黑龙江省哈尔滨市2022届高三上学期期末考试试题文科数学【解析版】

黑龙江省哈尔滨市第一中学2022届高三上学期期末考试试题文科数

学【解析版】第I卷选择题（60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，满分60分）1.已知集合”=31gx＞0),N=｛点度*4),则MnN=( )A.(0,1) B.[0,4].设A.(0,1) B.[0,4].设aeR,则"。＜1"是＜优，的(A.充分不必要条件C.充要条件.若sin[]+a则cos(万一a)=(C.d,4] D.{1,4}B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件）B.4.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分"问题；"开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊.验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少"，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内TOC\o"1-5"\h\z夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A.153石 B.154石 C.169石 D.170石5.已知向量方=（1,右）石=（-1,0）]=（石,幻.若”亦与垂直，则实数%=（ ）A.6 B.-3 C.1 D.36.已知数列｛6.已知数列｛%｝的前〃项积为「，4=2且4s=1-；,则(以=( )%A.-1 B.1 C.2 D.-2元+y”3,TOC\o"1-5"\h\z.设变量x,y满足约束条件工一》…一1,贝IJ目标函I数z=4x—2y的最大值为（ ）A.12 B.10 C.8 D.6.圆V+y2+4x-12y+l=0关于直线or-分+6=0（。>0/>0）对称，则2+9的最小值是（ ）ahr 20 32 16A.2\/3 B.— C.-- D.—3 3 3.如图，在四棱锥s-A8CD中，SA_L平面ABCD,四边形ABCD为平行四边形，ZA8c=60。且SA=AB=BC=2,E为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为（ ）A.立 B.巫TOC\o"1-5"\h\z7 7r2y/l n Vio7 5.某几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1）,则该几何体的体积为（.已知双曲线"＞。，八°）的离心率为2小后分别是双曲线的左、右焦点,点心』。）,TOC\o"1-5"\h\zN（0,加，点P为线段MN上的动点，当丽•逐■取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为5i，S2,则邑=（ ）耳 ）A.2石 B.4 C.4G D.8第H卷非选择题（90分）二、填空题（本题共4小题，每题5分，满分20分）13.曲线y=x-2在*=1处的切线的倾斜角为a,贝ijWE_= .x 1+tana.已知斜率为右的直线/经过抛物线V=2px,（p>0）的焦点尸，并与抛物线交于A,B两点,且|明=8,则。的值为..已知两条不同的直线用，“，两个不重合的平面夕，给出下面五个命题：①〃〃/〃，mla=>nla；②a〃夕，maa,〃u/7n/n〃〃；（3）mHn,m//a=>n//a；（4）mLa,ml100a ；（5）a//J3,tnUn,m_Lan〃_L/.其中正确命题的序号是.（将所有正确命题的序号都填在横线上）.函数y=f（x）的图像是由函数y=cos（&r）（0>O）的图像向左平移「个单位所得，若函数y=/（x）在069（万,2万）为单调函数，则。的范围是.三、综合题（本题共6小题，17-21题每题12分，22题10分，满分70分）.在锐角AABC中，角AB,C的对边分别为0,b,c,（a2-b2+c2）sinB=SaccosB.（1）求B：（2）若6=1,求c-2a的取值范围..已知公差不为零的等差数列｛&｝满足s=3,且d，s,S3成等比数歹U.（1）求数列｛4｝的通项公式;（2）若S”表示数列｛4｝的前”项和，求数列，的前"项和丁”

PC=PD,PA=AB^BC=1,CD=2.19.在四棱锥P—ABC。中，平面A48J■平面ABC。，ZABC=PC=PD,PA=AB^BC=1,CD=2.(1)证明：PA_L平面ABC。；(2)求点C到平面尸BD的距离..已知椭圆S:「+[=l(a>6>0)的离心率6=也，左右焦点分别为小玛，点P(2,-VI)在椭圆5上,a2b' 2过人的直线/交椭圆S于A,8两点.(1)求椭圆5标准方程；(2)求AABF；的面积的最大值..已知函数/(乂)=-10?-/+X(其中x>0,a<0).(1)若函数〃x)在定义域内单调递增，求实数。的取值范围；(2)若4=-[,且关于x的方程/'(x)=-lnx-1x+l+b"'(x)为/(x)的导函数)4 2在区间[1,3]上恰有两个不等的实根，求实数6的取值范围.fx=3COS69.在平面直角坐标系xQy中，曲线C的参数方程为 ，.，(。为参数).以坐标原点为极点，X轴[y=3sm°正半轴为极轴，建立极坐标系，直线/经过点且与极轴所成的角为a.(1)求曲线C的普通方程及直线/的参数方程;

