知识的过程，培养学生在探究之后整合知识的能力。作业即是探究活动的一种延续。给学生留出空间，开阔思路，培养学生应用数学解决实际问题的能力。教学 通过上面几个例题的分析、实践，学生都得到了一些解题心得，及时指导学生反思同时体现了生活