自主招生数学试题及答案

小学试题——可以编辑2021年自主招生数学试题(分值:100分时间:90分钟)一、选择题〔本大题共6小题，每题5分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的〕1、假设对于任意实数，关于的方程都有实数根，那么实数的取值范围是〔〕A≤0B≤C≤D≤-12、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，S△BDE∶S△CDE=1∶3，那么S△DOE∶S△AOC的值为〔〕A．1∶3B．1∶4C．1∶9D．1∶163、某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带着同学们测量学校附近一电线杆的高(如下列图)。电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为300，在C处测得电线杆顶端A得仰角为450，斜坡与地面成600角，CD=4m，那么电线杆的高(AB)是〔〕A．mB．mC．mD．12m4、如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=3．点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG．同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当经过〔〕秒时，直线MN和正方形AEFG开始有公共点。A．B．C．D．(第2题图)(第3题图)(第4题图)5、如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，假设tan∠CAB=2，那么k的值为()A.

2B.

4C.

6D.

86、如图，O是等边三角形ABC内一点，且OA=3，OB=4，OC=5．将线段OB绕点B逆时针旋转600得到线段O′B，那么以下结论：①△AO′B可以由△COB绕点B逆时针旋转600得到；②∠AOB=1500；③；④。其中正确的选项是〔〕A.②③④B.①②④C.①④D.①②③(第5题图)(第6题图)二、填空题〔本大题共6小题，每题5分，共30分〕7、方程组，且，那么的取值范围是。8、一次函数与的图象之间的距离等于3，那么的值是。9、如图，△ABC中，∠ACB=900，BC=6cm，AC=8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，那么点P出发s时，△BCP为等腰三角形。10、关于的方程的解为正数，那么的取值范围。11、如图，AC⊥BC于点C，BC=4，AB=5，⊙O与直线AB、BC、CA都相切，那么⊙O的半径等于。12、如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线上，依次进行下去…，假设点A的坐标是(0,1)，点B的坐标是(,1)，那么点A8的横坐标是。(第9题图)(第11题图)(第12题图)三、解答题〔本大题共3小题，总分值40分〕13、(此题共12分)如图，在△ABC中，∠C=900，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F。(1)假设AC=6，AB=10，求⊙O的半径；(2)连接OE、ED、DF、EF，假设四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由。14、(此题共14分)(1)：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，假设∠A=600(如图①)，求证：EB=AD；(2)假设将(1)中的"点D在线段AB上〞改为"点D在线段AB的延长线上〞，其它条件不变(如图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3)假设将(1)中的"假设∠A=600〞改为"假设∠A=900〞，其它条件不变，那么的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程)15、(此题共14分)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-x+3(a≠0)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2。

(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)假设点P(0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：

探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W=t•S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；

探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由。2021年自主招生数学试题参考答案一、选择题〔本大题共6小题，每题5分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的〕1、C2、D3、A4、A5、D6、B二、填空题〔本大题共6小题，每题5分，共30分〕7、＜＜1；8、-4或6；9、2或2.5或1.4；10、＞-6且≠-4；11、2；12、。三、解答题〔本大题共3小题，总分值40分〕13、解：〔1〕连接OD，设⊙O的半径为r，∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC，

∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC，∴，即，解得r=，

∴⊙O的半径为；

〔2〕四边形OFDE是菱形，∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF=∠B，

∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB，∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°，∵DE∥AB，∴∠ODE=60°，

∵OD=OE，∴△ODE是等边三角形，∴OD=DE，∵OD=OF，∴DE=OF，

∴四边形OFDE是平行四边形，∵OE=OF，∴平行四边形OFDE是菱形。14、(1)证明：作DF∥BC交AC于F，如图1所示：那么∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，∵△ABC是等腰三角形,∠A=600，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=600，∴∠DBE=1200,∠ADF=∠AFD=600=∠A，∴△ADF是等边三角形,∠DFC=1200，∴AD=DF，∵∠DEC=∠DCE，∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，在△DBE和△CFD中,由∠DEC=∠FDC，∠DBE=∠DFC=1200，ED=CD，∴△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB=DF，∴EB=AD；(2)EB=AD成立；理由如下：作DF∥BC交AC的延长线于F，如图2所示：同(1)得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，又∵∠DBE=∠DFC=600，∴在△DBE和△CFD中,由∠DEC=∠FDC，∠DBE=∠DFC，ED=CD，∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF，∴EB=AD；(3)=；理由如下：作DF∥BC交AC于F，如图3所示：同(1)得：△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB=DF，∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC，∴△ADF是等腰直角三角形，∴DF=AD，∴=，∴=.15、解：〔1〕∵抛物线的对称轴为直线，

∴，∴，

∴，

∴；〔2〕探究一：当时，W有最大值，

∵抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，

∴，

∴，

当时，作轴于M，那么，

∵，

∴，

∵

，

∴∴当时，W有最大值，，

探究二：存在，分三种情况：