(2)设直线/与曲线C交于2E两点，若|阴+|4目=2"，求直线/的普通方程.一、单选题.已知集合M={Hlgx>O},N={M©Jr4),则Mp|N=()A.(0,1) B.[0,4] C.d,4] D.{1,4}【答案】C【详解】由已知M={x|x>l},所以A/nN={x[l<x44}.故选：C..设awR,则"a<l"是"/<a"的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【详解】求解二次不等式"可得：。<0<1,由0<a<1可推出a<1,由a<l不能推出a<1是a的必要不充分条件.故选：B.3.若sin33.若sin3则cos（乃一a）=（,3B.一54C ■ 54D.一5【答案】B【答案】B【详解】解：；解：；sin3所以cosa=一:.cos（〃一a）=-cosa=一故选：B.

4.我国古代数学名著《数书九章》中有"米谷粒分"问题；"开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊.验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少”，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A.153石 B.154石 C.169石 D.170石【答案】C【详解】这批米内夹谷约为X石,根据题意可得言=高故选：C解得x=解得x=28x1534254至169.已知向量4=(1,6),5=(-1,0),d=(6,幻.若d-涕与C：垂直，则实数人=( )A.6 B.-3 C.1 D.3【答案】B【详解】因为d=(1,6)石=(—l,0),c=(>/3,^),所以a-如(一2,0)=(3,6)，因为涕与1垂直，所以=石+6x々=0,解得A=_3.故选：B..已知数列｛4｝的前〃项积为1,6=2且。的=1-；，则小尸( )anA.-1 B.1 C.2 D.-2【答案】A【详解】由题设，4=]__L=g,生=]~=-1,。4=]~=2...,4 2 % %••.｛《,｝是周期为3的数列，又444=2xgx(T)=T,且2021=3x673+2,：•4021=(-1)6'，6020，4021=一1'2乂耳=-1.故选：A.

【答案】c【详解】解:【答案】c【详解】解:根据题意，对于函数f（x）=x(e-'+e”2+cosx有函数〃一）=，、+葭）=_^2£）=_小），2+cosx 2+cosx即函数•/'（X）为奇函数，图象关于原点对称，故排除A、B当x>0时，cosxg[-1,1],则恒有= ）>0,排除口；'72+cosx故选：C.x+y„3,8.设变量x,y满足约束条件x-y..-L则目标函数z=4x-2.\•的最大值为（ ）A.12 B.10 C.8 D.6【答案】D【详解】作出可行域，如图“8C内部（含边界），作直线/:4x-2y=0,z在直线z=4x-2y中， 表示直线的纵截距，因此直线向下平移时，z增大，

丁得平行直线/,当它过点8（2,1）时，z=4x-2y取得最大值6.TOC\o"1-5"\h\z9.圆x2+y2+4x-12y+l=O关于直线or-6y+6=0（a>0,>>0）对称，则的最小值是（ ）ab厂 20 32 16A.26 B.y C.y D.可【答案】C【详解】由圆丁+尸+4*-12丫+1=0可得标准方程为卜+2）2+（丫-6）2=39,因为圆/+/+4工一12丫+1=0关于直线以一纱+6=0（。>0,6>0）对称，,该直线经过圆心(-2,6),即_2〃_劭+6=0,：.a+3b=3(a>0,b>0),当且仅衅哼,即”小时取等号,故选：C.10.如图，在四棱锥5-A8c。中，SA_L平面A8C0,四边形A8CD为平行四边形，NA8c=60。且SA=A8=8C=2,E为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为（ ）

A址 B旧TOC\o"1-5"\h\z7 7r2将 n7107 5【答案】D【详解】如图所示：EG,“分别为S8,8C,C£＞的中点，连接各线段.FG//SC,故NGFH异面直线SC与DE所成的角，SAL平面A8CD,故aSAC和均为直角三角形，FG=-SC=^\ISAi+FG//SC,故NGFH异面直线SC与DE所成的角，SAL平面A8CD,故aSAC和均为直角三角形，FG=-SC=^\ISAi+AC2=-V4+4=x/2,FH=ED=GH=LbD=、26=C,根据余弦定理：cosNGFH=2 2故选：D.B G Cs/e^+AD2=g，5+2-3Vio'2yf5xy/2~511.某几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1）,则该几何体的体积为（A.6 B.9 C.18 D.36【答案】C【详解】由三视图知，原几何体是棱长为6的正方体中的三棱锥O-ABC,且AB=3,由正方体的性质可知：4Mc=gx3x6=9,三棱锥£)-ABC的底面ABC上的高为6,•.•该几何体的体积为y=gx9x6=18.故选：C.2 212.已知双曲线5-2=1(a>0,b>0)的离心率为2, F2分别是双曲线的左、右焦点，点M(-aO),a'b~2(0,加，点P为线段M/V上的动点，当用，时取得最小值和最大值时，△P&月的面积分别为$,%，则5，—=()A.2』 B.4 C. D.8【答案】B【详解】由于双曲线的离心率为£=由于双曲线的离心率为£=a=2,故"=8.a所以直线MN的方程为>=8(五+〃)，设尸«,△+屈)，&O],

焦点坐标为6（-c,0），E（c,0）,则丽=（-c-t,-8-&I）,若=（cT,-后一岛）则下月•%="-d+3«+”）2=t2-4a2+3（t+a）2=4产+6at-a2=4（r+：a）-^a2,由于y-a,0],故当r=-》时取得最小值，此时丹=6乂（一：〃1+&。=曰。；当，二o时取得最大值，此时力=百〃.S2_y/5a_则每一^^一.故选：B.4二、填空题.曲线y=x-2在x=i处的切线的倾斜角为a,则警幺=.【答案】-:【详解】=(x_2)=i+=，当X=1时，y0=3,即切线斜率为3,贝Ijtana=3,则cos2a则cos2a=cos2a-sin2a2 ：~~2cosa+sina_1-tan2a14-tan2a1-91+94所以cos2a= =1.1+tana1+3 5故答案为：-g..已知斜率为石的直线/经过抛物线y2=2px,（p>o）的焦点F,并与抛物线交于A,B两点，且|A8|=8,则P的值为.【答案】3【详解】抛物线y2=2px的焦点户（5,0）,根据题意，直线/的方程为y=G（x-g,与抛物线方程丁=2Px联立得3*-92=2px,整理得3/-5px+竽=0,所以X1+%=当，所以|AB|=X|+w+p=^+p=等=8,所以。=3,.已知两条不同的直线加，〃，两个不重合的平面a,P,给出下面五个命题:

①m"n,机JLa=〃JLa；②a///，tnoa,nu0=m〃n、（3）mHn9ml/a=>n//aim1a,mJIpna1口；a〃6,mHn9mA.a=>nl.J3.其中正确命题的序号是.（将所有正确命题的序号都填在横线上）【答案】①④⑤【详解】m//n,机_La=>〃-La,①正确；a"。,mua,〃u夕="/〃7或也〃异面，②错误；mHn,m//a=n/la或nua,③错误：m工a,ml!aL/3,④正确；a//夕，mHn,zn±a=>n±/?,⑤正确.故答案为：①④⑤.16.函数y=〃x）的图像是由函数〉=8$（如）（口>0）的图像向左平移2个单位所得，若函数y=/（x）在（肛2乃）为单调函数，则口的范围是.【答案】（喂喘装【详解】y=/（x）是由y=cos®x）（刃大于零）向左平移看个单位所得，故/（尤）=8$"+。，又》=/（尤）在（乃，2江）即（5r+5,2瓯+看）上单调，冗 71:.k几W①兀+—<2①兀+—Wk冗+7i,kgZ,6 66?>0a)>k-^{k6?>0a)>k-^{kgZ),k56?<-+—(feeZ)212冗/.(07V+一之k7r(keZ)6冗2(071+—V左乃+7C(keZ)I6...…』或M2,12 6 12故答案为：I。,、um.I12o1212三、解答题17.在锐角中，角A3,C的对边分别为用b,c9(a2-b24-c2)sinB=V3accosB.(1)求B;(2)若b=l,故答案为：I。,、um.I12o1212三、解答题17.在锐角中，角A3,C的对边分别为用b,c9(a2-b24-c2)sinB=V3accosB.(1)求B;(2)若b=l,求c-2〃的取值范围.【答案】(1)7T7(2)(-73,0)(1)解：因为一无+c2)sinS=>/3accosB,所以"+'———sinfi=—cosB,CPcosBsinB=—cosB,

lac 2 2因为B为锐角，所以cosBhO,所以sinB=327T,又,所以8=?；(2)解：在锐角aABC中，B=y,所以A+C=红,所以何呜Jc=Ado,九71c2>/3sinAsinBsinC3所以叫毡sinAC=亚SinC,

3 3所以c-2a=亚sinC-迪sin4=^sin(二一A幽inA3=cosA->/3sinA=2cos(A+yJ,又Aw式71~692，所以A+§£715429~6,可得cos(A+qk44所以2cos(A+工卜(->/3,0),即c-2a的取值范围是(一百，。卜18.已知公差不为零的等差数列｛仇｝满足d=3,且%，a”见3成等比数列.(1)求数列｛4｝的通项公式;12综上，切的范围为(。,3u:，工.12112o12(2)若S.表示数列｛4｝的前"项和，求数列1的前”项和【答案】an=2n+l3 2/1+3T= n42(〃+1)(〃+2)(1)由题意得：a：=a「43,设公差为"(d*0),所以(3+3d)2=3(3+12d),解得d=0(舍)或2,所以％=3+2(n-1)=2n+l.(2)由于(1)得。“=2。+1,则S“=想岁^=尸+2",所以丁=l(i」+_L_l+l」+・・・+J L+1__!_)232435 n-\n+ln〃+21I1 1、3 2〃+3—(Id )= 2 2〃+ln+2 42(〃+1)(〃+2)19.在四棱锥P-A8CZ)中，平面PA8_L平面ABC。，ZABC=NBCD=90P,PC=PD,E4=AB=BC=1,CD=2.(1)证明：PA,平面48C£)；(2)求点C到平面尸80的距离.【答案】(1)证明见解析；⑵亚3(1)vgPABl^ABCDf面尸面=A8,且8C_LA8,BCu面ABC。,面尸A3,而PAu面PA3,・•・BC1PA.取C。的中点M,连接AM,PM,BD.'DB C•.•AB//CM且AB=CM,NBCD=90°,四边形A8CM为矩形，则AM_LC。，又PC=PD,:.PMLCD,又AM,FMu面尸AAf,AMQPM=M,\C£)a面PAM,PAu面PAM,:.CD±PA.•：BC.COu面ABC£>,BCcCD=C,:.PA±^ABCD.(2)设点C到平面P8。的距离为/i,Vp-gcD=Vc-pbd>即—S48co-PA=—Sj,BD-h,X5„CD=—x1x2=1,PA=\,在△PB£>中，PB=g，PD=6BD=-j5,TOC\o"1-5"\h\z：.BDt=PB^+PD1,则NBP£)=90。，5AraD=|x72x>/3- .综上，是h=L可得h=显,即点c到平面户班》的距离为巫.6 3 3 320.已知椭圆S:《+¥=l(a>b>0)的离心率6=立，左右焦点分别为6、&点P(2,-近)在椭圆S上,ab- 2过"的直线/交椭圆S于A,8两点.(1)求椭圆S标准方程：(2)求A4B片的面积的最大值.【答案】(1)工+二=18 4(2)4&(1)解：设椭圆s的半焦距为ac>o),

a=25/2,解得人=2,c=a=25/2,解得人=2,c=2,a2'由题意=b2+c2yTOC\o"1-5"\h\z>> 2...椭圆s的标准方程为土+上=1；8 4(2)解：由(1)得耳(-2,0)、鸟(2,0),2 2设/:工=叩+2,代入二+2_=1,f>(w2+2)y2+4/ny-4=0,8 4 '设A(x，yJ、3(々,%)，则%+丫2=一-「7，丫M=「不，m+2 6〜+24斤7m2+4斤7m2+1・•・山明80.，川+1

M+1)+1当且仅当〃/+1=1即M=0时，等号成立,故aABG的面积的最大值为4故aABG的面积的最大值为4及.21.已知函数/(x)=--ax3-x2+x(其中x>0,a<0).(1)若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数。的取值范围；⑵若“= 且关于x的方程f'(x)=Tnx—gx+l+b(/'(x)为/(幻的导函数)在区间［1,3］上恰有两个不等的实根，求实数6的取值范围.【答案】(1)y，T；(2)(ln2-2,-^](1)函数的定义域是(0,田)，/'(x)=-(ar2+2x-l),(x>0).依题意尸(x)依题意尸(x)20在x>